◎康 聰

(蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)，江蘇 蘇州 215000)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)屬于認(rèn)識論和方法論的綜合性思維形式，它具有概念化、抽象化、模式化的認(rèn)識特征.具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人善于把數(shù)學(xué)中的概念結(jié)論和處理方法推廣應(yīng)用于認(rèn)識一切客觀事物.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)源于課堂，因此，教師的引導(dǎo)要注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從一般到特殊，從簡單到復(fù)雜.基于此，筆者試以“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1”為例，對核心素養(yǎng)的培育進(jìn)行剖析.

一、復(fù)習(xí)回顧

師：我們在畫一次函數(shù)的圖象的時(shí)候，主要經(jīng)歷了哪些步驟？

生1:列表、描點(diǎn)、連線.

生2：學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過程是概念、圖象與性質(zhì)和應(yīng)用.

師：好的，借助函數(shù)圖象，我們研究了性質(zhì)(PPT展示一次函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑).

師：我們舉一個(gè)一次函數(shù)的例子：y=2x+1，誰來說一說它的性質(zhì)？

師：很好，我們通過畫一次函數(shù)的圖象，確定了函數(shù)的性質(zhì).借助這樣的經(jīng)驗(yàn)，我們繼續(xù)踏上新的學(xué)習(xí)旅程，昨天我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)，現(xiàn)在我們來看這樣的問題.

設(shè)計(jì)目的：學(xué)習(xí)過程注重?cái)?shù)與形的結(jié)合，動態(tài)生成學(xué)習(xí)情境，學(xué)生通過形的特點(diǎn)引出一次函數(shù)的性質(zhì).“函數(shù)”是我們已經(jīng)掌握的一種數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在已有的知識生長點(diǎn)，探究反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方式.

二、新課引入

(一)初探：猜想、驗(yàn)證

板書呈現(xiàn)：

生：x≠0，因?yàn)閤=0時(shí)分式無意義.

師：x≠0，說明函數(shù)圖象與y軸無交點(diǎn).那么y的值可以等于0嗎？

師：既然x，y取不到0，那么這個(gè)函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中會有什么特點(diǎn)呢？

生：分成兩部分：當(dāng)x>0時(shí)，y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y<0.

師：具體說說，怎么得到的呢？

師點(diǎn)評：很好，這樣確定了圖象在第一、三象限，還有其他內(nèi)容嗎？

生：當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小.

師：誰能把這個(gè)變化趨勢具體化？

生：當(dāng)x>0時(shí)，如，x=2，y=3；x=6，y=1.此時(shí)y隨x的增大而減小.

當(dāng)x<0時(shí)，如，x=-1，y=-6；x=-2，y=-3.此時(shí)y隨x的增大而增大.

所以要分成兩部分說明反比例函數(shù)圖象的分布區(qū)域.

師：如果不討論x的范圍，那么變化趨勢相同嗎？

生：不同，如，當(dāng)x=2，y=3，當(dāng)x=-1，y=-6，此時(shí)y隨x的減小而減小，與剛才的推理不符.

設(shè)計(jì)目的：問題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的起點(diǎn).學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，能由數(shù)想形，自主建構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容，突破反比例函數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，進(jìn)而發(fā)揮主觀能動性，獲得探求新知識的智力價(jià)值和智慧價(jià)值.

(二)再探：列表、交流

(教師觀察學(xué)生的作圖情況，并展示學(xué)生的作圖成果)

師：我們一起來看畫好的圖象，并進(jìn)行一一驗(yàn)證.

①第一、三象限；

②與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)；

③當(dāng)x>0與x<0時(shí)，y都隨x的增大而減小.

第一步，列表.

師：在表格中，我們怎樣取值比較好呢？取值需要注意什么事項(xiàng)呢？

生1：取整數(shù)，這樣計(jì)算方便.

生2：正負(fù)數(shù)都要取.

生3：多取點(diǎn)，這樣畫圖精確.

師：根據(jù)剛才大家的反饋，我們在列表時(shí)，自變量x的取值要注意以下幾點(diǎn)(PPT)：

(1)在自變量取值范圍內(nèi)取值；(x≠0)

(2)一定要有代表性；(兼顧正、負(fù))

(3)大小要適度；(描點(diǎn)時(shí)好操作)

(4)要盡量多取一些數(shù)值.

師：通過表格，你準(zhǔn)備取哪些值呢？

xy=6x

生：從小到大取，可以取-6，-4，-3，-2，-1,1,2,3,4,6，等等.

教師填寫數(shù)據(jù)，展示學(xué)生畫圖的成果.

第二步，描點(diǎn)，連線.

師：兩點(diǎn)之間，是線段還是曲線呢？

生：如果是直線，那么應(yīng)該是一次函數(shù)，我們可以在反比例函數(shù)圖象上任取一個(gè)點(diǎn)，來驗(yàn)證它是否在這條直線上.

生：取(1.2,5).

教師在幾何畫板演示，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)(1.2,5)在曲線的下方.

師：這說明我們構(gòu)造的整數(shù)點(diǎn)之間的連線，不是直線.把自變量范圍內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行細(xì)化，隨著點(diǎn)數(shù)的增加，構(gòu)造圖象的點(diǎn)越來越密，幾何畫板充分展現(xiàn)了反比例函數(shù)圖象中的兩支曲線的生成過程，學(xué)生經(jīng)歷了曲線的產(chǎn)生過程，并由此理解反比例函數(shù)是曲線，為高中學(xué)習(xí)微積分知識做好鋪墊.

教師展示反比例函數(shù)的圖象.

師：借助圖象，我們繼續(xù)來研究反比例函數(shù)的性質(zhì).

生：有兩條曲線.

師：這兩條曲線又叫雙曲線.那么，雙曲線有什么性質(zhì)呢？

生：增減性：當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小.

師：很好，強(qiáng)調(diào)了雙曲線的增減性要分成兩個(gè)象限，這是一個(gè)非常重要的內(nèi)容(板書).

歸納(板書)：當(dāng)k>0時(shí)：

(1)函數(shù)圖象分別位于第________象限.

(2)在第________象限，y隨x的增大而________.

設(shè)計(jì)目的：推理是數(shù)學(xué)知識形成的重要手段，學(xué)生通過猜想反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，畫出圖象的輪廓，再驗(yàn)證猜想的過程，進(jìn)而達(dá)到在思辨中內(nèi)化知識，拓展思維能力的目的.

(三)三探：完善、展示

歸納(板書)：當(dāng)k<0時(shí)：

(1)函數(shù)的圖象分別位于第________象限；

(2)在第________象限，y隨x的增大而________.

師：通過畫圖情況，我們知道點(diǎn)與點(diǎn)之間用光滑的曲線連接，那么在自變量x靠近0的部分，如果k>0，函數(shù)值y會有怎樣的特點(diǎn)呢？

生：當(dāng)x>0時(shí)，圖象無限靠近y軸正半軸，x越小，y的取值越大.同樣地，當(dāng)x<0時(shí)，圖象無限靠近y軸負(fù)半軸，x越大，y值越小.

師：類似地，當(dāng)x取無窮大時(shí)，y值有怎樣的對應(yīng)情況呢？

生(齊說)：y值趨于0.

師(完善曲線)：無限接近x，y軸，但不與x，y軸相交，這就是漸近性.這樣，我們就得到了反比例函數(shù)圖象向坐標(biāo)軸無限靠近的性質(zhì).

設(shè)計(jì)目的：學(xué)生用類比的思想得到反比例函數(shù)(k<0)的圖象與性質(zhì)，并用文字語言歸納概括，水到渠成.

(四)歸納總結(jié)

師：請同學(xué)們回顧，本節(jié)課你有什么收獲呢？

生1：學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

生2：在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，學(xué)到了一些解決問題的策略：實(shí)例—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納.

師點(diǎn)評：很好，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不但能擴(kuò)大我們的知識領(lǐng)域，更重要的是能提高我們解決問題的能力，這就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的魅力！

師：通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)生長點(diǎn)，我們進(jìn)行以下學(xué)習(xí)方式：

設(shè)計(jì)目的：注重培養(yǎng)學(xué)生的開放、靈活、自信、專注、合作等良好品質(zhì)和獨(dú)立思考能力.本節(jié)課整體的課程設(shè)計(jì)都采用自主探究的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在感悟獲取知識的同時(shí)，經(jīng)歷知識的生成和推導(dǎo)的過程，并在這一過程中感悟數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(五)教學(xué)思考

數(shù)學(xué)概念獲得的過程是典型的數(shù)學(xué)抽象的過程，教師在教學(xué)過程中應(yīng)盡可能地創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生的問題情境，設(shè)計(jì)對概念的概括與提煉更加精準(zhǔn)的學(xué)習(xí)活動，凸顯概念的“再創(chuàng)造”的過程.波利亞認(rèn)為：“學(xué)東西最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它.”學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，可以在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中自主探索反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，另外，教師要圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行深度探索，運(yùn)用探究式教學(xué)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法的深刻理解的目的.

注重知識的外延有利于核心素養(yǎng)的銜接.反比例函數(shù)的圖象是曲線，學(xué)生通過解析式具體分析，可以判斷圖象不能是直線，并驗(yàn)證成功；教師通過幾何畫板，構(gòu)造連線過程，進(jìn)而說明反比例函數(shù)圖象是曲線的緣由.漸近性刻畫了函數(shù)的極限思想，當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，y趨于0，這為高等數(shù)學(xué)極限學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，從感性認(rèn)識到理性探究，為培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)創(chuàng)造條件.這有利于學(xué)生積累用數(shù)學(xué)思維思考問題的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升邏輯推理素養(yǎng).

學(xué)生的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，對課堂的品質(zhì)要求越來越高，而學(xué)生的思維培養(yǎng)具有長期性.因此，教師在課程整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，要以學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和素養(yǎng)為育人目標(biāo)，在知識脈絡(luò)上協(xié)調(diào)數(shù)學(xué)知識、方法、思想、能力及素養(yǎng)等各個(gè)要素之間的關(guān)系，從而達(dá)到新舊知識的關(guān)聯(lián)、建立數(shù)學(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系，及數(shù)學(xué)思想方法連貫性的統(tǒng)一要求.