沈世磊， 宋傳靜

（蘇州科技大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215009）

引 言

用奇異Lagrange 函數(shù)描述的系統(tǒng)稱為奇異系統(tǒng)，在過渡到相空間描述時，其正則變量之間存在固有約束，稱為約束Hamilton 系統(tǒng).奇異系統(tǒng)長期活躍在物理學的眾多領域，如楊-Mills 場、旋量場、電磁場、超引力、超弦等理論都與其息息相關.因此奇異系統(tǒng)的基本理論在物理學中，特別是在現(xiàn)代量子場論中有著不可或缺的作用[1-2].Nambu[3]率先研究了奇異Lagrange 系統(tǒng)的正則形式，此后Bergmann 等[4]也奠定了該系統(tǒng)動力學與量子化的基礎.

Noether 定理是德國數(shù)學家Noether[5]在1918 年提出的，該定理首次揭示了對稱性與守恒量之間的關系.眾所周知，Noether 對稱性是指Hamilton 作用量在無限小變換下的不變性.通過Noether 定理可以找到不同力學系統(tǒng)的守恒量，而力學系統(tǒng)的守恒量對研究力學系統(tǒng)的動力學行為及穩(wěn)定性都有指導意義，因此Noether 理論的研究一直以來是諸多學者關注的熱門課題，并且也取得了豐碩的成果[6-11].特別地，李子平[12]提出了奇異系統(tǒng)在相空間中的Noether 定理.

分數(shù)階模型相比于整數(shù)階模型，能夠更好地描述復雜動力學及物理行為.由于分數(shù)階微積分具有記憶性和非局域性，因此被廣泛應用于流體力學、光學、經濟學、信號圖像處理以及生物醫(yī)學工程等眾多領域[13-15].分數(shù)階算子中應用最為廣泛的是Riemann-Liouville 分數(shù)階算子[16]、Caputo 分數(shù)階算子[17]、Riesz-Riemann-Liouville 分數(shù)階算子[18]以及Riesz-Caputo 分數(shù)階算子[19].2010 年，Agrawal[20]提出了一種新的分數(shù)階算子，稱其為廣義分數(shù)階算子.在特殊情形下，廣義分數(shù)階算子可以退化為上述四種算子.

1996 年，Riewe[21-22]首次將分數(shù)階微積分納入非保守力學系統(tǒng)，提出并初步研究了分數(shù)階變分問題，F(xiàn)rederico 等[23-24]、Agrawal[20]也進一步研究了分數(shù)階變分問題.2007 年，F(xiàn)rederico 等[23-24]首次研究了分數(shù)階Noether 對稱性與守恒量并建立了Noether 定理.之后，分數(shù)階Noether 對稱性與守恒量的研究也取得了重大進展[25-31].特別地，Song 等[32-33]利用Agrawal 提出的廣義分數(shù)階算子給出了Birkhoff 系統(tǒng)以及Hamilton 系統(tǒng)的Noether 對稱性與守恒量，然而在廣義分數(shù)階算子下，對奇異系統(tǒng)的Noether 對稱性與守恒量的研究還未涉及.因此本文進一步研究了廣義分數(shù)階算子下奇異系統(tǒng)的Noether 對稱性，建立并證明了該系統(tǒng)的Noether 定理，同時給出了廣義算子下相應的守恒量.

1 預 備 知 識

2 廣義算子下奇異Lagrange 系統(tǒng)和初級約束

2.1 算子 AαM 下奇異Lagrange 系統(tǒng)和初級約束

注1 令κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當M=M1，M=M2以 及M=M3時，由式（17）、（26）分別得到左Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)、右Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)以及Riesz-Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)下的Lagrange 方程和初級約束.

2.2 算子 BαM 下奇異Lagrange 系統(tǒng)和初級約束

其中

3 廣義算子下約束Hamilton 方程及相容性條件

3.1 算子 AαM 下約束Hamilton 方程

3.2 算子 BαM 下約束Hamilton 方程

3.3 廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的相容性條件

注5 令κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當M=M1，M=M2以及M=M3時，由式（54）和（55）分別得到左Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)、左Caputo 分數(shù)階導數(shù)、右Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)、右Caputo 分數(shù)階導數(shù)、Riesz-Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)以及Riesz-Caputo 分數(shù)階導數(shù)下初級約束的相容性條件.

4 廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理

4.1 算子 AαM 下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理

4.2 算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理

注7 令 κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當M=M1，M=M2以 及M=M3時，由式（68）、（69）和定理3、定理4 分 別得到左Caputo 分數(shù)階導數(shù)、右Caputo 分數(shù)階導數(shù)、Riesz-Caputo 分數(shù)階導數(shù)下分數(shù)階約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 對稱性與Noether 準對稱性以及導致的守恒量.

5 算 例

6 結 論

分數(shù)階微積分作為各個領域的重要工具，能夠更好地解決一些在整數(shù)階導數(shù)下無法解決的問題，同時奇異系統(tǒng)也一直備受關注，如相對論運動粒子，楊-Mills 場等都是由奇異Lagrange 量所描述.本文提出并證明了廣義算子下約束 Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理.主要貢獻如下：

1） 給出了廣義算子下奇異Lagrange 方程以及初級約束.

2） 建立了廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)，并由Poisson 括號導出該系統(tǒng)的相容性條件.

3） 建立并證明了廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理.

4） 若令 κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 且當M=M1，M=M2以及M=M3時，可得到基于左（右）Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)、左（右）Caputo 分數(shù)階導數(shù)、Riesz-Riemann-Liouville 分數(shù)階導數(shù)和Riesz-Caputo 分數(shù)階導數(shù)的分數(shù)階約束Hamilton 系統(tǒng)的對稱性與守恒量.當α →1時，廣義算子下的約束Hamilton 方程退化為經典整數(shù)階情況，這與文獻[2]中的結果一致.

廣義算子下奇異系統(tǒng)還有很多問題值得研究，如Lie 對稱性、Mei 對稱性等.此外，時間尺度微積分提供了一種可以同時研究離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的有效方法，所以時間尺度上廣義算子奇異系統(tǒng)的對稱性與守恒量也是值得研究的.

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