陳操

【摘? ?要】“排列”與“組合”有很多相似之處，學(xué)生對這兩者經(jīng)常混淆不清。以人教版教材二年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——搭配（一）”中的例2為例，對“排列”與“組合”兩種方法的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，提出了“起點分析，尋找知識連接點”“題組對比，揭示概念本質(zhì)”“優(yōu)化材料，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)”這三條教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生通過溝通建立知識聯(lián)系，通過對比感悟數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)廣角;搭配;對比;溝通

人教版教材以獨立的板塊開辟“數(shù)學(xué)廣角”，滲透數(shù)學(xué)思想方法。二年級上冊“搭配（一）”是“數(shù)學(xué)廣角”這一板塊的重要組成部分。教材圍繞“搭配”安排了兩個課時的內(nèi)容，第一課時滲透排列的思想，第二課時滲透組合的思想?！芭帕小迸c“組合”有很多相似之處，學(xué)生對這兩者經(jīng)?；煜磺?。教學(xué)時可以讓學(xué)生通過溝通建立知識聯(lián)系，通過對比感悟數(shù)學(xué)思想。

一、起點分析，尋找知識連接點

學(xué)習(xí)是新舊知識之間相互迭代和鏈接的過程，因此，教學(xué)要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，從起點出發(fā)，抓住新舊知識之間的關(guān)聯(lián)點，把新知納入到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，進(jìn)行同化和順應(yīng)。排列與組合的教學(xué)也是如此。

（一）起點分析

1.邏輯起點

基于教材知識體系和學(xué)生成長規(guī)律進(jìn)行教學(xué)的邏輯起點分析。從解決問題的方法上看，學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了“固定十位法”“固定個位法”“調(diào)換位置法”等方法，對于排列與組合的問題，應(yīng)該能夠獨立解決，找到答案。從思維方式上看，學(xué)生經(jīng)歷了“有序”“全面”“組合（配對）”等思考問題方式的“訓(xùn)練”，已經(jīng)擁有理解排列與組合問題的思維基礎(chǔ)。從學(xué)習(xí)經(jīng)驗上看，學(xué)生有過解決組合問題的經(jīng)驗，如在解決人教版一年級下冊“認(rèn)識圖形（二）例3”時，學(xué)生首先思考拼三角形需要用到幾塊圖形，然后運(yùn)用分類思考的方法，考慮可以2塊組合拼、3塊組合拼、4塊組合拼等。

2.現(xiàn)實起點

基于對學(xué)生實際和潛在經(jīng)驗的現(xiàn)實起點進(jìn)行分析，教師做了課前調(diào)研，請學(xué)生獨立解決問題“有2、3、4三個數(shù)字，任意選取其中兩個組成兩位數(shù)，能組成幾個不同的兩位數(shù)”。學(xué)生解答的正確率達(dá)到了93.3%，多數(shù)答案不但正確且有序，答案正確但排列無序的僅占2.2%。解答時多數(shù)學(xué)生使用了“固定十位法”和“調(diào)換位置法”，用“固定十位法”的學(xué)生占66.7%，用“調(diào)換位置法”的學(xué)生占22.2%。

從數(shù)據(jù)分析可以看出，學(xué)生對于“固定十位法”掌握得比較好，運(yùn)用“調(diào)換位置法”的人比較少。測試后，教師又對部分學(xué)生進(jìn)行了訪談，請學(xué)生說說“你是怎么想的”。從學(xué)生的回答中可以看出，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)有了有序思考的經(jīng)驗基礎(chǔ)。

（二）基于起點分析引入教學(xué)

組合問題主要表現(xiàn)為分類計數(shù)、有序但不排序，“分類思想”是解決組合問題的核心。學(xué)生雖然有了有序思考的經(jīng)驗基礎(chǔ)，但尚未形成分類計數(shù)的思想。基于對學(xué)生起點的分析，將新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)展開如下。

【片段1】經(jīng)驗復(fù)習(xí)，引入新課

出示問題：有三個數(shù)分別是3、5、7，任意選取其中兩個組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，能組成幾個？

學(xué)生獨立解答后進(jìn)行交流。教師將學(xué)生的答案分成左右兩列寫在黑板上。左邊一列是35、37、53、57、73、75;右邊一列是35、53、37、73、57、75。

師：認(rèn)真觀察，這兩組答案正確嗎？分別用了什么方法解決問題？

生：兩組都是正確的。左邊用了“固定十位法”，右邊用了“調(diào)換位置法”。

師：運(yùn)用這些方法寫有什么好處呢？

生：可以做到有順序、不遺漏、不重復(fù)。

師：在“固定十位法”“調(diào)換位置法”中，也隱藏著分類寫的方法。你能看出來嗎？

生：用“固定十位法”寫，其實就是按十位是3、5、7分類寫。

生：運(yùn)用“調(diào)換位置法”時，選3、5一類可以組成35和53;選3、7一類，可以組成37和73;選5、7一類，可以組成57和75。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答在板書上圈出相應(yīng)的部分）

師：剛才，我們運(yùn)用“固定十位法”“調(diào)換位置法”以及分類思考的方法解決了問題。這節(jié)課將運(yùn)用我們已有的知識，繼續(xù)研究新的問題。

通過復(fù)習(xí)，學(xué)生梳理了有序思考問題的方法。在圈一圈中感受“固定十位法”是按十位是3、5、7分類;“調(diào)換位置法”是按3、5組隊分類，3、7組隊分類和5、7組隊分類。在復(fù)習(xí)引入中，教師通過“圈一圈”，在分類與有序思考之間建立了內(nèi)在的聯(lián)系，為新授“組合”的教學(xué)埋下了伏筆。

二、題組對比，揭示概念本質(zhì)

“排列”與“組合”是兩個比較抽象的概念。排列是指從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列;組合是指從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組?！芭帕小迸c“組合”是兩個鄰近概念，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。排列與組合都是從一定數(shù)量的元素里取出若干個元素;但排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)?；趯Α芭帕小迸c“組合”概念的解讀，教學(xué)中要抓住概念本質(zhì)，采用題組對比的教學(xué)方式，幫助學(xué)生了解概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，以便學(xué)生理解、掌握排列與組合的基本思想方法。

（一）借助對比，揭示本質(zhì)

從前一節(jié)課的“排列”到本節(jié)課的“組合”，從原本三個數(shù)中任選兩個數(shù)進(jìn)行排序，到從三個數(shù)中任選兩個數(shù)組合而不用排序，學(xué)生的認(rèn)知要經(jīng)歷轉(zhuǎn)變的過程，而轉(zhuǎn)變原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)正是本節(jié)課教學(xué)的難點。新知教學(xué)時可以采用新舊對比的教學(xué)方式，以突破難點，幫助學(xué)生正確理解概念的本質(zhì)。

【片段2】探究新知，初步感知“組合”的思想

教師出示改編后的題目：有三個數(shù)分別是3、5、7，任意選擇其中兩個數(shù)求和，一共有多少種可能？

師：想一想，這一題與前面一題有什么相同和不同的地方？并把結(jié)果寫下來。

（學(xué)生完成后反饋交流）

生：3和5組成兩位數(shù)時，35和53屬于兩個不同的數(shù);3和5組在一起算和時，3+5和5+3的和都是8，只能算一種……

生：“組成兩位數(shù)”的兩個數(shù)字可以交換位置，和不變。

生：我發(fā)現(xiàn)“組成兩位數(shù)”要排順序，“求和”不用排順序。

根據(jù)學(xué)生的回答，教師在板書上進(jìn)行圈、刪（如圖1）。

通過兩道題目的對比學(xué)生發(fā)現(xiàn)，排列與組合在選擇數(shù)字時有相同之處，都可以先用“組隊”的方式將數(shù)字分組：3、5;3、7;5、7。不同點是，“組數(shù)”（排列）時兩個數(shù)交換位置可以得到不同的數(shù);“求和”（組合）時兩個數(shù)交換位置和一樣，只能算一種情況。學(xué)生在異同點對比中初步感悟組合的基本思想。

（二）對比練習(xí)，溝通聯(lián)系

“排列”與“組合”屬于高中數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容，本節(jié)課的教學(xué)目的不是讓學(xué)生一定要明確區(qū)分什么是排列，什么是組合，而是引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實生活的具體情境進(jìn)行分析，體會哪些情況下要考慮事物的先后順序，哪些情況下不用考慮事物的先后順序。引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)學(xué)化”的思考過程中感悟排列與組合的思想，建立排列與組合之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在結(jié)合經(jīng)驗解決類似問題時，通過類比融通形成解決問題的思維結(jié)構(gòu)。

【片段3】對比練習(xí)，勾連排列與組合

師：二年級某班在競選班長時遇到了難題，聰明的同學(xué)們愿意幫忙嗎？

教師出示改編后的教材習(xí)題：三個人競選正、副班長，會有幾種可能？競選結(jié)束了，每兩個人握一次手，三個人一共握了幾次手？

生：選班長有6種可能，握手只有3種情況。

師：為什么兩個答案不一樣？

生：因為選班長，一個正一個副，也可以換過來一個副一個正，而握手兩個人換過來握，你跟我握手和我跟你握手，算同一次握手。

（教師請學(xué)生上講臺演示）

師：從剛才的演示中我們發(fā)現(xiàn)，選班長，從三個人中選出兩個人要按正、副班長排順序，而從三個人中選兩個人握手，這兩個人選出后不用排序。

師：這兩道題與前面的題目有什么相同和不同之處呢？

生：這兩題中是三個人，上面兩題中是三個數(shù)字。

生：三個學(xué)生可以看成三個數(shù)，我用1、2、3表示三個學(xué)生，按第一個是正班長、第二個是副班長的順序排列，可以有“12，13;21，23;31，32”一共6種情況。握手時，只有“1、2握，1、3握，2、3握”這3種情況。這和前面一組題的區(qū)別是一樣的。

“排列”與“組合”是兩個不同的概念。教師通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生體驗排序與不排序的差別，區(qū)分排列與組合的方法。通過前后兩組題的對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一組題從數(shù)字入手，第二組題從生活情境入手，兩組題之間具有相似性與共通性，形成了解決排列與組合問題的思維結(jié)構(gòu)。

三、優(yōu)化材料，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)材料在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。好的學(xué)習(xí)材料能幫助學(xué)生加深對知識的感知、理解、分析和整合，是學(xué)生獲得知識、解決問題、培養(yǎng)思維、提升數(shù)學(xué)能力的有效載體。學(xué)習(xí)材料包括學(xué)習(xí)用書、課程資源、操作材料、習(xí)題等等。優(yōu)化材料的選擇、組織和呈現(xiàn)方式，能幫助學(xué)生架起已有知識與新知之間的橋梁。

（一）優(yōu)化材料的選擇與組織

教學(xué)中選擇不同的學(xué)習(xí)材料，或者同一個材料采用不同的組織方式，會對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、知識理解以及學(xué)習(xí)過程和結(jié)果產(chǎn)生不同的影響。優(yōu)化習(xí)題材料的選擇與組織方式有很多種。如教師可以以例題為基礎(chǔ)優(yōu)化習(xí)題，適當(dāng)拓展例題的內(nèi)容，以激發(fā)學(xué)生深度探究的熱情。教學(xué)中教師出示用例題改編的習(xí)題：有三個數(shù)，分別是0、5、7，任意選取其中的兩個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，能組成幾個兩位數(shù)？有的學(xué)生通過一一枚舉的方式寫出6個;有的學(xué)生直接將0畫去，寫出57、75兩個數(shù)，理由是0不能用來組數(shù);有的學(xué)生寫出6個數(shù)后，畫去了05、07兩個數(shù);有的學(xué)生直接寫出4個數(shù)，理由是三個數(shù)選兩個是6種可能，但因為0不能在首位，所以要減去兩個數(shù)。針對以上的反饋情況，教師引導(dǎo)學(xué)生展開討論。通過辨析交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)0是一個特殊的數(shù)字，組數(shù)的時候它不能放在首位，所以一共是4種可能。教師雖然只是將例題中的一個數(shù)字改成了0，但卻拓展了思維的寬度。學(xué)生在運(yùn)用排列與組合思想的同時，也鞏固了關(guān)于0占位的知識。

（二）優(yōu)化材料的呈現(xiàn)方式

“學(xué)習(xí)的最好刺激乃是對所學(xué)習(xí)材料的興趣。”材料的呈現(xiàn)方式有文字、表格、圖片等。同一個學(xué)習(xí)材料以不同的方式呈現(xiàn)，得到的效果會不一樣。

如教師在試教時出示如下習(xí)題：“有紅色、綠色、白色三張紙條，長度分別是4厘米、6厘米、8厘米，任意選其中的兩張拼成一張新的紙條，有哪些不同的拼法？可以拼成哪些不同的長度？”在解答“有哪些不同的拼法”時，很多學(xué)生得出錯誤答案3種。經(jīng)了解得知，學(xué)生把“不同拼法”和“不同長度”混為一談了。由此可知，學(xué)生在讀題時關(guān)注更多的是阿拉伯?dāng)?shù)字，對于隱藏著的顏色信息不容易獲取。所以，在第二次教學(xué)中教師對材料進(jìn)行了修改：將紅色、綠色、白色紙條用圖片的方式呈現(xiàn)，并給學(xué)生提供實物材料，讓學(xué)生擺一擺、拼一拼。結(jié)果顯示，學(xué)生答題的準(zhǔn)確率大大提高。因此，選擇材料的呈現(xiàn)方式時，應(yīng)考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)特點，這樣才能有效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣碧云.基于“數(shù)學(xué)理解層次”的教學(xué)路徑探索：思維可視化的另一種打開方式[J]. 上海教育科研，2019（2）.

[2]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

[3]曹培英.“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)的系列研究（二）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（3）.

（浙江省杭州市余杭區(qū)良渚第二小學(xué)? ?311113）