◎王崢添 （浙江省安吉縣高級(jí)中學(xué)，浙江 安吉 313300）

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容之一，也是近年來高考重點(diǎn)考查的部分．在2021年的浙江省高考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中，這一部分的內(nèi)容占比較高，足以說明命題組對(duì)學(xué)生此部分能力的關(guān)注和重視．

一、以2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷為例，分析其對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的考查

運(yùn)算素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，其與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象以及數(shù)據(jù)分析一同構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)的重要導(dǎo)向．在2021年數(shù)學(xué)高考中，我們發(fā)現(xiàn)浙江省數(shù)學(xué)試卷上出現(xiàn)了大量需要運(yùn)算來尋求答案的題目，而過往那種可以通過答題技巧“看”出答案的題目“明顯少了”．

（一）以問題轉(zhuǎn)換為基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力進(jìn)行考查

以選擇題部分的第5 題為例：若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為________．

（二）對(duì)學(xué)生估算能力的考查

再以選擇題部分的第8 道題目為例：已知α，β，γ是大小并不相同的銳角，那么在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個(gè)值當(dāng)中，大于的個(gè)數(shù)的最大值為________．

這道題目以選擇題的形式出現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生估算能力的培養(yǎng)．因?yàn)轭}目當(dāng)中未知信息比較多，抽象信息較為明顯，所以學(xué)生需要嘗試如何通過估算從四個(gè)選項(xiàng)當(dāng)中挑選出正確的答案．我們假設(shè)α＝β＝γ＝，那么sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三個(gè)值顯然都等于，所以最大值不可能是3．倘若α＝，β和γ的角度都大于，就會(huì)有sinαcosβ＜，sinγcosα＞，此時(shí)如果讓?duì)碌娜≈抵饾u趨近于直角，γ的取值逐漸趨近于，那么就會(huì)有sinβcosγ的值大于，那么就可以估算出題目所求解的答案是2．

（三）對(duì)學(xué)生邏輯思維能力、數(shù)據(jù)處理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查

數(shù)學(xué)高考中最后一道選擇題一向?qū)τ趯W(xué)生的邏輯思維能力要求較高，2021年浙江數(shù)學(xué)高考試卷也不例外．第10題：已知數(shù)列｛an｝滿足，記數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，則（ ）

C．4＜S100＜D．＜S100＜5

該題為數(shù)列與不等式的綜合題型，充分體現(xiàn)浙江高考試題的特點(diǎn)：敘述簡潔、概念清晰、思維深刻、內(nèi)涵豐富．本題考查的核心知識(shí)為數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列與不等式、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、放縮法證明不等式．本題證明數(shù)列不等式思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要較高的放縮技巧，一方面充滿思考性和挑戰(zhàn)性，另一方面考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．

對(duì)數(shù)列與不等式、不動(dòng)點(diǎn)等方面的考查是近些年的重點(diǎn)．自2006年開始，2008、2015、2016、2017、2018、2019年均有涉及，這類問題的解決策略往往是深入剖析其特征，抓住其規(guī)律恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，難點(diǎn)在于如何把握放縮的度．

在本題中主要是針對(duì)S100的上下界估計(jì)，對(duì)于S100的上下界估計(jì)有不同的處理方法：

1．對(duì)下界的估計(jì)：

解法一由題意可知｛an｝為正項(xiàng)數(shù)列，可知S100＝a1＋a2＋…＋a100＞a1＋a2＝

解法二首先易得0＜an＋1＜an≤1．（針對(duì)數(shù)列單調(diào)性的證明在后面說明）

補(bǔ)充證明：針對(duì)｛an｝的單調(diào)性的證明：

因此0＜an＋1＜an≤1．

2．對(duì)上界的估計(jì)：

裂項(xiàng)放縮：

其次，加強(qiáng)政法隊(duì)伍建設(shè)。全國政法機(jī)關(guān)一定要堅(jiān)定不移的堅(jiān)持黨和國家的基本方針，增強(qiáng)政治責(zé)任感和憂患意識(shí)，把握大局，始終把維護(hù)國家安全和社會(huì)穩(wěn)定放在工作的首位。政法部門和廣大干警嚴(yán)格依法辦事，做到有法必依、執(zhí)法必嚴(yán)、違法必究，堅(jiān)持法律面前人人平等。依法嚴(yán)厲打擊危害國家安全、社會(huì)穩(wěn)定和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各種犯罪活動(dòng)，鞏固人民民主專政和國家的長治久安。

首先易得0＜an＋1＜an≤1，

2021年浙江高考數(shù)學(xué)試卷的選擇題最后一題是通過函數(shù)關(guān)系構(gòu)造遞推關(guān)系，這和2015年的最后一題有相似之處，都是利用初始值構(gòu)造一個(gè)有界的單調(diào)數(shù)列，利用函數(shù)和數(shù)列的相伴關(guān)系來生成問題讓我們求解，這其中體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)列的放縮、不等式的運(yùn)用．從這個(gè)角度而言，考題的確體現(xiàn)了對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用能力的全面考查．

（四）對(duì)學(xué)生公式推導(dǎo)運(yùn)算能力的考查

除了選擇題部分，2021年高考的解答題部分也增加了對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的考查，如第18 題：

設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx＋cosx（x∈R）．

那么根據(jù)這一轉(zhuǎn)變后的函數(shù)形式，就可知求解的y＝，如此就可以較為輕松地求解出這個(gè)函數(shù)的最小正周期．

總結(jié)這一問的求解過程會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生需要將主要時(shí)間用于公式的簡化計(jì)算和推導(dǎo)方面，這也是間接對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力進(jìn)行考查的過程．至于第二問，需要學(xué)生將函數(shù)解析式代入后，進(jìn)行大量的計(jì)算．因?yàn)椋举|(zhì)上是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，在定義域求極值過程中，應(yīng)盡可能將其化簡到比較容易感知的三角函數(shù)形式當(dāng)中．

如此，根據(jù)化簡以后的公式，可以直接判斷出函數(shù)在求解區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性以及極值情況．

（五）根據(jù)基礎(chǔ)公式所展開的逆向運(yùn)算能力以及分類討論思想所附著的大量計(jì)算

高考當(dāng)中的這類題目主要是以學(xué)生在教材當(dāng)中所能直接接觸到的公式、定理為基礎(chǔ)，考驗(yàn)學(xué)生的逆向思維和反向運(yùn)算能力，比如2021年浙江數(shù)學(xué)試卷的第20 題：

已知數(shù)列的｛an｝前n項(xiàng)和為Sn，a1＝且4Sn＋1＝3Sn-9．

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)．

（2）設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足3bn＋（n-4）an＝0，記｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn≤λbn對(duì)任意n∈N＋恒成立，求λ的取值范圍．

第一問是教師在高中階段教學(xué)過程中，在數(shù)列部分必然會(huì)提及的一類解題思想——分類討論．學(xué)生分別從n＝1以及兩個(gè)角度來進(jìn)行考慮，能夠判斷出｛an｝是完全滿足等比數(shù)列求和公式的．

關(guān)于第二問，在｛an｝的通項(xiàng)已經(jīng)得出的情況下，會(huì)有

通過錯(cuò)位相減，則有：

因?yàn)椋╪-4）為系數(shù)，所以學(xué)生在實(shí)際進(jìn)行變量分離時(shí)，需要分別考慮系數(shù)為正、負(fù)以及零的情況．

當(dāng)n＝4 時(shí)，，等式恒成立；

當(dāng)n＜4 時(shí)，（n-4）為負(fù)數(shù)，則有化簡得：λ≤，有λ≤1；

當(dāng)n＞4 時(shí)，（n-4）為正數(shù)，有

因此λ的最終取值范圍為［-3，1］．

總結(jié)這道題的解題思路不難發(fā)現(xiàn)，大量的運(yùn)算出現(xiàn)在公式推導(dǎo)以及整理過程中，學(xué)生需要在保持思路清醒的情況下進(jìn)行嚴(yán)格的分類討論．在高考進(jìn)行的過程中，這是非?？简?yàn)學(xué)生耐心的過程．

二、高中階段，如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)

通過對(duì)2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷的分析我們不難發(fā)現(xiàn)，其對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的考查是非常多維度的，這就要求教師在日常教學(xué)過程中多角度地培養(yǎng)學(xué)生此方面的能力以及技巧．

（一）加強(qiáng)概念教學(xué)，夯實(shí)運(yùn)算基礎(chǔ)

出現(xiàn)在高考試卷上的很多題目是以出現(xiàn)在教材上的基礎(chǔ)概念、公式作為切入點(diǎn)的，而這些切入點(diǎn)往往也是高考試卷上的得分點(diǎn)．因此，教師在實(shí)際教學(xué)的過程中必須強(qiáng)化學(xué)生的概念記憶，并將概念的由來以及公式的推導(dǎo)過程全部分解、講述到位，讓學(xué)生能夠推此及彼、舉一反三，夯實(shí)運(yùn)算基礎(chǔ)．

（二）強(qiáng)化計(jì)算，提升運(yùn)算速度

運(yùn)算是素養(yǎng)，更是學(xué)生的基本功．尤其是在高考分秒必爭的階段，學(xué)生的運(yùn)算速度很大程度上決定了他們的答題狀態(tài)．所以在條件允許的情況下，教師在日常授課的過程中要培養(yǎng)學(xué)生的限時(shí)計(jì)算能力，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)一些推導(dǎo)結(jié)論的記憶，這樣在答題的時(shí)候能夠幫助學(xué)生節(jié)約更多的時(shí)間．

（三）一題多解，豐富運(yùn)算路徑

這是能夠培養(yǎng)和提升學(xué)生運(yùn)算能力的重要手段．一題多解可以讓學(xué)生從不同的角度切入問題、分析問題，發(fā)掘“題眼”，同時(shí)讓學(xué)生累積足夠的解題方法，對(duì)于增強(qiáng)個(gè)體的知識(shí)記憶具有一定的指導(dǎo)意義．事實(shí)上，每一年高考結(jié)束之后，教師都可以引導(dǎo)學(xué)生分析本年度的高考試卷，嘗試將大量的題目進(jìn)行多解，理性分析考卷當(dāng)中的考點(diǎn)．

（四）合理應(yīng)對(duì)，積極備考

通過對(duì)2021年高考選擇題最后一題的分析和研究，我們的確可以感受到一些方法和方向，對(duì)于壓軸題不要太過受制于往年的影響，否則會(huì)限制自己的思維模式，可以汲取其中的命題思想和方法，把這種方法付諸我們的教學(xué)實(shí)踐，興許能夠少走彎路．

（五）拓寬知識(shí)面，適當(dāng)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)

高等數(shù)學(xué)有些結(jié)論對(duì)于我們問題的編制和課堂教學(xué)具有啟發(fā)和指導(dǎo)作用，因此關(guān)注一些高等數(shù)學(xué)的結(jié)論可以幫助我們在教學(xué)過程中增強(qiáng)對(duì)問題本質(zhì)的把握，至少有些問題結(jié)論可以生成得更好．無論是選擇題的最后一道還是解答題的最后一道，如果有些高等數(shù)學(xué)的相關(guān)的知識(shí)，那么我相信對(duì)于這種所謂的“壓軸題”，我們一定能有更加豐富的“武器”去迎接它．