海倫市第一中學(xué) 郭麗巍

1.研究目標(biāo)

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析?？梢娺壿嬐评碓跀?shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位。邏輯推理包括歸納推理和演繹推理，它在幾何證明中占有重要的地位。邏輯推理的訓(xùn)練能力應(yīng)該從小培養(yǎng)，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中給出了邏輯能力的界定：通過對數(shù)學(xué)對象（數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等）進(jìn)行邏輯思考（觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、演繹），從而做出推論；再進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例說明給出推論的合理性的綜合能力。

2.應(yīng)用廣度

動(dòng)態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型，因其綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)點(diǎn)多、解答能力要求較高等特點(diǎn)，一直受到命題者的青睞。在近幾年各地的中考、高考試卷中，以動(dòng)點(diǎn)問題為主的動(dòng)態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中，成為全卷的難點(diǎn)，考查學(xué)生對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。史寧中教授認(rèn)為，教學(xué)不僅要教給知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧。知識(shí)的主要載體是書本，智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過程中，形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中，形成于學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的教育教學(xué)實(shí)踐中。今天我們淺談下數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”中的“歸納推理”。它主要體現(xiàn)在特殊值情況代替題設(shè)中的普遍條件，得出特殊的結(jié)論，從而在解決問題時(shí)做出正確判斷。這種方法叫做“特殊值法”。題目中已知條件中含有某些不確定的量，而題目的結(jié)論是唯一的或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將變量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情況來求出這個(gè)定值，從而簡化了推理、論證的過程。這種方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊點(diǎn)、特殊位置等），進(jìn)行合理科學(xué)的判斷——否定或肯定，從而達(dá)到快速解題的目的。

下面以實(shí)例說明特殊值在一些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。

3.案例展示

（1）解題策略——運(yùn)用函數(shù)模型，靜化動(dòng)點(diǎn)問題

例：已知A是雙曲線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊做等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限，已知點(diǎn)C的位置始終在一函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)解析式為（ ）

[分析]：A為動(dòng)點(diǎn)，AB為動(dòng)線?？紤]A及AB的特殊位置，使得點(diǎn)A及直線AB為定點(diǎn)和定直線，把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題。

解：如右圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為45°時(shí)；當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí)，直線AB為y=x，此時(shí)可求出點(diǎn)，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為即函數(shù)解析式為

解：如下圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為60°時(shí)；當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí)，直線AB為此時(shí)可求出點(diǎn)則OA=即點(diǎn)C的坐標(biāo)為即函數(shù)解析式為

解：如下圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為30°時(shí)；當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí)，直線AB為此時(shí)可求出點(diǎn)則OA=2x，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為即函數(shù)解析式為

[解析]首先判斷點(diǎn)C的軌跡，若是選擇題，便可直接帶入點(diǎn)去驗(yàn)證，若本題為填空題，無論特殊點(diǎn)A選在哪里，都會(huì)得到一個(gè)確定的C點(diǎn)，嘗試兩次即可發(fā)現(xiàn)此軌跡為反比例函數(shù)的一支。代入點(diǎn)求出函數(shù)表達(dá)式。

（一般證明求解。）

解：過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C做x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F。

∵△ABC是等邊三角形

[評(píng)析]本題是考查反比例函數(shù)的綜合題。自然解法源于高觀點(diǎn)的統(tǒng)領(lǐng)[1]，本題涉及了直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多。解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。由于本題是選擇題，引導(dǎo)學(xué)生自然化的解決問題，化動(dòng)點(diǎn)為定線，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，簡單巧妙地解決問題。此題要想求出函數(shù)解析式，只要求點(diǎn)C函數(shù)軌跡，即點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)。由于此題中點(diǎn)C是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因此讓直線AB選取特定的位置，選定A、B點(diǎn)C的位置就很容易確定了。若要規(guī)范地證明此題需要一個(gè)完整的思考體系，一般的學(xué)生很難得到標(biāo)準(zhǔn)答案。因此在做選擇填空題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)匕盐罩骶€、學(xué)會(huì)巧妙化動(dòng)為定。

（2）嘗試運(yùn)用——打破思維定式，尋找最優(yōu)解法

例：如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交邊AD、BC于點(diǎn)E，F(xiàn)。且EF=6。則AE2+BF2的值為（ ）

（A）9 （B）16 （C）18 （D）36

[分析]本題直接解對有些學(xué)生來講比較困難。因此此題可以選取特殊點(diǎn)的方法，讓點(diǎn)E、點(diǎn)F都取線段的中點(diǎn)，很容易得到答案。由此可見特殊點(diǎn)的選取在做題時(shí)很實(shí)用，即很快能得到答案。

解：由平方加平方形式考慮到構(gòu)造勾股定理，在BA上取BG=AE，則△AEG≌△BGF，AE2+BF2=FG2，易得出答案。

[評(píng)析]對于這類特殊值的帶入方法，若教師在平時(shí)的教學(xué)中能有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)總結(jié)，形成固定的套路方法，那么學(xué)生在解題時(shí)就能主動(dòng)運(yùn)用“特殊值”來解決這樣的問題，打破思維定式，尋找最優(yōu)解法[2]。

（3）問題遷移——精選思維起點(diǎn)，巧解數(shù)學(xué)問題

哈師大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科期末檢測試卷中選擇題第十二題作為選擇題中的壓軸題得分率較低，下面探究能否運(yùn)用特殊值法去解決問題。

下列關(guān)于一元二次方程x2+bx+c=0的四個(gè)命題：

①當(dāng)c=0，b≠0時(shí)，這個(gè)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)c≠0時(shí)，若p是方程x2+bx+c=0的一個(gè)根，則是方程cx2+bx+1=0的一個(gè)根；

③若c＜0，則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m＜n，使得m2+mb+c＜0＜n2+nb+c；

其中是假命題的序號(hào)是

（A）① （B）② （C）③ （D）④

[分析]（1）很容易判斷出b2-4ac=b2＜0即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。

（2）由p是方程的一個(gè)根可知p2+bp+c=0，方程兩邊同時(shí)除以p2可推導(dǎo)。若用特殊值法可以選取p=2代入x2+bx+c=0，得2b+c=-4，把代入cx2+bx+1=0，得+1=0，2b+c=-4，因此②正確。

（3）c＜0，b2-4ac=b2＞0，函數(shù)y=x2+bx+c=0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象一定可以找到兩個(gè)實(shí)數(shù)m＜n，使得m2+mb+c＜0＜n2+nb+c；對于低年級(jí)學(xué)生難度較大。

（4）以通過韋達(dá)定理去求p-q的值，也可以選取特殊的p，q帶入驗(yàn)證。例如若選取p=2，q=3為方程的根，此時(shí)方程為x2-5x+6=0，即b=-5，c=6。通過驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)p-q=不成立，因此本題答案是D。

[點(diǎn)評(píng)]本題是哈師大附中某次期末考試中選擇題的最后一道題。對于難題我們應(yīng)該巧妙地選取特殊值?！疤厥饣辈呗圆坏墙鉀Q數(shù)學(xué)問題的重要手段，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要工具。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有必要加強(qiáng)“特殊值法”的教學(xué)。

4.思考與分析

（1）反思——螺旋上升，層層深入

邏輯推理能力是學(xué)生創(chuàng)造力的基礎(chǔ)，是構(gòu)成優(yōu)秀人才的要素之一。具有較高邏輯思維能力的學(xué)生，能夠依據(jù)已有的知識(shí)和事實(shí)，遵循一定的法則，按照嚴(yán)密的步驟進(jìn)行抽象、概括、判斷、推理，從已知到未知，把握事物的本質(zhì)?？梢?，在日常教學(xué)中教師應(yīng)該注重學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，讓他們學(xué)會(huì)精巧地解決問題。

眾所周知，數(shù)學(xué)選擇題只有四個(gè)選項(xiàng)，并且只有一項(xiàng)是正確答案，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。正是它的嚴(yán)密性和唯一性，才使得我們敢大膽地使用“取特殊值法”來找出答案。所謂的“取特殊值法”就是對題目中的某些變量賦值[3]。動(dòng)態(tài)軌跡問題是熱門題型，如果考生能夠熟練地運(yùn)用特殊值法常常會(huì)起到事半功倍的效果。

（2）分析——單因素方差分析對比真實(shí)數(shù)據(jù)

根據(jù)海倫市第一中學(xué)數(shù)學(xué)成績和本題的得分情況，區(qū)里統(tǒng)考統(tǒng)批，盡可能地排除誤差，年級(jí)總?cè)藬?shù)1231，通過對6個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績對比分析數(shù)據(jù)如下：

單因素方差分析結(jié)果（參考水平P值選取0.05），利用假設(shè)檢驗(yàn)的思想；原假設(shè)為u1=u2=u3=u4=u5=u6；即假設(shè)無差異。

V1 ANOVA平方和 df 均方 F 顯著性組間1502.298 5 300.460 1.391.228組內(nèi)48372.049 224 215.947總數(shù)49874.348 229

通過分析可發(fā)現(xiàn)P值為0.228，即拒絕原假設(shè)，因此6個(gè)班的成績有差異。假定方差的齊性，下面進(jìn)行LSD多重比較，同樣參考水平P值選取0.05，考慮95%的置信區(qū)間。

★.均值差的顯著性水平為0.05.

班級(jí) 801 802 803 804 805 806平均分77.46 74.9075.79 78.83 74.27 70.88

參照上表可以發(fā)現(xiàn)801班和806班顯著性是0.046，804班和806班的顯著性是0.018。這兩組數(shù)據(jù)的差異性比較大，有理由拒絕原假設(shè)。因此通過分析后的結(jié)論是6個(gè)班的成績存在差異，即四班和一班成績相對較好。

班級(jí)人數(shù)701 702 703 704 705 706做錯(cuò)人數(shù) 13 17 12 14 11 14總?cè)藬?shù) 39 39 39 36 36 42

本題702班做錯(cuò)的人數(shù)17人，明顯差異大于其他幾個(gè)班級(jí)的人數(shù)，比例明顯高于其他班級(jí)。因此702班的老師在合情推理方面多加滲透，雖然作為選擇題的壓軸題還是有難度，本題做的好的班級(jí)并不是成績好的班級(jí)。所以相對于學(xué)情而言，應(yīng)該選擇適合學(xué)生的得分方式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）回歸——自然通法，循序漸進(jìn)

張景中先生認(rèn)為：“一種方法解很多題，要好過很多方法解一個(gè)題。這一種方法絕不是靈機(jī)一動(dòng)的妙法，而應(yīng)是最基本、最重要、最自然的通法?！逼鋵?shí)站在數(shù)學(xué)思維的角度看，自然的解法才是最好的方法，才是學(xué)生能想到的方法，也是能引起思維共鳴的方法。因此，在處理特定的問題時(shí)，我們可以打破思維定式，自然而常規(guī)地解決高考選擇、填空題中的難題。