■張文偉

必修(第一冊(cè))的主要內(nèi)容是集合與常用邏輯用語(yǔ),一元二次函數(shù),方程和不等式,函數(shù)的概念與性質(zhì),指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)。同學(xué)們要理解它們的概念、性質(zhì)及應(yīng)用,掌握一些經(jīng)典題型的解題思想與方法,注意歸納總結(jié),逐步提高解題能力和創(chuàng)新思維能力。

題型1:集合的概念與運(yùn)算

集合的運(yùn)算主要包括交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算,這也是高考對(duì)集合部分的主要考查點(diǎn)。對(duì)于較抽象的集合問(wèn)題,需借助Venn 圖或數(shù)軸等進(jìn)行數(shù)形分析,使問(wèn)題直觀化、形象化,進(jìn)而能使問(wèn)題簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解。

例1(1)(多選題)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B?A,則實(shí)數(shù)m等于( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

(2)已知全集U={x|x＞0},集合A={x|3≤x＜7},B={x|2＜x＜10},C={x|5-a＜x＜a}。

①求A∪B,(?UA)∩B。②若C?(A∪B),求a的取值范圍。

解:(1)當(dāng)m=0時(shí),B=?,則B?A,符合題意。當(dāng)m≠0時(shí),,由B?A知,即m=3 或m=2。綜上可知,m=0或m=2或m=3。應(yīng)選A,C,D。

(2)①A∪B={x|3≤x＜7}∪{x|2＜x＜10}={x|2＜x＜10}。

?UA={x|0＜x＜3或x≥7},(?UA)∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}。

②若C=?,則5-a≥a,解得;若C≠?,則2≤5-a＜a≤10,解得。綜上可得,a≤3,即a∈(-∞,3]。

題型2:充分條件與必要條件

若p?q,且q?/p,則p是q的充分不必要條件,同時(shí)q是p的必要不充分條件;若p?q,則p是q的充要條件,同時(shí)q是p的充要條件。充分、必要條件的判斷和證明是高考的一個(gè)?？键c(diǎn),常與不等式等知識(shí)結(jié)合命題。學(xué)會(huì)用集合的觀點(diǎn),分析和解決充分、必要條件的判斷和求參數(shù)范圍問(wèn)題,提升轉(zhuǎn)化與化歸能力。

例2(1)(多選題)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c,下列結(jié)論正確的是( )。

A.“a=b”是“ac=bc”的充分條件

B.“a+是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的必要條件

C.“a=b”是“a2=b2”的充分條件

D.“a＞b”是“a＞|b|”的必要條件

(2)設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足A={x|x≤3a或x≥a(a＜0)},q:實(shí)數(shù)x滿足B={x|-4≤x＜-2},且q是p的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解:(1)由a=b,可得ac=bc,A 正確。a+是無(wú)理數(shù)與a是不是無(wú)理數(shù)沒(méi)有關(guān)系,B錯(cuò)誤。由a=b,可得a2=b2,C正確。由a＞|b|,可得a＞b,D正確。應(yīng)選A,C,D。

(2)由q是p的充分不必要條件,可得BA,所以由此解得或a≤-4。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

題型3:全稱量詞命題和存在量詞命題

全稱量詞強(qiáng)調(diào)的是“任意”“一切”“每一個(gè)”等,常用符號(hào)“?”表示,而存在量詞強(qiáng)調(diào)的是部分,常用符號(hào)“?”表示。對(duì)于全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要把握兩點(diǎn):一是改量詞,二是否結(jié)論。

例3(1)命題p:“?x∈R,x2＞0”,則( )。

A.p是假命題;﹁p:?x∈R,x2＜0

B.p是假命題;﹁p:?x∈R,x2≤0

C.p是真命題;﹁p:?x∈R,x2＜0

D.p是真命題;﹁p:?x∈R,x2≤0

(2)已知命題p:?x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,命題q:?x∈R,x2+2x+2-a=0。若命題﹁p是真命題,且命題q是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解:(1)因?yàn)?2＞0不成立,所以“?x∈R,x2＞0”為假命題。根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知,“?x∈R,x2＞0”的否定是“?x∈R,x2≤0”。應(yīng)選B。

(2)若p:?x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0為真命題,則a小于或等于x的最小值,即a≤1。當(dāng)命題﹁p是真命題時(shí),命題p為假命題,所以a＞1。若q:?x∈R,x2+2x+2-a=0為真命題,即方程x2+2x+2-a=0有解,則Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1。當(dāng)命題﹁p是真命題,且命題q是真命題時(shí),需滿足解得a＞1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞)。

題型4:基本不等式及其應(yīng)用

例4(1)已知x＞0,y＞0,2x+3y=6,則xy的最大值為_(kāi)___。

(2)設(shè)x＜-1,求的最大值。

題型5:不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

不等式的性質(zhì)的命題形式有比較大小、命題真假的判斷、不等式的證明等,解答這類(lèi)問(wèn)題要注意直接法和特值法的應(yīng)用。

例5(1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是( )。

A.A≤BB.A≥B

C.A＜B或A＞BD.A＞B

(2)如果a,b,c滿足c＜b＜a且ac＜0,則下列選項(xiàng)中不一定成立的是( )。

A.ab＞acB.c(b-a)＞0

C.cb2＜ab2D.ac(a-c)＜0

解:(1)由A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=≥0,可得A≥B。應(yīng)選B。

(2)由c＜b＜a,ac＜0,可得a＞0,c＜0。對(duì)于A,由b＞c,a＞0,可得ab＞ac,A 正確。對(duì)于B,由b＜a,c＜0,可得c(b-a)＞0,B正確。對(duì)于C,由c＜a,b2≥0,可得cb2≤ab2,但不一定得到cb2＜ab2,即C 不一定成立。對(duì)于D,由ac＜0,a-c＞0,可得ac(ac)＜0,D 正確。應(yīng)選C。

題型6:一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法充分體現(xiàn)了三個(gè)“二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系,解此相關(guān)問(wèn)題應(yīng)把握三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):圖像的開(kāi)口方向;是否有根;根的大小關(guān)系。對(duì)于一元二次不等式的恒成立問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法可幫助求解。

例6(1)若不等式ax2+3x+2＞0 的解集為{x|b＜x＜1},求a,b的值。

(2)求關(guān)于x的不等式ax2+3x+2＞-ax-1(其中a＞0)的解集。

解:(1)將x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=-5。

由a=-5得不等式ax2+3x+2＞0即5x2-3x-2＜0,解得不等式的解集為。據(jù)此可得。

(2)不等式ax2+3x+2＞-ax-1可化為ax2+(a+3)x+3＞0,即(ax+3)(x+1)＞0。當(dāng),即0＜a＜3時(shí),原不等式的解集為;當(dāng),即a=3 時(shí),原不等式的解集為{x|x≠-1};當(dāng),即a＞3時(shí),原不等式的解集為。

綜上所述,當(dāng)0＜a＜3時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)a=3時(shí),原不等式的解集為{x|x≠-1};當(dāng)a＞3時(shí),原不等式的解集為。

題型7:不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

不等式的應(yīng)用問(wèn)題常以函數(shù)為背景,多是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問(wèn)題,在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值等。根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。

例7某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD,公園由長(zhǎng)方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成。已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000 m2,人行道的寬分別為4 m 和10m(如圖1)。

圖1

(2)要使公園所占面積最小,則休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)?

解:(1)設(shè)休閑區(qū)的寬B1C1為am,則長(zhǎng)A1B1為axm。

由a2x=4000,可得。

故S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)×+4160(x＞1)。

題型8:求函數(shù)的定義域

求函數(shù)定義域的常用依據(jù)是分母不為0,偶次根式中的被開(kāi)方數(shù)大于或等于0。由幾個(gè)式子構(gòu)成的函數(shù),其定義域是使各式子有意義的集合的交集。

例8(1)求函數(shù)的定義域。

(2)將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形,求矩形面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的解析式,并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域。

解:(1)要使函數(shù)有意義得解得所以函數(shù)的定義域是{x|1≤x≤5且x≠3}。

(2)設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為,所以面積。由題意可知此函數(shù)的定義域?yàn)椤?/p>

題型9:求函數(shù)的解析式

求函數(shù)解析式的題型與相應(yīng)的解法:(1)已知形如f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式,使用換元法或配湊法;(2)已知函數(shù)的類(lèi)型(往往是一次函數(shù)或二次函數(shù)),使用待定系數(shù)法;(3)含f(x)與f(-x)或f(x)與,使用解方程組法;(4)已知一個(gè)區(qū)間的解析式,求其對(duì)稱區(qū)間的解析式,可用奇偶性轉(zhuǎn)移法。

例9(1)函數(shù)f(x)在R 上為奇函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí),f(x)=,則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)___。

解:(1)當(dāng)x＜0時(shí),-x＞0,則f(-x)=。由f(x)是奇函數(shù),可得f(-x)=-f(x),所以-f(x)=,即當(dāng)x＜0時(shí),f(x)=。又f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0。

故函數(shù)f(x)=

題型10:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

函數(shù)的性質(zhì)主要有定義域、值域、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性和奇偶性,其中單調(diào)性和奇偶性是學(xué)習(xí)的重點(diǎn),利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求值、比較大小、解不等式是高考考查的主要內(nèi)容。在解不等式時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用。

例10已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,當(dāng)a,b∈[-1,1],a+b≠0時(shí),有成立。

(1)判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性,并證明。

(2)解不等式f(x2)＜f(2x)。

(3)若f(x)≤m2-2am+1 對(duì)所有的a∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解:(1)f(x)是[-1,1]上的增函數(shù)。

任取x1,x2∈[-1,1],且x1＜x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)。由,可得＞0。因?yàn)閤1-x2＜0,所以f(x1)-f(x2)＜0,所以f(x)是[-1,1]上的增函數(shù)。

(2)由(1)得f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,所以不等式f(x2)＜f(2x)等價(jià)于解得0＜x≤。

(3)要使f(x)≤m2-2am+1對(duì)所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,只需f(x)max≤m2-2am+1對(duì)所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立。

因?yàn)閒(x)max=f(1)=1,所以1≤m2-2am+1 對(duì)任意的a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am≥0對(duì)任意的a∈[-1,1]恒成立。令函數(shù)g(a)=-2ma+m2,只需滿足解得m≤-2或m≥2或m=0。故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)。

題型11:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

函數(shù)y=ax與y=logax(a＞0,且a≠1)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,前者恒過(guò)(0,1)點(diǎn),后者恒過(guò)(1,0)點(diǎn),兩函數(shù)的單調(diào)性均由底數(shù)a決定。在解題中要注意由翻折、平移等變換得出的函數(shù)圖像。

例11(1)已知a＞0,且a≠1,則函數(shù)f(x)=ax和函數(shù)的圖像可能是( )。

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解:(1)由題意知函數(shù)f(x)=ax與的單調(diào)性相同,排除D。由g(-1)=loga1=0,可排除A,B。應(yīng)選C。

(2)函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)根,也即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn)。作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖像,如圖2所示。

圖2

由圖可知,要使g(x)存在2 個(gè)零點(diǎn),需滿足-a≤1,解得a≥-1。應(yīng)選C。

題型12:指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)命題角度有:數(shù)值的比較大小、方程或不等式的求解問(wèn)題。要注意解含有對(duì)數(shù)式的方程或不等式時(shí),不能忘記對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,以免出現(xiàn)增解或漏解。

例12(1)若0＜x＜y＜1,則( )。

A.3y＜3xB.logx3＜logy3

Cl.og4x＜log4yD.

(2)已知a＞0,a≠1,且loga3＞loga2,若函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,3a]上的最大值與最小值之差為1。

①求a的值。②若1≤x≤3,求函數(shù)y=的值域。

解:(1)函數(shù)y=3x在R 上單調(diào)遞增,由0＜x＜y＜1,可得3x＜3y,A 錯(cuò)誤。當(dāng)0＜a＜1時(shí),函數(shù)y=logax在x∈(0,1)上“底小圖高”,由0＜x＜y＜1,可得logx3＞logy3,B錯(cuò)誤。函數(shù)y=log4x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則log4x＜log4y,C正確。函數(shù)在R 上單調(diào)遞減,則,D 錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

(2)①由loga3＞loga2,可知f(x)=logax在[a,3a]上為增函數(shù),所以loga(3a)-logaa=1,即loga3=1,可得a=3。

題型13:函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的根,也是相應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)或兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。零點(diǎn)存在性定理是判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)的一種方法,但要注意其使用的兩個(gè)條件,即連續(xù)性與異號(hào)性。

例13已知定義在R 上的函數(shù)y=f(x)的圖像是一條不間斷的曲線,f(a)≠f(b),其中a＜b,設(shè)F(x)=f(x)-,求證:函數(shù)F(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)。

題型14:函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

掌握兩類(lèi)函數(shù)模型:一類(lèi)是指數(shù)型函數(shù)模型,通?？杀硎緸閥=a(1+p)x(其中a為原來(lái)的基數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間),另一類(lèi)是對(duì)數(shù)型函數(shù)模型,通?？杀硎緸閥=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),a＞0,a≠1,m≠0)。解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)實(shí)際情況所提供的數(shù)據(jù)求得相應(yīng)解析式,然后利用相應(yīng)解析式解決實(shí)際問(wèn)題。

例142018 年12 月8 日,我國(guó)的“長(zhǎng)征”三號(hào)乙火箭成功發(fā)射了嫦娥四號(hào)探測(cè)器,這標(biāo)志著中國(guó)人民又邁出了具有歷史意義的一步?；鸺钠痫w質(zhì)量M是箭體(包括搭載的飛行器)的質(zhì)量m(t)和燃料質(zhì)量x(t)之和。在不考慮空氣阻力的條件下,假設(shè)火箭的最大速度y(km/s)關(guān)于x(t)的函數(shù)關(guān)系式為y=k[ln(m+x)-]+4ln2(其中k≠0)。當(dāng)燃料質(zhì)量為時(shí),該火箭的最大速度為4km/s。

(1)求“長(zhǎng)征”三號(hào)系列火箭的最大速度y與燃料質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式。

(2)已知“長(zhǎng)征”三號(hào)火箭的起飛質(zhì)量M是479.8t,則應(yīng)裝載多少噸燃料才能使火箭的最大飛行速度達(dá)到8km/s?(結(jié)果精確到0.1t,e取2.718)

解:(1)由題意得4=k{ln[m+·m]-}+4ln2,據(jù)此解得k=8,所以所求函數(shù)關(guān)系為y=8[ln(m+x)-]+4ln2=。

(2)由已知得M=m+x=479.8,則m=479.8-x。由y=8,可得,解得x≈303.3。

故應(yīng)裝載大約303.3t燃料,才能使火箭的最大飛行速度達(dá)到8km/s。

題型15:三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值

熟練掌握兩個(gè)基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1及,并能應(yīng)用兩個(gè)關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明。在倍角公式中,要特別注意cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α及其變形式。誘導(dǎo)公式可概括為的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式,記憶規(guī)律是:奇變偶不變,符號(hào)看象限。

題型16:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)的性質(zhì)主要包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性等。對(duì)于三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題,一般先通過(guò)恒等變換將函數(shù)表達(dá)式變形為y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式,然后將ωx+φ看成一個(gè)整體,利用整體代換思想加以解決。畫(huà)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的兩種方法:“五點(diǎn)法”和圖像的伸縮與平移變換法。

例16已知函數(shù)f(x)=·cosωx在x=處取得最值,其中ω∈(0,2)。

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期。

(2)將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖像。若α為銳角,且g(α)=,求cosα的值。

題型17:三角函數(shù)模型的應(yīng)用

如果某種現(xiàn)象的變化具有周期性,那么可以根據(jù)這一現(xiàn)象的特征和條件利用三角函數(shù)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型——三角函數(shù)模型。在解題中務(wù)必關(guān)注兩點(diǎn):自變量的取值范圍;數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用。

例17如圖3 所示,摩天輪的半徑為40m,中心O點(diǎn)距地面的高度為50m,摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng),每2min轉(zhuǎn)一圈,摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)。

圖3

(1)試確定在時(shí)刻tmin時(shí)P點(diǎn)距離地面的高度h。

(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi),有多長(zhǎng)時(shí)間P點(diǎn)距離地面超過(guò)70m。

解:(1)建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系。

圖4

設(shè)φ(0≤φ＜2π)是以O(shè)x為始邊,OP0(P0表示點(diǎn)P的起始位置)為終邊的角。OP在tmin內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角為,即πt。

以O(shè)x為始邊,OP為終邊的角為(πt+φ),即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為40sin(πt+φ)。由題意知φ=,所以P點(diǎn)距地面的高度h=50+=50+40cosπt。

(2)當(dāng)50+40cosπt＞70 時(shí),解得2k-。由0≤t≤2,可知符合題意的時(shí)間段為。故在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi),有點(diǎn)距離地面超過(guò)70m。