沈靜遠, 王春麗

(南京理工大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院,江蘇 南京 210094)

0 引言

隨著人工智能、信息科學(xué)等相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，系統(tǒng)智能化成為不可逆轉(zhuǎn)的趨勢，并且將由可控化、自動化的低級智能階段轉(zhuǎn)向高級智能階段，即具有自維護、自適應(yīng)、自進化等特征[1]。故障的自愈化也是智能化發(fā)展高級階段的重要特點。高金吉[2]對故障自愈原理進行了深度研究，將故障自愈化技術(shù)研究主要領(lǐng)域分為自修復(fù)技術(shù)、代償技術(shù)(含智能切換)、故障自愈調(diào)控技術(shù)、免疫技術(shù)以及自保護技術(shù)等。其中，自保護是指當(dāng)受到環(huán)境或工況變化的影響時，系統(tǒng)可以自保護來避免故障或故障。

帶有輔助部件的系統(tǒng)也具備自保護性。這類系統(tǒng)通常包含兩類部件，一類為主要部件，作用是執(zhí)行系統(tǒng)功能，這類部件一旦故障，整個系統(tǒng)便會故障。另一類為輔助部件，用于保護主要部件免受環(huán)境沖擊的影響，這類部件的故障不會導(dǎo)致系統(tǒng)故障。在現(xiàn)實中，這種主輔系統(tǒng)有很多，例如帶有減震裝置的鏜床以及配備阻尼器的精密儀器等[3～5]。國內(nèi)外學(xué)者對這種類型的系統(tǒng)進行了深入研究。例如，Taghipour和Banjevic[6]以及Babishin等[7]。這些學(xué)者對主輔系統(tǒng)的研究卓有成效，但他們的模型大都是假設(shè)兩類部件相互獨立的假設(shè)，忽略了部件相依的事實。在實際的主輔系統(tǒng)中，主要部件與輔助部件存在相依關(guān)系。例如，用于切削鉆孔的鏜刀通常配置阻尼器作為輔助部件來緩解工作時產(chǎn)生的震動，一旦阻尼器失效，鏜刀由于不斷受到震動的影響，退化速率加快，從而更易故障。因此，鏜刀與阻尼器是退化相依的。而對于主輔系統(tǒng)的部件相依性的研究還十分有限，只有少數(shù)學(xué)者進行了研究。例如，高文科等[8]和Shen等[9]。這些學(xué)者補充了主輔系統(tǒng)部件相依性方面的研究空缺，但他們建立的模型都只包含一個輔助部件，具有一定的局限性。

本文以部件相依的主輔系統(tǒng)為研究對象，基于部件狀態(tài)檢測，提出了一個系統(tǒng)預(yù)防維修策略，即(Dc;p,Na;pτ)策略。且利用半再生過程技術(shù)推導(dǎo)了系統(tǒng)的長期運行平均成本，并以長期運行平均成本最小化為目標，對所提的預(yù)防維修策略進行了優(yōu)化。本文的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：第一，考慮了系統(tǒng)包含多個輔助部件的情況；第二，充分研究了部件相依性對系統(tǒng)的影響；第三，將輔助部件失效個數(shù)作為決策變量，提出了一個新的預(yù)防維修策略。

1 系統(tǒng)描述與模型假設(shè)

假設(shè)系統(tǒng)由一個主要部件和n個輔助部件組成。一旦主要部件故障，則系統(tǒng)故障；輔助部件的故障不會直接導(dǎo)致系統(tǒng)故障但會加速主要部件的退化。系統(tǒng)在運行過程中受到環(huán)境中隨機沖擊的影響，假設(shè)沖擊到達服從強度為λ的齊次的泊松過程{N(t),t≥0}，其中N(t)表示在[0,t]內(nèi)沖擊發(fā)生的次數(shù)。輔助部件的作用是保護主要部件免受環(huán)境沖擊的影響。令隨機變量Xij(i=1,2,…,j=1,2,…,n)表示第j個輔助部件受到的第i次隨機沖擊導(dǎo)致的損傷大小，當(dāng)某一次沖擊的損傷超過某個輔助部件預(yù)先設(shè)定的故障閾值時，則認為該輔助部件故障。假設(shè)所有輔助部件的故障閾值均為Da，則第j個輔助部件受到第i次沖擊故障的概率Pa;j可以表示為Pa;j={Xij≥Da}。特別地，假設(shè)隨機變量{Xij,i=1,2,…,j=1,2,…,n}是獨立同分布的，可得Pa;1=Pa;2,…,Pa;n。在這種情況下，為方便起見，我們用Pa=Pa;j表示任意一個輔助部件受到隨機沖擊而故障的概率。

主要部件的性能在運行過程中隨時間不斷退化，輔助部件在一定程度上隔離和減輕了環(huán)境沖擊對主要部件的影響。但當(dāng)輔助部件故障后，隨機沖擊對主要部件退化過程的影響就無法避免了。為了刻畫這一現(xiàn)象，本文假設(shè)主要部件的平均退化速率隨輔助部件故障數(shù)量的增加而增加。用αk(k=0,1,…,n)表示系統(tǒng)中有k個輔助部件故障時主要部件的平均退化速率，并且滿足αn≥αn-1≥…≥α0。主要部件的退化量隨時間不斷累積，我們用Dc(t)表示主要部件在t時刻的累積退化量。當(dāng)主要部件的累積退化量超過給定的退化閾值Dc;f時，即當(dāng)Dc(t)≥Dc;f時，則認為主要部件故障。

在這個系統(tǒng)中，主要部件的故障會使整個系統(tǒng)故障，所以這一類故障是自顯的。相反，輔助部件的故障是隱性的。因此，每隔τ時間對系統(tǒng)進行定期檢測，假設(shè)檢測完美且時間可忽略不計。每次檢測可以確定故障的輔助部件數(shù)量以及主要部件的退化水平。令Na(t)和Dc(t)分別表示t時刻輔助部件的故障數(shù)量和主要部件的累積退化水平，則可以根據(jù)Na(t)和Dc(t)的值來制定相應(yīng)的維修策略。在任一檢測時刻，若檢測到故障的輔助部件數(shù)量超過或等于給定的預(yù)防性維修閾值Na;p，則直接更換掉所有的故障輔助部件，否則不對輔助部件進行任何操作。對于主要部件，當(dāng)檢測到主要部件的退化水平滿足Dc;p≤Dc(t)

圖1 n=4且Na;p=3時，系統(tǒng)狀態(tài)變化的一個可能的樣本路徑

用隨機變量Tc;p和Tc;f分別代表主要部件預(yù)防維修和事后維修的時間，用Cc;p和Cc;f表示相應(yīng)的成本?？紤]到經(jīng)濟性，假設(shè)預(yù)防維修的時間和成本分別小于事后維修的時間和成本。此外，每個輔助部件的更換時間Ta和Ca成本分別用Ci和Cd表示。和為一次檢查的成本和單位停機成本。基于所提出的檢測維修策略，我們的主要研究目的之一是推導(dǎo)出該策略下的長期運行平均成本。并以長期運行平均成本最小化為目標，將檢測周期τ、預(yù)防維修閾值Dc;p和Na;p作為決策變量，建立優(yōu)化問題，進行維修策略優(yōu)化，通過計算給出最優(yōu)解或可行解。

2 系統(tǒng)長期運行平均成本

在本文中，我們用半再生過程[10]來描述系統(tǒng)的運行過程。半再生過程是再生過程的一種推廣。半再生過程允許過程存在多類“再生”時刻，過程從同一類“再生”時刻出發(fā)服從同樣的概率分布律。由于過程從不同類型的“再生”時刻出發(fā)可能遵循不同的分布規(guī)律，因此對于半再生過程而言，這些“再生”時刻稱為半再生點。任意兩個相鄰的半再生點之間的距離稱為一個半再生周期。在半再生過程中，系統(tǒng)在某一個半再生點之后的狀態(tài)只依賴于在該半再生點時系統(tǒng)的狀態(tài)，與半再生點前系統(tǒng)的狀態(tài)無關(guān)。令{Sk,k=1,2,…}表示從半再生過程{Z(t),t≥0}中選取的半再生點的集合，zk表示時刻sk的系統(tǒng)狀態(tài)，則{zk,k=0,1,…}可以看作是過程{z(t),t≥0}嵌入的馬爾可夫鏈。根據(jù)相關(guān)定理[10]，如果{Zk,k=0,1,…}存在平穩(wěn)分布，則系統(tǒng)的長期運行平均成本可以由一個半再生周期內(nèi)的期望成本除以期望時間得到，即

(1)

其中，π為{Zk,k=0,1,…}的平穩(wěn)分布，Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]分別是在π分布下的半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)的期望成本和期望時間。進一步，用V(t)表示在t時刻系統(tǒng)距離下一次檢測的時間。我們用一個三維向量來表示系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài)，即Z(t)=(Dc(t),Na(sk),V(t))。那么，{Z(t),t≥0}可以看作是一個半再生過程，選取的半再生點為：(a)系統(tǒng)至少一個部件故障的時刻；(b)檢測開始的時刻；(c)檢測和維修(如果需要)結(jié)束的時刻。令Zk=(Dc(Sk),Na(Sk),V(Sk))表示系統(tǒng)在半再生點Sk時的狀態(tài)，則{Zk,k=0,1,…}為過程{Zk(t),t≥0}嵌入的馬爾可夫鏈。

根據(jù)Asmussen[10]的理論，如果馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}是Harris遍歷的，那么一定存在穩(wěn)態(tài)分布π。為了說明{Zk,k=0,1,…}的Harris遍歷性，下面提出定理1。

定理1對于第1節(jié)中提出的具有多個輔助部件的自保護系統(tǒng)，用于刻畫系統(tǒng)演化過程{Z(t),t≥0}的半再生過程的嵌入馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}是Harris遍歷的，相應(yīng)的平穩(wěn)分布存在。

馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}存在平穩(wěn)分布π，則系統(tǒng)長期運行平均成本可以通過公式(1)得到。接下來，我們的主要關(guān)注點是推導(dǎo)出π、Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]的計算公式。

2.1 {Zk,k=0,1,…}的平穩(wěn)分布

令(w,m,v)為系統(tǒng)狀態(tài)(Dc(t),Na(t),V(t))的實現(xiàn)值，其中w∈[0,Dc;f]，m=0,1,…,n，v∈[0,τ]。令狀態(tài)(w,m,v)的平穩(wěn)概率密度用π(w,m,v)表示，則有

(2)

為了推導(dǎo)π(w,m,v)的值，我們進一步研究一個半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)變化。根據(jù)Sk+1時刻半再生點的類型，分成以下3種情形進行討論。

情形1在時刻Sk+1至少有一個部件故障

在此情形中，故障的部件可能是主要部件、輔助部件或者兩者都有。因此又存在兩種場景。

場景a：僅有輔助部件故障

這意味著(Sk,Sk+1)內(nèi)沒有發(fā)生沖擊或發(fā)生的沖擊未對輔助部件造成傷害。并且，恰巧沖擊發(fā)生在Sk+1時刻并導(dǎo)致至少一個輔助部件故障。假設(shè)系統(tǒng)在Sk+1時刻的狀態(tài)為(w1,m1,v1)，其中00,0

(3)

場景b：時刻故障的部件是主要部件或包含主要部件

在該場景下，記Sk+1時刻系統(tǒng)的狀態(tài)為(Dc;f,m1,v1)，其中m1≥0并且0≤v1<τ，則我們可以得到

(4)

情形2在時刻Sk+1開始進行檢測

這個情形表示在(Sk,Sk+1)內(nèi)沒有部件故障。系統(tǒng)在Sk+1的狀態(tài)為(w1,m1,0)，其中0

(5)

情形3時刻Sk+1檢測完成或維修完成(如果需要維修)

這意味著一次新的檢測周期在時刻Sk+1后開始?；谔岢龅木S修策略，可得

π(w1,m1,τ)=π(w1,m1,0),0

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，公式(9)最后兩個加數(shù)分別表示維修前輔助部件故障個數(shù)為0的情況。除了在公式(6)～(9)中討論的情況外，還有w1≥Dc;p或m1≥Na;p時，π(w1,k1,τ)=0的情況。公式(3)～(9)給出了半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的公式。結(jié)合公式(2)則可以計算出馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}的平穩(wěn)分布π。由于{Zk,k=0,1,…}的狀態(tài)是連續(xù)的，因此很難直接求出π。要解決這個問題，可以將連續(xù)的狀態(tài)空間離散成有限的狀態(tài)空間，利用逐次逼近法進行簡化計算。

2.2 一個半再生周期內(nèi)的期望成本和期望時間:Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]

在這部分，將基于平穩(wěn)狀態(tài)分布π計算在半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)的期望成本和期望時間。基于2.1中求得的π(w,m,v)的值，Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]可以進一步通過下列式子得到

(10)

(11)

其中，E(w,m,v)[C(Sk+1-Sk)])和E(w,m,v)[Sk+1-Sk]分別表示Sk時刻系統(tǒng)狀態(tài)為(w,m,v)(w∈[0,Dc;f],m=0,1,…,n,v∈[0,τ])條件下，(Sk,Sk+1]內(nèi)的期望成本和期望時間。

假設(shè)系統(tǒng)在Sk時刻的狀態(tài)為(Dc;f,m,v)(其中v∈[0,τ])，即Sk時刻至少主要部件故障。則立即進行事后維修，同時對輔助部件進行機會檢測和更換(如果需要)。在這種情形下，維修結(jié)束時刻可以看作是下一個半再生時刻Sk+1。根據(jù)輔助部件故障的個數(shù)，我們可以得到

(12)

(13)

另外，假設(shè)系統(tǒng)在Sk時刻的狀態(tài)為(w,m,0)，即在Sk時刻開始進行檢測?；诘?節(jié)提出的策略，

(14)

(15)

最后，假設(shè)系統(tǒng)在Sk時刻的狀態(tài)為(w,m,v)，其中0≤w

E(w,m,v)[C(Sk+1-Sk)]=0,若w

(16)

若αmv

(17)

若αmv≥Dc;f-w，即系統(tǒng)在下一次檢測到來前發(fā)生故障，令c=(Dc;f-w)/αm，則有

(18)

將等式(12)、(14)和(16)帶入(10)中，結(jié)合2.1中推導(dǎo)出的π可得到期望成本Eπ[C(Sk+1-Sk)]。類似地，通過將等式(13)、(15)、(17)和(18)帶入(11)中，即可得到期望周期Eπ[Sk+1-Sk]。最后，長期運行平均成本可由等式(1)得到。

3 數(shù)值研究

在本章中，我們考慮一個具有四個阻尼器作為輔助部件的鏜刀系統(tǒng)，假設(shè)整個系統(tǒng)遭受的環(huán)境沖擊是服從強度為λ=2/天的齊次泊松過程。每次沖擊導(dǎo)致一個阻尼器故障的概率為Pa=0.3。鏜刀為這個系統(tǒng)的主要部件，受到阻尼器的保護并隨時間不斷退化。平均退化速率與系統(tǒng)中工作的阻尼器的數(shù)量有關(guān)。假設(shè)α0=0.5，α1=1，α2=2，α3=4，α4=5。其中，αm(m=0,1,…,4)是當(dāng)系統(tǒng)中故障的阻尼器數(shù)量為m時鏜刀的期望退化速率。當(dāng)鏜刀的累積退化量超過預(yù)先設(shè)定的故障閾值Dc;f=10時，則認定其故障。由于鏜刀故障就會立即停機，因此故障是自顯的。

基于本文的系統(tǒng)，我們考慮定期檢測和預(yù)防更換策略。假設(shè)檢測間隔為τ=0.5天。每次檢測的成本為Ci=10元，檢測時間忽略不計。在每次檢測中，如果故障的阻尼器個數(shù)不少于Na;p=2，則所有故障的阻尼器將被更換。更換一個阻尼器花費的時間服從參數(shù)為Ua=10/天的指數(shù)分布。每個阻尼器的更換成本為Ca=50元。如果檢測發(fā)現(xiàn)鏜刀的累積退化量超過預(yù)防更換閾值Dc;p=8，即使鏜刀仍正常工作，我們也對其進行預(yù)防更換，成本為Cc;p=1500元。此外，若鏜刀在兩次檢測之間故障，將以成本為Cc;p=3000元被事后更換。每次預(yù)防更換和事后更換花費的時間是分別服從參數(shù)為uc;p=4/天和uc;f=1/天的指數(shù)分布。整個系統(tǒng)在維修期間停機不運行，單位停機成本為cd=50元/天。

系統(tǒng)的狀態(tài)變化在本文中用半再生過程建模。系統(tǒng)的長期運行平均成本通過第2節(jié)中的方法求得，為Cavg=251.46元。很顯然，當(dāng)給定的參數(shù)變化時，系統(tǒng)的長期運行平均成本也會相應(yīng)改變。圖2給出了Cavg隨不同Dc;p，Nc;p，τ而變化的三維圖。第一張圖展現(xiàn)了Cavg隨τ和Dc;p的變化規(guī)律，可以看出，當(dāng)Dc;p或τ固定時，Cavg都隨另一個變量的增大呈先下降后上升的趨勢；第二張圖體現(xiàn)了Cavg隨τ和Na;p的變化規(guī)律；第三張圖呈現(xiàn)的是Cavg隨Dc;p和Na;p的變化情況。

圖2 Cavg隨Dc,p，Na,p，τ中兩個參數(shù)變化的三維圖

將Dc,p，Na,p和τ作為決策變量，優(yōu)化問題可以建立為以長期運行平均成本最小化為目標優(yōu)化預(yù)防維修閾值和檢測周期，即

(19)

為了體現(xiàn)主要部件與輔助部件之間的相依關(guān)系的影響，下面我們將不考慮相依性得到的成本與考慮這種相依性的結(jié)果做對比。若不考慮主輔部件之間的相依關(guān)系，則主要部件退化率α為一固定的數(shù)值，我們分別取α為1，1.5和2，同時保持其他參數(shù)與上述參數(shù)相同，畫出系統(tǒng)長期運行單位成本隨輔助部件預(yù)防維修閾值Na;p變化的三條曲線并與考慮相依情形下的系統(tǒng)長期運行單位成本變化曲線作比較。從圖3可以看出輔助部件與主要部件不相依時，主要部件的退化率越高，長期運行單位成本也越高并且系統(tǒng)長期運行單位成本隨著Na;p的增加而下降。而在輔助部件與主要部件相依情況下，這種趨勢則完全相反。產(chǎn)生這種不同結(jié)果的原因是，在部件不相依的情況下，即使設(shè)定的輔助部件預(yù)防更換閾值很小，也不會減緩主要部件的退化，反而使得輔助部件預(yù)防更換更加頻繁，產(chǎn)生較高的輔助部件更換成本和停機成本。而在部件相依的情況下，當(dāng)輔助部件預(yù)防更換閾值設(shè)置較高時，主要部件以高退化率退化的時間占比也越高，主要部件更容易達到預(yù)防更換閾值以及故障閾值，從而產(chǎn)生較高的主要部件維修成本，故Cavg隨Na;p的增大而增大。

圖3 不同主要部件退化率下取不同值時的變化

4 結(jié)論

本文研究了一個自保護系統(tǒng)，系統(tǒng)包含的多個輔助部件能夠在環(huán)境沖擊到來時，通過犧牲自己來保護主要部件不受環(huán)境沖擊的影響，避免主要部件突發(fā)故障。此外，本文充分考慮兩類部件之間的相依關(guān)系，即當(dāng)輔助部件故障時，主要部件的退化率不斷提高。對于這樣的多部件系統(tǒng)，我們提出了一個計算系統(tǒng)長期運行平均成本的半再生過程方法和基于檢測的預(yù)防維修策略(Dc;p,Na;p,τ)。我們從研究中得到出了以下結(jié)論：(1)半再生過程技術(shù)對處理狀態(tài)變化復(fù)雜的過程有良好的效果。(2)主要部件與輔助部件之間的相依關(guān)系會對系統(tǒng)運行及成本產(chǎn)生較大影響。本文通過研究具有輔助部件的系統(tǒng)，擴展了自保護系統(tǒng)的內(nèi)涵，補充了部件相依性的研究，所提的預(yù)防維修策略對實際工程中的維修決策具有一定的指導(dǎo)意義。