張 國 友

(中石化四機(jī)石油機(jī)械有限公司)

0 引 言

壓裂技術(shù)在油氣田中使用日益廣泛[1]，在非常規(guī)油氣開發(fā)中[2]，通常需要面對復(fù)雜的井身結(jié)構(gòu)、復(fù)雜的巖性和復(fù)雜的流體性質(zhì)，這對壓裂設(shè)備提出了更高的要求，需要有良好的耐高壓、抗腐蝕、耐沖蝕特性。但是目前高壓管匯在實(shí)際工作中的壽命遠(yuǎn)遠(yuǎn)短于其他的壓裂設(shè)備，嚴(yán)重制約了油氣田整體開發(fā)效益，所以需要對高壓管匯易損件進(jìn)行研究[3-7]。

為了延長活動(dòng)彎頭的使用壽命，許多學(xué)者進(jìn)行了大量研究并取得了一定進(jìn)展。徐曉東等[8]通過對活動(dòng)彎頭結(jié)構(gòu)和加工工藝改進(jìn)來延長活動(dòng)彎頭使用壽命。敬佳佳等[9]利用CFD軟件分析放噴管角度、位置、放噴量、含砂率、顆粒形狀對壁面沖蝕率的影響，指出含砂率對最大沖蝕率的影響較大，彎管位置對最大沖蝕率的影響較小，放噴管最大沖蝕率隨含砂率、顆粒形狀系數(shù)的增大而增大，隨彎管角度和直管段長度增大而減小，隨著放噴量的增加最大沖蝕率先增大后減小。郭登明等[10]針對現(xiàn)有活動(dòng)彎頭出現(xiàn)明顯壓痕和點(diǎn)蝕的情況，以20CrNiMo活動(dòng)彎頭為研究對象，將活動(dòng)彎頭進(jìn)行滲碳+等溫淬火+回火熱處理，觀察活動(dòng)彎頭金相組織的變化，發(fā)現(xiàn)工件表面為下貝氏體金相組織，該組織具有良好的耐磨性和抗腐蝕性，內(nèi)部為下貝氏體和馬氏體的混合金相組織，該組織可以有效防止裂紋擴(kuò)散。

以上研究多以彎頭加工工藝、彎頭最大沖蝕率、彎頭熱處理工藝為主，對大通徑四滾道活動(dòng)彎頭接觸特性規(guī)律研究有待完善。筆者以大通徑四滾道活動(dòng)彎頭為研究對象，采用增廣拉格朗日乘子法[11]，分析不同滾道軸向間距、徑向間距、滾道半徑對活動(dòng)彎頭最大接觸應(yīng)力的影響規(guī)律。筆者對滾道接觸應(yīng)力進(jìn)行分析總結(jié)，以期為活動(dòng)彎頭的設(shè)計(jì)、優(yōu)化提供指導(dǎo)。

1 有限元接觸算法

1.1 罰函數(shù)法

罰函數(shù)法相當(dāng)于在接觸面與目標(biāo)面之間引入彈簧系統(tǒng)。在未接觸時(shí)，彈簧系統(tǒng)不發(fā)生作用；在接觸發(fā)生時(shí)，彈簧系統(tǒng)就會(huì)阻止接觸物體相互嵌入[12]。為方便系統(tǒng)計(jì)算，在不含接觸總位能基礎(chǔ)上引入一個(gè)懲罰勢能：

(1)

式中：ΠP(U)為懲罰勢能，J；EP為懲罰因子，N/m；P為嵌入深度，m；U為節(jié)點(diǎn)位移，m。

這樣，接觸問題就等價(jià)于無約束優(yōu)化問題：

minΠ*(U)=Π(U)+ΠP(U)

(2)

式中：Π*(U)為接觸總位能，J；Π(U)為不含接觸總位能，J。

罰函數(shù)法受接觸剛度的影響較大。接觸剛度越大，穿透量越?。唤佑|剛度越小，穿透量就越大。理論上而言，當(dāng)我們將接觸剛度設(shè)定到無窮大時(shí)，其穿透量即可以為0，但是剛度矩陣不可能無窮大，否則剛度矩陣呈現(xiàn)病態(tài)。

1.2 拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法[13]是通過類比拉格朗日法的數(shù)學(xué)意義，以g(x)為約束條件，f(x)作為目標(biāo)函數(shù)，引入拉格朗日乘子λ來構(gòu)造公式：

L(x)=f(x)+λg(x)

(3)

在接觸非線性問題上，拉格朗日乘子法以接觸力的拉格朗日乘子λ乘以無侵徹條件，構(gòu)造接觸約束條件的附加泛函：

ΠC(U，λ)=λg

(4)

式中：ΠC(U，λ)為含接觸約束條件的附加泛函，J；λ為拉格朗日乘子；g為接觸約束條件。

最終將約束條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題：

minΠ*(U，λ)=Π(U)+ΠC(U，λ)

(5)

拉格朗日法不再通過定義剛度來計(jì)算接觸力，而是將接觸力作為一個(gè)自由度，擴(kuò)大了剛度矩陣。該算法優(yōu)點(diǎn)是精度高；缺點(diǎn)是失去系數(shù)矩陣正定性，不易收斂。

1.3 增廣拉格朗日乘子法

在增廣拉格朗日乘子法[14]下，系統(tǒng)的總位能由不含接觸約束條件的總位能Π(U)和懲罰勢能ΠP(U)以及含接觸約束條件的附加泛函ΠC構(gòu)成，構(gòu)造修正的勢能泛函如下：

Π*=Π(U)+ΠP(U)+ΠC(U，λ)

(6)

增廣拉格朗日是先將程序按照罰函數(shù)法進(jìn)行開始計(jì)算，通過賦予允許穿透的最大值。如果在計(jì)算迭代過程中出現(xiàn)穿透量大于許用穿透量，則對剛度矩陣進(jìn)行更新，將各個(gè)接觸單元的接觸剛度加上接觸力乘以拉格朗日乘子的數(shù)值，形成不斷更新剛度矩陣的罰函數(shù)法，也就是拉格朗日法。隨著剛度矩陣的不斷更新，最終穿透量將小于允許值，計(jì)算則停止。極大地克服了罰函數(shù)法的病態(tài)矩陣，以及拉格朗日法的剛度矩陣零對角元問題。

2 活動(dòng)彎頭有限元接觸分析

2.1 物理模型及網(wǎng)格劃分

本文選取某廠型號(hào)為?130.2 mm-105 MPa(5in-15 000 psi)的大通徑活動(dòng)彎頭為研究對象，采用Solidworks對其進(jìn)行三維建模。該活動(dòng)彎頭為四滾道活動(dòng)彎頭，4個(gè)滾道安裝鋼球數(shù)量分別為32、33、34和35顆，其中第一滾道鋼球數(shù)量為32顆。因?yàn)榛顒?dòng)彎頭活動(dòng)節(jié)整體結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，無法對其直接進(jìn)行接觸分析。查閱文獻(xiàn)可知，活動(dòng)彎頭第一滾道接觸應(yīng)力較大，所以模型以第一滾道32顆鋼球?yàn)閰⒖?，建立活?dòng)彎頭活動(dòng)節(jié)1/32分析模型，如圖1所示。

圖1 活動(dòng)彎頭簡化模型示意圖

在活動(dòng)彎頭使用期間，活動(dòng)彎頭滾道表面容易出現(xiàn)壓痕和點(diǎn)蝕。其中第一滾道最嚴(yán)重。因此，需要對活動(dòng)彎頭進(jìn)行彈塑性接觸分析，其中在活動(dòng)彎頭活動(dòng)節(jié)塑性階段采用雙線性模型。材料的密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比υ=0.275，屈服強(qiáng)度σs=896 MPa，切線模量Etan=21 GPa。

考慮到彈塑性接觸分析對網(wǎng)格要求較高，本文采用如下網(wǎng)格劃分方式：首先對球體進(jìn)行切分，切分后可以自動(dòng)生成規(guī)則的六面體網(wǎng)格；為保證滾道網(wǎng)格基本與鋼球網(wǎng)格一致，采用球體加密網(wǎng)格方式，以鋼球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對滾道一圈進(jìn)行網(wǎng)格加密。對于非接觸區(qū)域不存在塑性變形，順延滾道六面體劃分方式。網(wǎng)格大小設(shè)置為5 mm，劃分結(jié)果如圖2所示。

圖2 活動(dòng)彎頭網(wǎng)格劃分

2.2 邊界條件

根據(jù)活動(dòng)彎頭的實(shí)際工況，對活動(dòng)彎頭有限元網(wǎng)格模型施加載荷和邊界條件?；顒?dòng)彎頭主要承受2種載荷：內(nèi)壓和軸向載荷。內(nèi)壓作用在外接頭和內(nèi)接頭內(nèi)壁面，外接頭在管壁內(nèi)壓作用下產(chǎn)生徑向位移，鋼球在外接頭和內(nèi)接頭共同作用下產(chǎn)生擠壓變形；軸向載荷是在管內(nèi)流體壓力作用下，將管道看作密閉容器，外接頭和內(nèi)接頭都將受到管內(nèi)流體對管道的橫向作用力。在施加載荷時(shí)，根據(jù)施加工況直接在外接頭和內(nèi)接頭管道內(nèi)表面施加內(nèi)壓105 MPa的壓力；軸向載荷可以在內(nèi)接頭端面施加，外接頭端面采用位移約束，約束外接頭端面軸向位移。內(nèi)接頭端面載荷采用均布載荷方式施加，均布載荷p可以通過下式求得：

(7)

式中：po為管壁內(nèi)壓，MPa；Si為內(nèi)接頭外端面內(nèi)圓的面積，mm2；So為內(nèi)接頭外端面外圓的面積，mm2；di為內(nèi)接頭外端面的內(nèi)徑，mm；do為內(nèi)接頭外端面的外徑，mm。

活動(dòng)彎頭鋼球多，鋼球與滾道接觸較多，不利于分析。上文對模型進(jìn)行簡化，取1/32進(jìn)行分析，所以對外接頭和內(nèi)接頭側(cè)面需要進(jìn)行合理約束，本文采用法向無位移約束。施加載荷和邊界條件后的模型如圖3所示。

圖3 邊界條件和載荷施加圖

2.3 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

通過對數(shù)值模型的試算，鋼球的法向接觸剛度因子與網(wǎng)格數(shù)量對彈塑性接觸非線性仿真分析結(jié)果有較大影響，為確保計(jì)算結(jié)果的正確性，進(jìn)行無關(guān)性驗(yàn)證。首先計(jì)算最大接觸應(yīng)力與網(wǎng)格大小的關(guān)系，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 最大接觸應(yīng)力與網(wǎng)格大小關(guān)系圖

通過對網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證可以得到，隨著網(wǎng)格不斷減小，網(wǎng)格量不斷增大，結(jié)果趨于收斂。網(wǎng)格尺寸在0.65～1.05 mm時(shí)接觸應(yīng)力波動(dòng)較為平穩(wěn)，分布較為均勻。若將網(wǎng)格繼續(xù)加密，接觸應(yīng)力開始出現(xiàn)不規(guī)則，分布不均，開叉等不正?，F(xiàn)象。網(wǎng)格尺寸在0.65～1.05 mm范圍內(nèi)的最大接觸應(yīng)力為2 264.5 MPa，最小接觸應(yīng)力為2 145.2 MPa，誤差為5.26%，精度滿足要求。綜合上述分析，本文選取網(wǎng)格大小為1.05 mm，在此基礎(chǔ)上選擇合適的法向接觸剛度因子，計(jì)算最大穿透量、最大接觸應(yīng)力與接觸面法向接觸剛度因子的影響，如圖5所示。

圖5 最大接觸應(yīng)力、最大穿透量與接觸剛度因子關(guān)系圖

查閱文獻(xiàn)可知[15]法向剛度控制接觸面和目標(biāo)面之間的穿透量。較高的法向剛度會(huì)降低貫入量，但會(huì)導(dǎo)致整體剛度矩陣的病態(tài)和收斂困難。較低的法向剛度可能導(dǎo)致一定數(shù)量的穿透，并產(chǎn)生不準(zhǔn)確的解決方案。理想情況下，需要一個(gè)足夠大的法向剛度，使?jié)B透足夠小。通過對不同法向剛度分析計(jì)算，可以看出隨著接觸面法向剛度的增加，接觸面與目標(biāo)面的最大穿透量不斷減少趨于收斂；最大接觸應(yīng)力逐漸增大直至穩(wěn)定，綜合考慮，選取法向接觸剛度因子為10。

2.4 仿真計(jì)算結(jié)果

采用Workbench軟件對活動(dòng)彎頭進(jìn)行彈塑性接觸非線性分析，得到滾道接觸應(yīng)力如圖6和圖7所示。由圖6和圖7可知，接觸應(yīng)力云圖呈現(xiàn)橢圓形，與赫茲理論假設(shè)一致，分析結(jié)果合理。外接頭和內(nèi)接頭第一滾道接觸應(yīng)力都明顯大于其余滾道，呈現(xiàn)逐漸減小趨勢，與現(xiàn)場第一滾道壓痕最為嚴(yán)重的現(xiàn)象一致。對比外接頭與內(nèi)接頭滾道最大接觸應(yīng)力可以發(fā)現(xiàn)，外接頭滾道最大接觸應(yīng)力比內(nèi)接頭大。

圖6 外接頭滾道接觸應(yīng)力云圖

圖7 內(nèi)接頭滾道接觸應(yīng)力云圖

圖8為活動(dòng)彎頭結(jié)構(gòu)示意圖。本文將結(jié)構(gòu)劃分為6個(gè)區(qū)域。由上文可知，活動(dòng)彎頭所受載荷主要有2種?；顒?dòng)彎頭內(nèi)壁在承受載荷時(shí)，活動(dòng)彎頭所有區(qū)域在徑向上都會(huì)外擴(kuò)，區(qū)域1壁厚較大，在區(qū)域5共同作用下，不易變形；區(qū)域4壁厚較大，在區(qū)域6共同作用下，不易變形；相較于區(qū)域1、區(qū)域4，區(qū)域2、區(qū)域3徑向變形較為容易。在內(nèi)壓作用下，區(qū)域3推動(dòng)區(qū)域1，區(qū)域4推動(dòng)區(qū)域2，區(qū)域3可以過濾內(nèi)壓能量不如區(qū)域4，剩余能量都由區(qū)域1承擔(dān)；區(qū)域4過濾較多的內(nèi)壓能量，剩余的能量到區(qū)域2，又因?yàn)閰^(qū)域2徑向易變形，而區(qū)域1不易變形，所以造成滾道嚴(yán)重偏載。活動(dòng)彎頭在承受軸向載荷時(shí)，所有區(qū)域在徑向上都會(huì)有遠(yuǎn)離鋼球的趨勢，在第一滾道和第二滾道都有徑向易變形區(qū)和不易變形區(qū)，所以軸向載荷并不是造成滾道偏載的主要原因。

圖8 活動(dòng)彎頭結(jié)構(gòu)示意圖

以外接頭滾道最大接觸應(yīng)力為判定依據(jù)，通過對活動(dòng)彎頭內(nèi)壓和軸向載荷單獨(dú)分析,再與載荷共同作用進(jìn)行對比，得出不同載荷下滾道所受最大接觸應(yīng)力，分析結(jié)果如表1所示。

表1 不同載荷工況下滾道最大接觸應(yīng)力

由表1可以看出，在軸向載荷單獨(dú)作用下，滾道最大接觸應(yīng)力相差不大；在管壁內(nèi)壓單獨(dú)作用下，第一滾道相對第四滾道最大接觸應(yīng)力降低了44.68%；在軸向載荷和管壁內(nèi)壓共同作用下，最大接觸應(yīng)力降低了31.70%。由此可見，軸向載荷對管壁內(nèi)壓導(dǎo)致的滾道接觸應(yīng)力偏載有一定的緩解作用。

3 活動(dòng)彎頭接觸應(yīng)力影響因素分析

由上述仿真可知，活動(dòng)彎頭存在接觸應(yīng)力過大和偏載現(xiàn)象，筆者對接觸應(yīng)力偏載做出了解釋，并在此基礎(chǔ)上分析活動(dòng)彎頭結(jié)構(gòu)參數(shù)對滾道接觸應(yīng)力的影響。彎頭結(jié)構(gòu)參數(shù)主要包括滾道軸向間距、滾道徑向間距和滾道半徑。

3.1 滾道軸向間距

在滾道結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的情況下，選取不同大小的滾道軸向間距分別為27.4、31.4、35.4、39.4和43.4 mm。研究滾道軸向間距對活動(dòng)彎頭滾道接觸應(yīng)力的影響規(guī)律，整理數(shù)值仿真數(shù)據(jù)可得活動(dòng)彎頭滾道最大接觸應(yīng)力隨滾道軸向間距的變化規(guī)律，如圖9所示。

圖9表明，隨著活動(dòng)彎頭滾道軸向間距的增大，第一滾道、第二滾道最大接觸應(yīng)力呈現(xiàn)上升趨勢，第三滾道最大接觸應(yīng)力上下波動(dòng)，第四滾道最大接觸應(yīng)力呈現(xiàn)下降趨勢。因?yàn)殡S著滾道軸向間距的增大，外接頭內(nèi)壁面承載內(nèi)壓面積增大，單個(gè)鋼球所需承載的載荷增加，但是區(qū)域3過濾內(nèi)壓能力沒有區(qū)域4強(qiáng)，所以導(dǎo)致活動(dòng)彎頭滾道最大接觸應(yīng)力的增加。

圖9 不同滾道軸向間距下的最大接觸應(yīng)力

3.2 滾道徑向間距

在滾道結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的情況下，選取不同大小的滾道徑向間距分別為0、1.1、2.1、3.1、4.1、5.1和6.1 mm。研究滾道徑向間距對活動(dòng)彎頭滾道接觸應(yīng)力的影響規(guī)律，整理數(shù)值仿真數(shù)據(jù)可得活動(dòng)彎頭滾道最大接觸應(yīng)力隨滾道徑向間距的變化規(guī)律，如圖10所示。

圖10 不同滾道徑向間距下的最大接觸應(yīng)

圖10表明，隨著活動(dòng)彎頭滾道徑向間距的增大，第一滾道、第二滾道最大接觸應(yīng)力呈現(xiàn)上升趨勢，第三滾道最大接觸應(yīng)力上下波動(dòng)，第四滾道最大接觸應(yīng)力呈現(xiàn)下降趨勢。這是因?yàn)殡S著彎頭滾道徑向距離變大，區(qū)域1和區(qū)域4的壁厚變大，區(qū)域2和區(qū)域3的壁厚沒有改變，導(dǎo)致區(qū)域4承載的內(nèi)壓比例增加，分配給區(qū)域2的內(nèi)壓能減少；區(qū)域3承載的內(nèi)壓比例基本不變，但是區(qū)域1壁厚增加，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度增加，更加不易發(fā)生形變，致使鋼球形變增大，所以接觸應(yīng)力增大。

3.3 滾道半徑對滾道接觸應(yīng)力的影響

在鋼球直徑、外接頭與內(nèi)接頭滾道中心距一定的情況下，在9.60～9.72 mm范圍內(nèi)均勻選取7組不同大小的滾道半徑，研究滾道半徑對活動(dòng)彎頭滾道接觸應(yīng)力的影響規(guī)律。整理數(shù)值仿真數(shù)據(jù)可得活動(dòng)彎頭滾道最大接觸應(yīng)力隨滾道半徑的變化規(guī)律，如圖11所示。

圖11表明，隨著滾道半徑的增大，滾道最大接觸應(yīng)力先減小后增大，在滾道半徑為9.66 mm時(shí)達(dá)到最低。這是由于在鋼球半徑不變情況下，改變滾道半徑，相當(dāng)于改變了鋼球與滾道的接觸角，導(dǎo)致滾道最大接觸應(yīng)力產(chǎn)生變化。

圖11 不同滾道半徑下的最大接觸應(yīng)力

4 結(jié) 論

(1)活動(dòng)彎頭各滾道接觸應(yīng)力云圖均呈現(xiàn)橢圓形，符合赫茲理論假設(shè)；外接頭和內(nèi)接頭第一滾道接觸應(yīng)力都明顯大于其余滾道，呈現(xiàn)逐漸減小趨勢，與現(xiàn)場第一滾道壓痕最為嚴(yán)重的現(xiàn)象一致；因管壁內(nèi)壓直接作用于外接頭，造成外接頭滾道最大接觸應(yīng)力比內(nèi)接頭大。

(2)活動(dòng)彎頭滾道最大接觸應(yīng)力隨著滾道軸向間距的增大而增大，隨著滾道徑向間距的增大大致呈現(xiàn)增長趨勢，隨著滾道半徑的增大先減小后增大，在滾道半徑為9.66 mm時(shí)達(dá)到最低。

(3)因?yàn)榛顒?dòng)彎頭各個(gè)部分彎頭的壁厚不一致，所以其徑向剛度有所差別，最終造成滾道接觸產(chǎn)生偏載?；顒?dòng)彎頭產(chǎn)生偏載的動(dòng)力原因主要來自管壁內(nèi)壓，活動(dòng)彎頭在軸向載荷的作用下，有利于緩解內(nèi)壓產(chǎn)生的偏載。