謝 軍 王賀賀 閻 杰* 郭 飛 朱守芹 符 怡

(1.河北建筑工程學院土木工程學院，河北 張家口 075000；2.河北省寒冷地區(qū)交通基礎設施工程技術創(chuàng)新中心，河北 張家口 075000)

0 引 言

結構拓撲優(yōu)化通過改變結構的拓撲構形，使結構在滿足約束條件的前提下實現(xiàn)最優(yōu)材料分布，從而達到降低成本、節(jié)約材料、提高產品質量的目的[1].拓撲優(yōu)化包括連續(xù)變量結構拓撲優(yōu)化和離散變量結構拓撲優(yōu)化.由于設計變量取值是離散的，研究難度較大，近幾十年的文獻連續(xù)結構所占比例較多.不過，隨著學者們不斷地深入研究，離散變量結構拓撲優(yōu)化也取得了一定成果.朱朝艷[2]等人將遺傳算法和復合形法的優(yōu)點結合形成一種新的算法應用于離散變量拓撲優(yōu)化，最終結果比單一算法結果更高效；黃冀卓[3]等人基于遺傳算法研究出一種適用于桁架和框架結構離散變量拓撲優(yōu)化的數學模型，解決了奇異解問題，并驗證了優(yōu)化算法的可行性和方便性；吳貝尼[4]等人將遺傳算法同雙向漸進結構方法結合起來應用于拓撲優(yōu)化中，能穩(wěn)定獲得最優(yōu)拓撲形狀并提高計算效率.

遺傳算法[5]具有魯棒性強、通用性好、全局優(yōu)化性好、應用范圍廣、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，被大家廣泛應用于各個領域，且優(yōu)化效果已經得到眾多使用者認可，但是也存在收斂速度較慢、計算工作量較大等問題.擬滿內力算法[6]是準則設計法中的一種新型優(yōu)化方法，基本原理是使結構各單元中最不利承載力盡可能達到或接近滿承載力的狀態(tài)，進而可以充分利用材料資源.在多工況作用下，使承載力設計值剛好大于最不利荷載效應組合值達到擬滿內力狀態(tài).該算法計算簡便，優(yōu)化效率高，在一定程度上解決了優(yōu)化設計階段中因多離散變量、多約束條件難度大的問題，適用于離散變量結構優(yōu)化設計[7].鋼管混凝土材料因其穩(wěn)定性良好、承載力高、抗疲勞能力強、施工方便等優(yōu)點，被廣泛應用于工程中[8].若能在保證性能良好的情況下，以更低的造價投入工程中，對提高經濟和社會效益有一定的意義.

本文基于擬滿內力算法對方鋼管混凝土桁架結構進行拓撲優(yōu)化，在滿足尺寸約束和承載力約束條件下，對結構建立拓撲優(yōu)化數學模型，詳述算法步驟，用C++Builder軟件編寫了拓撲優(yōu)化設計程序，通過算例驗證算法的可行性，實現(xiàn)了擬滿內力算法在結構拓撲優(yōu)化的應用.

1 基于獨立拓撲變量的拓撲優(yōu)化數學模型

1.1 數學模型

本文以方鋼管混凝土桁架結構桿件造價最低為優(yōu)化目標，尺寸和承載力為約束，建立了基于獨立拓撲變量的拓撲優(yōu)化數學模型.具體優(yōu)化模型如(1)式：

求t、B、H、T、C

(1)

式(1)中：t為拓撲變量，其值代表是否將桿件留下：當拓撲變量取1時，則保留桿單元，取0時，則刪除桿單元；B、H、T分別表示桿件的截面寬度、高度、厚度；C表示混凝土等級；W(x)為結構總造價；n表示桿件個數；li為第i根桿件的長度，單位為m；Cc為混凝土造價，單位為元；Cs為鋼管造價，單位為元；ρ表示鋼管密度，單位為kg/m3；gk(x)表示第k個約束函數值，m表示約束函數個數；Ei為第i桿件的彈性模量.

1.2 約束條件

桁架結構各桿件簡化為軸心受力構件，忽略其彎剪影響.因此約束條件依據《矩形鋼管混凝土結構技術規(guī)程》中軸心受力構件的計算規(guī)則來考慮結構的強度、剛度、穩(wěn)定性等約束.

(1)尺寸約束為

(2)

式(2)中：l0為桿件計算長度，其值根據《矩形鋼管混凝土結構技術規(guī)程》確定；B為桿件截面寬度；λ為構件長細比限值；H為桿件截面高度；fy為鋼材的屈服強度；T為桿件截面厚度；Z為腹桿寬度；Q為弦桿寬度.

(2)承載力約束為

(3)

式(3)中：fc為混凝土的抗壓強度設計值；Ac為管內混凝土的截面面積；f為鋼材的抗拉、抗壓和抗彎強度設計值；As為鋼管的截面面積；γ表示系數，無地震作用組合時，取結構重要性系數，有地震作用組合時，取承載力抗震調整系數；N為軸心壓(拉)力設計值；φ為軸心受壓構件的穩(wěn)定系數，其值根據《矩形鋼管混凝土結構技術規(guī)程》確定.

2 方鋼管混凝土桁架結構拓撲優(yōu)化求解過程

2.1 算法實現(xiàn)步驟

基于擬滿內力算法進行拓撲優(yōu)化的流程圖如圖1所示:

圖1 拓撲優(yōu)化流程圖

2.2 啟發(fā)式方法檢查及修正拓撲構形

為避免拓撲構形為機構，采用啟發(fā)式方法[9]修正和檢查所生成的拓撲結構形式，進而可以快速有效的篩選出最合理的拓撲構形.

2.2.1 拓撲構形檢查

拓撲構形檢查流程圖如圖2所示：

圖2 拓撲構形檢查流程圖

2.2.2 拓撲構形修正

拓撲構形修正步驟如下所示：

(1)如果該節(jié)點為支承點，且連接桿件數≥1，則轉(2)，否則隨機添加桿件，直到滿足條件；

(2)如果節(jié)點上有荷載，且連接桿件數≥2，則轉(3)，否則隨機添加桿件，直至滿足條件；

(3)如果該節(jié)點的桿件數為2，應當檢查這兩根桿件是否在該節(jié)點處位于一條直線上，如果是在一條直線上，則視為無效增添，需要重新增加桿件；

(4)如果該節(jié)點上既無荷載，也非支承點，且與之相連的桿件數為1或2，則刪除與之相連的桿件后轉(5)；

(5)檢查該拓撲構形的總剛度矩陣是否正定，如果是正定矩陣，則該拓撲構形為幾何不變體系，可對保留的桿件進行尺寸優(yōu)化，否則重新生成二進制數后檢查拓撲構形.

2.3 擬滿內力法對桁架進行尺寸優(yōu)化設計

(1)給定初始方案

(4)

(2)進行結構分析，求出荷載工況下的桿件內力.

(3)修改截面，判定是否滿足尺寸約束條件：

(a)若滿足尺寸約束條件，則減小相應截面設計變量序號:

當構件單元滿足約束條件時，則減小該桿件截面設計變量離散值序號.若離散值序號已經取到下限值，可約束條件仍滿足，則取其下限值，并終止修改，進行結構分析.

(b)若不滿足尺寸約束條件，則進行下述迭代過程：

當構件單元不滿足約束條件時，則增大該桿件截面設計變量離散值序號，轉到式(5).若離散值序號已經取到上限值，可約束條件仍不滿足，則取其上限值，不論約束條件是否滿足都終止該循環(huán)體，進入下一步驟.

(5)

(4)判定是否滿足承載力約束條件：

(a)若滿足承載力約束條件，則減小該桿件截面離散值序號以及混凝土強度等級的離散值序號：

(6)

若仍滿足約束條件，轉回式(6)，繼續(xù)減小設計變量離散值序號.否則轉向步驟(4)的(b).

(b)若不滿足承載力約束條件，則增加該單元截面離散值序號以及混凝土強度等級離散值序號：

(7)

如果仍然不滿足約束條件，則增加單元的截面離散值序號，轉回式(7).當設計變量離散值序號取到上限時，則取上限值，無論是否能滿足約束條件都終止該循環(huán)體，并進行結構分析.

(5)終止迭代條件：

|W(x)(k)-W(x)(k-1)|≤ε且gij≤0

(8)

如果符合上述所有終止迭代條件，則退出循環(huán)；否則k=k+1，并轉向步驟(2).其中，gij表示第j個單元的第i個約束條件；ε表示預設的一個較小值，本文設為0.0 001.

2.4 適應度函數

適應度函數值能直觀地反應出個體的良莠，一般通目標函數來制定.本文旨在尋找如何優(yōu)化使得桿件造價最低，屬于尋求目標函數全局最小值的問題，且其值是正數，因此使用公式(9)計算適應度值：

(9)

其中，F(xiàn)(x)為適應度函數，W(x)為目標函數，gg為約束條件.若某一桿件不滿足約束條件中任一要求，就采用罰函數方法降低其適應度，將目標函數與約束函數取和后再平方的倒數作為適應度值，這樣不僅能夠降低違反約束個體被遺傳的概率，還能保證種群的多樣性，以產生更優(yōu)質的子代.

3 算 例

例1，如圖3(a)所示15桿桁架，圖中長度單位尺寸為mm，單元方鋼管牌號均為Q235，鋼管的彈性模量E=2.06×105N/mm2，方鋼管的造價3 730元/噸，方鋼管的密度ρ=7 850 kg/m3；預設交叉概率Pc=0.6；變異概率Pm=0.02；遺傳代數g=200；迭代10 輪，種群規(guī)模P=180，對其進行拓撲優(yōu)化，最優(yōu)結果拓撲構形如圖3(b)所示，優(yōu)化結果見表1.

(a)15桿桁架初始結構 (b)15桿桁架最優(yōu)結果拓撲構形

圖3和表1可以看出，經過循環(huán)迭代后得到的最優(yōu)結果拓撲構形與原來相比刪除了3桿和5桿，對保留下的桿件分別采用遺傳算法和擬滿內力算法進行尺寸優(yōu)化，明顯看出，基于擬滿內力算法的拓撲優(yōu)化結果比遺傳算法結果優(yōu)化了78.11%，初步證明了擬滿內力算法應用在方鋼管混凝土桁架結構拓撲優(yōu)化中是可行的.

表1 15桿桁架最優(yōu)結果拓撲構形尺寸優(yōu)化

例2，如圖4(a)所示一組12桿桁架，共有6個節(jié)點，在節(jié)點2、3上分別有節(jié)點集中力P2y=P3y=-4.45×105N,其余條件同例1.最優(yōu)結果拓撲構形如圖4(b)所示，尺寸優(yōu)化結果見表2.

(a)12桿桁架初始結構 (b)12桿桁架最優(yōu)結果拓撲構形

由圖4和表2對比分析可以看出，與初始結構相比，除桿單元5、6、7、8、10被刪去外，節(jié)點6也被刪除，擬滿內力算法對最優(yōu)結果拓撲構形進行尺寸優(yōu)化的結果的是17 750元，而采用遺傳算法優(yōu)化的結果是18 925元，擬滿內力算法比遺傳算法優(yōu)化了1 175元，進一步證明了基于擬滿內力算法的拓撲優(yōu)化是有效的.

表2 12桿桁架最優(yōu)結果拓撲構形尺寸優(yōu)化

4 結 論

本文在C++Builder軟件的基礎上編制了方鋼管混凝土桁架拓撲優(yōu)化的計算程序，用兩個結構算例進行驗證，并對拓撲優(yōu)化結構進行對比分析，可以得出如下結論：

(1)拓撲優(yōu)化可以有效的減少桿件材料冗余，著重優(yōu)化被保留的桿件，從而進一步優(yōu)化結構.

(2)擬滿內力算法較遺傳算法相比，造價更低，優(yōu)化結果更佳，證明了基于擬滿內力算法對方鋼管混凝土桁架進行拓撲優(yōu)化設計是有效可行的.