權(quán)政，趙玲玲，徐濱，樊樹海

(1.南京工業(yè)大學(xué)工業(yè)工程系，江蘇南京 210009;2.MIT Quality Information Program “Data Quality & Info Security” Lab.,Cambridge MA,USA)

0 前言

質(zhì)量是企業(yè)的立足之本，是良好聲譽(yù)的保障。大規(guī)模生產(chǎn)模式中，通過大批量生產(chǎn)某一產(chǎn)品而獲得規(guī)模效益。這種生產(chǎn)模式能夠產(chǎn)生大量的質(zhì)量數(shù)據(jù)，質(zhì)量控制圖的繪制較為方便且可操作性強(qiáng)。然而，大規(guī)模定制生產(chǎn)模式中，由于單一產(chǎn)品生產(chǎn)的批量小，采用抽樣的方法無法獲取足夠的質(zhì)量數(shù)據(jù)，因此無法繪制質(zhì)量控制圖。

質(zhì)量控制圖由休哈特博士[1]于1928年提出，現(xiàn)階段使用最多的是Xbar-R控制圖。針對數(shù)據(jù)源不足的問題，楊旭等人[2]將樣本均值、極差與總體均值、極差獨(dú)立，實(shí)現(xiàn)小樣本控制限穩(wěn)定，降低了誤發(fā)警報(bào)概率；苗瑞等人[3]利用概率積分變換理論，使質(zhì)量特征值轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布而不受控于樣本的μ、σ；劉祚時(shí)等[4]通過建立零件族與利用歷史數(shù)據(jù)增加樣本量，給出歷史、實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化方法，實(shí)現(xiàn)小批量生產(chǎn)監(jiān)控；陳鑫和陳富民[5]引用貝葉斯理論，根據(jù)質(zhì)量特征數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)計(jì)算控制限，實(shí)現(xiàn)對生產(chǎn)過程的動態(tài)控制；宋承軒和吉衛(wèi)喜[6]將Xbar-s與EWMA控制圖聯(lián)合監(jiān)控，解決小規(guī)模數(shù)據(jù)對微小變化靈敏度不足的問題。趙玲玲等[7]提出EWMAQ控制圖，減少了對源數(shù)據(jù)的需求量，對微小偏移也更加靈敏。

上述研究在一定程度上解決了大規(guī)模定制下質(zhì)量監(jiān)控問題，但未關(guān)注參數(shù)未知情況下相似產(chǎn)品質(zhì)量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的方法以及控制圖對微小、中等和較大偏移監(jiān)測能力較差的問題。ROBERTS[8]于1959年提出指數(shù)加權(quán)移動平均控制圖(Exponentially Weighted Moving Average,EWMA)，較休哈特控制圖對微小偏移靈敏性高[9]。CAPIZZI和MASAROTTO[10]提出自適應(yīng)EWMA控制圖(AEWMA)，解決了常規(guī) EWMA 控制圖對中等和較大偏移不敏感的局限性問題。

本文作者針對上述問題，在產(chǎn)品族的基礎(chǔ)上提出基于Q統(tǒng)計(jì)量的改進(jìn)型AEWMA控制圖，對大規(guī)模定制下產(chǎn)品生產(chǎn)過程進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)控，具有良好的效果。

1 基本理論

1.1 Q統(tǒng)計(jì)量

現(xiàn)有生產(chǎn)模式中，單一產(chǎn)品產(chǎn)生的質(zhì)量特征值無相似性信息，沒有建立休哈特控制圖的條件。為此，DEL CASTILLO和QUESENBERRY提出Q統(tǒng)計(jì)量[11]，并給出正態(tài)分布下參數(shù)已知以及一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)未知情況下Q統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法。事實(shí)上，控制圖具有識別過程參數(shù)值異常的能力，Q控制圖則對異常的監(jiān)控更靈敏。如果將Q統(tǒng)計(jì)量繪制在控制限為±3σ的控制圖上，就能較準(zhǔn)確地知道當(dāng)過程穩(wěn)定且參數(shù)μ與σ為常數(shù)時(shí)預(yù)測點(diǎn)的趨勢。

Q統(tǒng)計(jì)量要求樣本特征值服從穩(wěn)定的正態(tài)分布，即假設(shè)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差是常數(shù)。這些統(tǒng)計(jì)量都具有正態(tài)或近似正態(tài)分布和近似獨(dú)立特性，該方法利用t分布減少監(jiān)控過程質(zhì)量對于數(shù)據(jù)量的需求，且可較少地受控于樣本量和樣本分布的限制，能夠較好地適應(yīng)大規(guī)模定制所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量較少以及無可參考?xì)v史信息的情況。其通過公式(1)(2)進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

ht=Gv(wt)

(1)

Qt=φ-1(ht)

(2)

式中:Gv(·)為服從自由度為v的t分布函數(shù)；φ-1(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的反函數(shù)。統(tǒng)計(jì)量wt通過分布函數(shù)Gv轉(zhuǎn)換為統(tǒng)計(jì)量ht，再通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)轉(zhuǎn)換為Q統(tǒng)計(jì)量。

不同參數(shù)條件下的轉(zhuǎn)換公式如表1所示，其中：μ表示分布均值；σ表示標(biāo)準(zhǔn)差；n表示子組大??；m表示樣本量。在不同參數(shù)的情況，通過t分布函數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)Φ-1、χ卡方分布函數(shù)、F分布函數(shù)進(jìn)行Q統(tǒng)計(jì)量轉(zhuǎn)換。

表1 不同μ與σ參數(shù)條件下Q統(tǒng)計(jì)量轉(zhuǎn)換公式

1.2 AEWMA

Shewhart控制圖能夠較準(zhǔn)確地反映質(zhì)量參數(shù)值的實(shí)際情況，具有一定的方便性與實(shí)用性。但是其靈敏度低，對微小偏移反應(yīng)遲緩，無法及時(shí)發(fā)現(xiàn)異常值。

EWMA控制圖較Shewhart控制圖對微小偏移靈敏性高。EWMA統(tǒng)計(jì)模型如下：

(3)

Mt=Mt-1+Φ(et)

(4)

其中：M0=0；et=ˉXt-Mt-1為預(yù)測偏移量;Φ(·)為關(guān)于et的分段函數(shù)。

式中:λ∈(0,1];γ>0。當(dāng)λ=1或γ→0時(shí)，AEWMA統(tǒng)計(jì)量退化為Shewhart統(tǒng)計(jì)量;當(dāng)γ→∞時(shí)，Φ(et)=λet，Mt退化成EWMA統(tǒng)計(jì)量。AEWMA控制圖實(shí)際上是Shewhart和EWMA控制圖的平滑組合。確定控制圖設(shè)計(jì)參數(shù)后，參數(shù)λ與γ為常量。為保證控制圖的性能[12]，通常取0.1≤λ≤0.4、1.5σx≤γ≤3σx。

設(shè)v(t)=Φ(et)/et為等效平滑系數(shù)，v(t)隨預(yù)測值et的變化而變化。當(dāng)|et|增大時(shí)，v(t)隨之增大，當(dāng)|et|≤γ時(shí)，v(t)=λ。則AEWMA統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式改寫為

(5)

根據(jù)樣本的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，可得控制圖的上控制限fUCL=μ0+L·σ0，下控制限fLCL=μ0-L·σ0。

2 基于產(chǎn)品族的改進(jìn)型AEWMAQ控制圖

基于上述理論，本文作者提出基于產(chǎn)品族的改進(jìn)型AEWMAQ(Adaptive Exponentially Weighted Moving Average on Q-statistics)控制圖。單一產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)值存在數(shù)量不足以及無可參考?xì)v史信息的情況，通過相似元、成組技術(shù)等[13-16]理論形成相似產(chǎn)品的產(chǎn)品族。引用Q統(tǒng)計(jì)量對質(zhì)量參數(shù)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，為后續(xù)質(zhì)量控制圖的繪制創(chuàng)造條件。標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)的方差獨(dú)立于實(shí)際過程方差，并可使過程保持穩(wěn)定。過程方差的變化可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)在均值上的變化，它相較于未處理的數(shù)據(jù)具有穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性的優(yōu)勢。與一般質(zhì)量控制圖相比，改進(jìn)型AEWMAQ控制圖能夠更加準(zhǔn)確、靈敏地對質(zhì)量問題進(jìn)行監(jiān)控。通過Minitab對質(zhì)量控制圖進(jìn)行仿真，提升了便捷性與準(zhǔn)確性。在大規(guī)模定制的背景下，產(chǎn)品質(zhì)量特征值數(shù)量較少，并且在實(shí)際生產(chǎn)過程中，其μ與σ通常是未知的。針對μ與σ未知的情況，給出Q統(tǒng)計(jì)量實(shí)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)化具體步驟。樣本數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 樣本數(shù)據(jù)

假設(shè)參數(shù)Xij～N(μ,σ2)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，則樣本的均值為

(6)

(7)

樣本的方差為

(8)

(9)

(10)

由于存在未知參數(shù)σ，引入卡方分布將其消除：

(11)

通過t分布，構(gòu)造出不含未知參數(shù)的變量T：

(12)

變量T服從自由度為m(n-1)的t分布。為解決因?yàn)樽杂啥鹊牟煌箍刂葡薏粩嘧兓膯栴}，求解變量T的概率密度積分h。求解過程如下：

(13)

根據(jù)概率積分變換定理,將變量T轉(zhuǎn)換為Q統(tǒng)計(jì)量：

Q(xi)=φ-1(h)～N(0,1)

(14)

樣本數(shù)據(jù)通過Q統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化后，相應(yīng)的AEWMA理論模型轉(zhuǎn)化為

(15)

Φ(et)的表達(dá)式為

Φγ(et)=

本文作者提出的基于產(chǎn)品族的改進(jìn)型AEWMAQ控制圖，解決了源數(shù)據(jù)的處理問題，與Shewhart、EWMA控制圖相比具有明顯的優(yōu)越性。其使用步驟如圖1所示。

圖1 控制圖使用步驟

3 改進(jìn)型AEWMAQ控制圖應(yīng)用案例

3.1 控制對象的選取

以凈水器的水路板生產(chǎn)為例。水路板是凈水器的核心物件之一，對凈水器的整體質(zhì)量起決定性作用。水路板由標(biāo)準(zhǔn)模具注塑而成，其質(zhì)量受注塑時(shí)間、溫度、環(huán)境等多種因素的影響，若直接測量水路板的力學(xué)性能，不僅會耗費(fèi)額外的人力和物力，也會影響生產(chǎn)節(jié)拍。初步檢測水路板的質(zhì)量問題可采用稱量其質(zhì)量的方法，這種檢驗(yàn)方法省時(shí)、簡單、易操作。

大規(guī)模定制生產(chǎn)模式下，單一產(chǎn)品多為小批量生產(chǎn)，因此利用成組技術(shù)形成關(guān)于相似產(chǎn)品的產(chǎn)品族，收集相似產(chǎn)品的質(zhì)量特征數(shù)據(jù)。

3.2 源數(shù)據(jù)處理

分別取AOS-S0010、AOS-S0016和AOS-S0030 三種相似型號水路板各35個(gè)質(zhì)量參數(shù)值。

生產(chǎn)活動中，常常根據(jù)相對觀測時(shí)間間隔來劃分子組。子組大小n取4或5最適宜。表3所示為Q統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(n=5)。

表3 Q統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)(n=5)

3.3 AEWMA控制圖

將Q統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行自適應(yīng)移動加權(quán)平均處理，結(jié)果如表4所示。

表4 自適應(yīng)移動加權(quán)平均處理結(jié)果

中心線為

由于樣本量較少，樣本的方差采用移動極差平均值的方法估計(jì)：

(16)

式中：n表示參數(shù)數(shù)量；w表示移動極差長度，文中仿真移動極差長度取2；ε=1.128，為無偏常量。文中取最常見的L=3,以確定控制圖的上下限。

控制上限：

控制下限：

圖2所示為數(shù)據(jù)經(jīng)過Q統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化后建立的改進(jìn)型AEWMA控制圖?？梢姡簶颖径帱c(diǎn)靠近控制限，由此判斷生產(chǎn)過程發(fā)生異常。

圖2 改進(jìn)型AEWMAQ控制圖 圖3 Q統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化后的EWMA控制圖

使用Q統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)建立EWMA控制圖作為對照組，標(biāo)準(zhǔn)化后的EWMA控制圖處于穩(wěn)定狀態(tài)，如圖3所示。

3.4 控制圖評價(jià)

利用Q統(tǒng)計(jì)量對質(zhì)量參數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)化，并通過Minitab軟件分別繪制改進(jìn)型AEWMA控制圖與EWMA控制圖。由控制圖的對比可以看出，兩種控制圖的總體趨勢保持一致，但AEWMA控制圖明顯對中等、較大偏移更靈敏、準(zhǔn)確性更高。

此例中EWMA控制圖處于穩(wěn)定狀態(tài)，但是改進(jìn)型AEWMA控制圖有5個(gè)點(diǎn)位于±2σ與±3σ之間，靠近控制限。因此，控制圖判異。該生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常，需要解決異常以后才能繼續(xù)進(jìn)行生產(chǎn)。

4 結(jié)束語

針對大規(guī)模定制下單一產(chǎn)品數(shù)據(jù)源不足的問題，引入Q統(tǒng)計(jì)量方法，對相似產(chǎn)品的關(guān)鍵質(zhì)量參數(shù)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。創(chuàng)新性地將Q統(tǒng)計(jì)量與自適應(yīng)移動加權(quán)平均控制圖聯(lián)合應(yīng)用，并對自適應(yīng)移動加權(quán)平均模型進(jìn)行改進(jìn)。該方法有效解決了傳統(tǒng)控制圖與EWMA控制圖的不足，實(shí)現(xiàn)了對大規(guī)模定制下產(chǎn)品質(zhì)量的監(jiān)控。文中給出的AEWMAQ控制圖的使用步驟具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。