陳孝國，黃鴻輝，楊悅，3，余高鋒，王佑恩

ZADEH［1］提出的模糊理論是處理不確定性問題的有效工具，但僅用隸屬度來描述信息略顯不足，為了彌補這個缺陷，ATANASSOV［2］提出了直覺模糊集，用隸屬度、非隸屬度和猶豫度來表達不確定性信息，但仍然無法解決隸屬度和非隸屬度加和大于1的決策問題.2013年，美國學者YAGER［3］提出了Pythagorean模糊集，其由隸屬度與非隸屬度兩部分組成，同時滿足隸屬度與非隸屬度的平方和小于等于1，使它對隸屬度和非隸屬度的處理更加符合現實情況.目前已經有大量關于Pythagorean模糊集決策問題的研究，李娜等［4］將基于模糊測度的Choquet積分引入Pythagorean模糊集中，彌補了已有決策方法中假設屬性間相互獨立，而忽略屬性相互關聯性的不足.梁霞等［5］基于Pythagorean語言集，將TODIM方法、Choquet積分和Shapely函數結合提出了Pythagorean不確定語言集的TODIM方法及其應用，將屬性相互關聯下的決策方法引入Pythagorean語言集中.施明華等［6］提出了一種基于證據理論和加權MSM算子Pythagorean群決策方法，彌補了傳統(tǒng)Bonferroni平均等算子在捕獲變量間的關聯性不夠靈活的缺陷.陳孝國等［7］改進了現有支持度存在的缺陷，提出了一種新的加權支持度，并在Pythagorean模糊環(huán)境下建立了決策方法.劉政敏等［8］研究了Pythagorean不確定語言集的語言變量的運算法則、大小比較方法和距離測度等，然后提出擴展的VIKOR多屬性群決策方法.楊悅等［9］給出了基于Pythagorean集的猶豫模糊灰色關聯前景多屬性決策方法，一定程度上提高了決策的靈活性，降低了決策信息的損耗.范建平等［10］將模糊交叉熵概念引入Pythagorean模糊集中提出了Pythagorean模糊環(huán)境下的TOPSIS的多準則決策方法.杜玉琴［11］定義了Pythagorean梯形模糊語言集，提出Pythagorean梯形模糊語言集的計算規(guī)則、得分函數、加權算術平均算子和大小比較方法，并給出了Pythagorean梯形模糊語言集結算子的應用.

基于上述研究可以看出，大多數研究都沒有考慮決策者對方案的偏好因素，然而在現實生活中決策者會因為經驗和學術背景的不同而對方案偏好程度有所不同，進而影響決策結果.對此本文給出一種決策者確定型偏好的Pythagorean模糊集決策模型.近一步豐富關于畢達哥拉斯模糊集的決策方法.本文針對決策者對備選方案有自己的主觀偏好，且偏好信息和評價信息均為Pythagorean模糊數的多屬性決策問題，從因素權重完全未知和部分未知的角度構建基于Pythagorean模糊交叉熵和灰色關聯分析的綜合決策模型，利用拉格朗日乘子法和優(yōu)化理論求解權重，并通過改變灰色分辨系數的取值做擾動分析來檢驗決策結果的可靠性，為畢達哥拉斯模糊集在復雜決策領域上的建立提供理論支撐.

1 Pythagorean模糊集

定義1［12］設非空集合X中任意的Pythagorean模糊集為up(x)和vp(x)分別表示P中元素x∈X的隸屬度和非隸屬度，滿足0≤(up(x))2+(vp(x) )2≤1，up(x)∈[0,1]，vp(x)∈[0,1].πp(x)為 猶 豫度，的值越小說明關于x的信息越多，反之信息越少.

通常記P=(up,vp)為 一 個Pythagorean模糊數.

定 義2［12］P的 補 集 定 義 為PC，PC=

定 義3［12］分別為兩個Pythagorean模糊數，若up1≥up2且vp1≤vp2，則稱P1≥P2.

定義4［13］設P1=(up1,vp1)和P2=(up2,vp2)分別為兩個Pythagorean模糊數，定義：

定 義5［12］Pythagorean模糊 數 集 間 的 距 離定義如下：

定 義6［10］設P1，P2為 兩 個Pythagorean模糊集，P1=(uP1(xi),vP1(xi))，P2=(uP2(xi),vP2(xi))，則P1，P2之 間 的Pythagorean模 糊 交 叉 熵IPFS(P1,P2)可定義為：

式中IPFS(P1,P2)說明了P1，P2之間的差異程度，但由于IPFS(P1,P2)不具有對稱性，所以P1，P2之 間的對 稱Pythagorean模 糊 交叉 熵可定義為：

定 理1［10］設P1，P2為 兩 個Pythagorean模糊集，將P1，P2之間的模糊交叉熵定義為DPFS*(P1,P2)，則下列定理成立：

③DPFS*(P1,P2)≥0（其中DPFS*(P1,P2)=0當且僅當P1=P2）；

④P1，P2之間區(qū)別越大，則DPFS*(P1,P2)越大.

2 基于Pythagorean模糊數的決策方法

2.1 決策者確定型偏好的決策

本文研究的決策者對方案偏好確定的多屬性問題均假設決策者對各備選方案有確定的主觀偏好，基于Pythagorean模糊數的這類決策問題的一般描述為：決策者從眾多備選方案Ai（i=1，2，…，m）中，根據屬性值Cj（j=1，2，…，n），給出Pythagorean模糊數(uij,vij)形式表示的屬性值，其中，uij和vij分別表示決策者對于方案Ai在屬性Cj條件下的贊同程度和反對程度，為猶豫程度，且滿足為屬性權重，且滿足同時決策者對于方案Ai的主觀偏好值οi=(uij,vij)(i=1,2,…,m)也以Pythagorean模糊數的形式給出，最后通過計算綜合灰色關聯度系數值來對方案進行排序.

2.2 決策步驟

①確定備選方案Ai(i=1,2,…,m)在屬 性Cj(j=1,2,…,n)下的主觀評價矩陣Rmn和決策者對方案Ai的主觀偏好值οi=(uij,vij)(i=1,2,…,m).

②計算基于Pythagorean模糊交叉熵距離下的各方案主觀評價值相對于決策者的主觀偏好值的灰色關聯度系數，具體公式如下：

③確定屬性Cj的權重ωj.

④計算各備選方案Ai在所有屬性下的綜合灰色關聯度系數，公式如下：

⑤通過γi數值大小來對方案進行排序，即γi越大方案排序越靠前，使ξ變化做擾動分析，檢驗決策方法的穩(wěn)定性.

⑥確定最終排序.

2.3 屬性權重的確定

①權重信息完全未知.為了解決在權重信息完全未知的情況下客觀權重的確定方法，可以采用離差最大化的思想確定權重，即對于一個多屬性決策問題，一個屬性對于不同方案的偏差值越大，則屬性所占的權重就越大，如果一個屬性對于所有方案的賦值一樣，則可以認為該屬性的權重為0.

對于屬性Cj，方案Ai對于其他所有方案的偏差為j=1,2,…,n.所有方案對于其他方案的偏差值為

1.1.1 稻耐旱性資料 以《中國稻作資源目錄》[6]資料為基礎，對云南省稻耐旱性信息進行收集整合，主要針對苗期耐旱信息，共收集整理2 440份云南地方稻種資源稻耐旱性的相關資料信息。

構造拉格朗日函數L(λ,ωj)=L(λ,ωj)中的λ，ωj求偏導如下：

求得權重如下：

進行歸一化處理如下：

②權重信息部分未知.對于權重信息部分未知的情況，為了保證決策方法有效性，給出一種基于備選方案Ai的主觀評價值相對于主觀偏好值的相似程度最大化的客觀權重確定方法.建立如下優(yōu)化模型：

由此線性規(guī)劃可解出屬性Cj的權重ωj.其中ωj∈W包含下列五種情況：①ωk＞ωt；②ωk-ωt≥c，其 中c＞0；③ωk≥cωt，其 中c＞0；④c≤ωi≤c+τ，其中c＞0,τ＞0；⑤ωk-ωt≥ωl-ωe，其中t≠l≠e.

3 實例分析

設某保險公司需要對研發(fā)部門提供的四款理財產品Ai(i=1,2,3,4)進行聯評，初步選定4個屬性指標Cj(j=1,2,3,4)來考查各個產品質量，C1為收益率，C2為系統(tǒng)性風險，C3為市場營銷力度，C4為資金監(jiān)管能力.由于人們對風險性和收益率的認識差別，使得該問題存在一定的主觀偏好.經查閱數據資料，決策者對理財產品Ai在不同屬性Cj下的評價值采同時對用Pythagorean模糊數表示，評價所得Pythagorean模糊決策矩陣R44如表1所示.

表1 Pythagorean模糊決策矩陣R44

決策者對產品Ai的主觀偏好為：ο1=( 0.7,0.4)，ο2=( 0.6,0.3)，ο3=( 0.7,0.2)，ο4=( 0.3,0.5).利用定義6計算各理財產品Ai的主觀評價值相對于主觀偏好值οi的Pythagorean模糊交叉熵距離，構成距離矩陣DPFS*.

根據式（1）計算各理財產品Ai的主觀評價值與主觀偏好值οi的灰色關聯度系數，這里先令ξ=0.5，計算出系數矩陣γ.

然后計算各屬性Cj的權重.

①若權重信息完全未知，則利用式（6）計算 權 重ω*=(0.259 8,0.229 4,0.190 2,0.320 6).利用式（2）計算出各產品的綜合關聯度系數γi.其中γ1=0.502 3，γ2=0.5710，γ3=0.725 4，γ4=0.606 8.根據γ3＞γ4＞γ2＞γ1得到產 品排序結果為A3＞A4＞A2＞A1.現在通過改變ξ的值做擾動分析來檢驗方案的可靠性，隨機選 取ξ=0.2，ξ=0.36，ξ=0.6，ξ=0.86，ξ=0.93，得到各產品的綜合關聯度系數和排序結果，如表2所示.

從表2可以看出，在權重信息完全未知的情況下，當改變灰色分辨系數ξ的值，決策結果也沒發(fā)生變化，說明該決策模型在權重信息完全未知的情況下具有一定的穩(wěn)定性.

表2 權重完全未知前提下不同灰色分辨率對應的決策結果

②經咨詢領域專家，初步確定權重范圍為0.2≤ω1≤0.3，0.22≤ω2≤0.28，0.22≤ω3≤0.30，0.25≤ω4≤0.30.利用式（7）計算權重，構建灰色關聯度系數最大化為目標的規(guī)劃模型，形式如下：

利用MATLAB 7.0計算結果ω=(0.255 6,0.244 4,0.222 2,0.277 8).

根據式（2）計算出各產品的綜合關聯度系數γi.其中γ1=0.544 8，γ2=0.544 5，γ3=0.762 1，γ4=0.572 1.根據γ3＞γ4＞γ1＞γ2可得產品排序結果為A3＞A4＞A1＞A2，現在通過改變ξ的值做擾動分析來檢驗產品的可靠性，隨機選取ξ=0.2，ξ=0.36，ξ=0.6，ξ=0.86，ξ=0.93得到各產品的綜合關聯度系數和排序結果，如表3所示.

表3 權重部分未知前提下不同灰色分辨率對應的決策結果

從表3可以看出，在權重信息部分未知的情況下，當改變灰色分辨系數ξ的值，決策結果也沒發(fā)生變化，說明該決策模型在權重信息部分未知的情況下具有一定的穩(wěn)定性.

實例分析中采用優(yōu)化模型求解權重，在不同灰色分辨系數下權重及綜合關聯度系數均能達到全局最優(yōu)，且結果唯一.

4 結語

本文針對決策者對方案有偏好的情況，給出了基于Pythagorean模糊集的綜合關聯度系數分析法，首先用Pythagorean模糊數給出各方案在各屬性下的評價值和方案的主觀偏好值，再引入灰色關聯度分析法對方案進行排序，得到本文的排序結果A3＞A4＞A1＞A2，并通過控制灰色辨別系數的值對排序結果進行擾動分析，由分析結果可以看出，其決策結果有很高的穩(wěn)定性.同時本文也有缺點，本文考慮的只是個體決策，而沒有將其推廣到群決策上.在現實世界中由于個體能力有限，所以很難通過個體決策得到比較完美的決策方案，而群決策就能很好地彌補這個缺陷，所以將綜合關聯度系數分析法推廣到群決策上將是本文的改進方向.在下一步研究中還可以進一步考慮群決策中各專家所提供的方案偏好程度，以求得到一個所有專家都認可的方案.