史鳳梁，陳秀梅，楊慶東

（北京信息科技大學(xué)機電工程學(xué)院，北京 100192）

0 引言

為了使機床的加工精度得到進(jìn)一步提高，首先要完善機床相關(guān)性能的檢測與評價標(biāo)準(zhǔn)。目前檢測機床的加工精度主要通過對機床靜態(tài)下的各項誤差的測量及對機床所加工的標(biāo)準(zhǔn)試件的輪廓誤差進(jìn)行測量來間接反映機床的各項性能。因此國內(nèi)外相繼涌現(xiàn)了許多類型的標(biāo)準(zhǔn)試件，其中成都飛機工業(yè)公司立足于航空件的結(jié)構(gòu)而提出的S試件對機床各項性能的反映更為出色[1]。該試件的幾何特征復(fù)雜，包括不斷變化的開角和閉角、連續(xù)多變的曲率特性等，這些型面特性使得機床必須要以更復(fù)雜的姿態(tài)進(jìn)行加工從而能夠很好地暴露出機床加工時的多軸聯(lián)動性能、剛度特性、擺動軸反向間隙誤差等，鑒于此大部分五軸機床在驗收時，都選擇S試件作為檢測試件，在進(jìn)行機床的精度改良之前一般也以S試件反映的機床性能作為改良基礎(chǔ)。

由于經(jīng)五軸數(shù)控機床所加工成型的試件的輪廓誤差形成原因復(fù)雜，相關(guān)學(xué)者對S試件誤差所反映的機床特性相關(guān)方面做了如下研究：霍彥波等[2]利用模型仿真分析了機床各軸的聯(lián)動誤差，尤其是加工S試件不同位置的圓弧時，試件的輪廓誤差更能反映五軸機床的平動軸和轉(zhuǎn)動軸的聯(lián)動性能。分析了五軸加工中心在加工不同位置的圓弧過程中機床平動軸和兩個轉(zhuǎn)動軸相互聯(lián)動時所產(chǎn)生的試件輪廓誤差，研究了誤差的分布特點并得到了機床各參數(shù)和誤差間的對應(yīng)關(guān)系。杜麗[3]運用了模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等相關(guān)方法提出了一種機床動態(tài)參數(shù)的辨識方法，該方法建立了S試件加工成型后的型面與機床相對應(yīng)的因素之間的映射關(guān)系庫，以達(dá)到S試件型面輪廓誤差的溯源。丁杰雄等[4]通過五軸聯(lián)動數(shù)控機床加工S試件得到了試件型面誤差，并對誤差進(jìn)行處理和顯示，從而使得誤差可視化，方便了對型面誤差的分析。本文針對五軸機床的三方向平動軸與兩個轉(zhuǎn)動軸建立了其動力學(xué)模型，從而得到S試件的輪廓誤差模型，通過檢測實際加工件驗證了模型的正確性，并研究了各軸剛度對輪廓誤差的影響。

1 五軸機床各部分動力學(xué)模型

1.1 進(jìn)給系統(tǒng)動力學(xué)模型

機床的X、Y、Z三個方向進(jìn)給系統(tǒng)均為旋轉(zhuǎn)電動機-滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)，為研究進(jìn)給系統(tǒng)的受力變形，以X軸為例計算各剛度參數(shù)，求解系統(tǒng)軸向彈性變形。

本文所研究的五軸加工中心三個平動軸的進(jìn)給系統(tǒng)所采用的結(jié)構(gòu)均為電動機加滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)，其主要結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括電動機、聯(lián)軸器、前支撐軸承、工作臺、滾珠絲杠、滾珠絲杠螺母副、后支撐軸承。

圖1 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

根據(jù)進(jìn)給系統(tǒng)的各部分結(jié)構(gòu)建立進(jìn)給系統(tǒng)的動力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 滾珠絲杠動力學(xué)模型

設(shè)工作臺的移動距離為xs，絲杠螺母副的位移為xt，Mt與vt分別為工作臺的質(zhì)量和速度，則有：

式中：Bt為等效阻尼系數(shù)；Kl為進(jìn)給系統(tǒng)的等效軸向剛度。則有：

式中：Kbs為滾珠絲杠等效軸向剛度；Knt為螺母副結(jié)合面剛度；Ebs為絲杠的彈性模量。

根據(jù)式（3）考慮滾珠絲杠軸向結(jié)合面的剛度，則有軸向變形為

從上式中可以看到，影響滾珠絲杠軸向彈性變形的主要因素有機床的等效剛度、進(jìn)給系統(tǒng)的速度、加速度及電動機旋轉(zhuǎn)的角速度和角加速度。

由于本文的研究對象的Y、Z方向進(jìn)給系統(tǒng)采用同樣的電動機-滾珠絲杠的結(jié)構(gòu)，所以Y、Z兩個方向的進(jìn)給系統(tǒng)建模與X軸類似。

2.2 BC轉(zhuǎn)臺動力學(xué)建模

BC軸雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床的轉(zhuǎn)臺模型如圖3所示，C軸轉(zhuǎn)臺隨著B軸的轉(zhuǎn)動而擺動，BC雙轉(zhuǎn)臺均為力矩電動機直接驅(qū)動。以C軸為例，其轉(zhuǎn)臺的主要結(jié)構(gòu)為力矩電動機、軸承、靜壓導(dǎo)軌、編碼器及工作臺組成，如圖4所示。

圖3 BC雙轉(zhuǎn)臺模型

圖4 C軸轉(zhuǎn)臺結(jié)構(gòu)

以C軸轉(zhuǎn)臺為例建立其動力學(xué)模型如圖5所示。

圖5 C軸轉(zhuǎn)臺動力學(xué)模型

設(shè)電動機的轉(zhuǎn)動慣量為J1，工作臺的轉(zhuǎn)動慣量為J2，KθC表示等效扭轉(zhuǎn)剛度，θM和θL分別表示電動機轉(zhuǎn)角和工作臺轉(zhuǎn)角，BL為等效阻尼系數(shù)，則它們之間的關(guān)系可表示為

由于B轉(zhuǎn)臺與C轉(zhuǎn)臺的基本結(jié)構(gòu)相同其軸線方向不同，其動力學(xué)建模與C軸類似。

2 S試件的加工仿真

2.1 S試件后置指令的獲取

加工仿真S試件首先要對S試件進(jìn)行粗加工和精加工的路線規(guī)劃，規(guī)劃完成之后生成刀位文件，由于刀位文件無法直接讓五軸機床進(jìn)行識別加工，此時需要后置處理生成五軸機床可以識別的NC程序，其中后置處理主要配置機床的結(jié)構(gòu)、機床坐標(biāo)系、進(jìn)給速率、刀具等信息。

仿真加工要進(jìn)行粗、精兩道工序的仿真，其中粗加工的目的是銑削掉毛坯多余的部分，并預(yù)留出接下來精加工工序的加工余量[5]。精加工工序為機床加工零件的最后一道工序，其加工結(jié)果就是機床加工該零件的最后成型結(jié)果，相比于粗加工，精加工要求加工后的零件表面質(zhì)量及輪廓誤差都滿足要求，精加工仿真所得到的刀路就是后置處理時需要的加工試件刀路，該刀路再經(jīng)后置處理器處理就能生成可供數(shù)控系統(tǒng)識別的NC代碼以用于零件加工。仿真參數(shù)見表1，得到的粗加工刀路如圖6所示，最終得到精加工的刀路如圖7所示。

圖6 粗加工刀路

圖7 精加工刀路

表1 仿真加工參數(shù)

上文經(jīng)過粗加工和精加工的仿真加工得到了試件的刀路，經(jīng)過后置處理得到可以用于加工的機床NC代碼。本文加工S試件所使用的機床為BC雙轉(zhuǎn)臺五軸機床，其數(shù)控系統(tǒng)為SINUMERIK 840D，經(jīng)過NX的后處理，得到機床加工S試件的精加工的G代碼，后置指令為純文本格式，后置指令中包含著刀具信息、進(jìn)給速度、運行時間等大量信息，如果要單純地得到機床在加工過程的刀尖點位置坐標(biāo)，需要對后置指令進(jìn)行處理才能得到想要分析的數(shù)據(jù)。

2.2 數(shù)控系統(tǒng)速度求解

五軸聯(lián)動加工過程中，五軸矢量速度控制時，每組指令點間的時間間隔T可根據(jù)編程坐標(biāo)與編程速度的比值計算，如式（7）所示：

式中：F為編程速度；μX、μY、μZ、μB、μC為長度或角度的標(biāo)準(zhǔn)單位轉(zhuǎn)換為脈沖值的數(shù)量值[6]。

各軸的速度可由機床各軸位置的變化量除以時間間隔得到:

各軸的加速度也可以通過相鄰兩個坐標(biāo)點的速度差值除以時間間隔得到。

3 S試件的輪廓誤差模型

為了通過機床各軸的彈性變形求得機床刀尖點的偏移誤差，必須對五軸加工中心的運動學(xué)狀態(tài)進(jìn)行求解。

3.1 BC軸雙轉(zhuǎn)臺五軸機床運動學(xué)模型

在機床加工過程中，工件固定于C軸轉(zhuǎn)臺上，C軸隨著B軸的轉(zhuǎn)動而擺動，B軸在加工過程中其軸線的方向不發(fā)生變換，所以B軸為主轉(zhuǎn)動軸也稱為定軸，而C軸隨著工件的加工，其軸線方向一直發(fā)生變換稱為次轉(zhuǎn)動軸也稱為動軸，在加工過程中動軸的位置受定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)的影響。所以BC軸雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床有兩條拓?fù)滏?，即機床-刀具，機床-工件，該機床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 機床拓?fù)滏?/p>

由于各軸的變形及主軸彈性變形使得刀尖點的位置發(fā)生改變，要得到刀尖點的偏移量大小，首先要根據(jù)五軸機床運動學(xué)理論將各軸的位移耦合到刀尖點形成刀尖成型軌跡。建立圖9所示的坐標(biāo)系。

圖9 建立坐標(biāo)系

設(shè)參考坐標(biāo)系原點Om到刀具坐標(biāo)系原點Ot距離為L，在刀具坐標(biāo)系中的位置矢量為PM0（XM0，YM0，ZM0）。與初始狀態(tài)相比，記機床三個直線進(jìn)給軸的位置坐標(biāo)為PM（XM，YM，ZM），B軸和C軸轉(zhuǎn)動了角度β和γ（沿X、Y軸的正方向，逆時針轉(zhuǎn)動為正方向）。在工件坐標(biāo)系下，刀位點的位置矢量和方向矢量分別為P（XP，YP，ZP）和u（iP，jP，kP），其中，XP，YP，ZP分別表示工件坐標(biāo)系下刀尖點在X、Y、Z三個方向的坐標(biāo)，iP，jP，kP分別表示在工件坐標(biāo)系下刀軸姿態(tài)在X、Y、Z三個方向的矢量投影。而u（iP，jP，kP）和P（XP，YP，ZP）可由OtXtYtZt相對于OmXmYmZm的平移和OmXmYmZm相對于OwXwYwZw的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換而得到[7]：

3.2 基于后置指令的機床運動狀態(tài)求解

使用BC軸雙轉(zhuǎn)臺五軸加工中心仿真加工了S試件，得到了機床的后置指令，通過對加工仿真后置指令的預(yù)處理得到機床在加工S試件時，刀尖點的位移軌跡，通過刀尖點的坐標(biāo)求得各軸的位移。反解式（15）得到機床各軸的位移坐標(biāo)：

將上節(jié)得到的NC代碼中的刀尖位置代入式（17）中，解得機床X、Y、Z 三軸加工過程中的位移，圖10所示為部分刀位點與三個平動軸之間的關(guān)系圖。

圖10 各軸位移

機床的數(shù)控系統(tǒng)在加工過程中會按照機床在加工時設(shè)定進(jìn)給速度來給各軸分配運動，當(dāng)進(jìn)給速度達(dá)不到設(shè)定值時，機床數(shù)控系統(tǒng)會降低進(jìn)給速度來保證所加工零件的表面質(zhì)量。進(jìn)給速度隨著刀路長度的變化如圖11所示。

從圖11中可以看到，在加工S試件的過程中，設(shè)定速度為1800 mm/min，即30 mm/s，機床在加工大部分區(qū)域時都沒有能夠達(dá)到設(shè)定的進(jìn)給速度。在刀路長度的中心點位置，速度發(fā)生了較大的改變，相應(yīng)的各軸的加速度也發(fā)生較大的改變，其原因是在此處為S試件的一處奇異點，此處機床的C轉(zhuǎn)臺運動過一周，相應(yīng)的各軸位移在這一點附近變化較大。但是由于檢測試件時忽略這一奇異點，因此本文也不對此處的影響做以研究。

圖11 機床進(jìn)給速度變化

3.3 S試件的輪廓誤差

由2.2節(jié)可知，刀尖點坐標(biāo)與三個軸位移的關(guān)系表達(dá)式，可以得到：

-

為了得到機床加工S試件時試件的輪廓誤差還需要考慮到機床的各項原始幾何誤差，其部分參數(shù)如表2所示。

表2 機床幾何誤差

結(jié)合3.2節(jié)得到的五軸機床各軸的運動狀態(tài)參數(shù)，一起代入式（18）～式（20）中，得到S試件的輪廓誤差模型。

圖12 S試件輪廓誤差

其中機床的部分參數(shù)如表3所示。

表3 機床參數(shù)

4 實驗對比與各軸剛度影響分析

以本文研究對象BC雙轉(zhuǎn)臺五軸加工中心為例，以2.1節(jié)得到的G代碼實際切削加工S試件，如圖13所示。

圖13 S試件實際加工

將加工后的S試件在三坐標(biāo)測量儀上進(jìn)行誤差測量，以6 mm高度選取截面，等弧長采樣24個點，其采樣結(jié)果如圖14所示。

圖14 S試件三坐標(biāo)采樣結(jié)果示意圖

將實際加工測得的S試件輪廓誤差與仿真得到的輪廓誤差進(jìn)行對比，如圖15所示，可以看到，該模型很好地仿真了S試件加工時的輪廓誤差，并且輪廓誤差較大的地方為S試件兩段曲線部分，其原因是這兩個區(qū)域曲率變化明顯，在加工過程中更易引起機床振動。

圖15 仿真與實際加工誤差對比

以該模型為基礎(chǔ)，改變模型中的各軸剛度參數(shù)，分別得到各軸的剛度對S試件的輪廓誤差影響（如圖16）。

圖16 各軸剛度對S 試件輪廓誤差的影響

其中k1曲線表示的是X方向等效剛度為600 N/mm，其余各方向的等效剛度為2000 N/mm，以此類推，則k5曲線表示的是C軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度為600 N/mm，其余各軸為2000 N/mm。

可以看到，在其他各軸剛性較好時，X方向的進(jìn)給系統(tǒng)等效剛度系數(shù)對S試件的輪廓誤差影響較大，Y、Z軸其次，B、C轉(zhuǎn)臺的等效扭轉(zhuǎn)剛度對S試件的輪廓誤差影響較小且基本相同。

5 結(jié)語

本文針對一類BC雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床建立了其加工S試件的輪廓誤差模型，并驗證了模型的有效性，在此基礎(chǔ)上對各軸剛度參數(shù)導(dǎo)致的試件輪廓誤差進(jìn)行分析。

本文建立了三個平動軸與兩個轉(zhuǎn)動軸的動力學(xué)模型，并仿真加工了S試件，在此基礎(chǔ)上綜合機床各項原始誤差及機床的后置指令得到了S試件的輪廓誤差模型，通過與該機床實際加工S試件測得的輪廓誤差進(jìn)行對比，驗證了模型的有效性。改變輪廓誤差模型的剛度參數(shù)，分析了各軸剛度參數(shù)對S試件輪廓誤差的影響程度，仿真結(jié)果表明：在三個平動軸中，X方向的進(jìn)給系統(tǒng)等效剛度系數(shù)對S試件的輪廓誤差影響較大，Y軸其次，Z軸影響最小。對比兩個轉(zhuǎn)動軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度參數(shù)，B、C轉(zhuǎn)臺的等效扭轉(zhuǎn)剛度對S試件的輪廓誤差影響較小。基于以上結(jié)論，為此后機床各軸的剛度優(yōu)化提供基礎(chǔ)。