范文茹， 王 馳

(中國民航大學 電子信息與自動化學院，天津 300300)

碳纖維復合材料(carbon fiber reinforced polymer，CFRP)因其較高的強度質量比，較強的耐腐蝕性、耐熱性等優(yōu)點被越來越多的應用于國防、航空航天、汽車等領域。在生產(chǎn)和使用中，各類損傷是不可避免的，因此對于CFRP的無損檢測技術尤為重要。目前對CFRP檢測主要包括超聲[1-2]、聲發(fā)射[3-4]、熱成像[5-6]、X射線[7-8]等手段。上述CFRP檢測方法雖然有一定的效果，但是也面臨著設備昂貴、需要大量人力、操作復雜和輻射等問題。電阻抗層析成像技術(electrical impedance tomography，EIT)因其低成本、操作簡單、無輻射等優(yōu)點近年來在CFRP損傷檢測方面被廣泛研究[9-15]。Schueler等[16]改進了傳統(tǒng)EIT方法來適應CFRP電導率的各向異性特征，利用布置在邊界的16電極來提取電壓數(shù)據(jù)，并通過有無損傷時的觀測數(shù)據(jù)的對比來表征損傷，能夠粗略的反映損傷的位置。Almuhammadi等[17-19]利用激光去除CFRP表面絕緣層，減小了電極與內(nèi)部纖維之間的接觸阻抗，利用布置在表面的16電極陣列研究了電極接觸阻抗的各向異性行為，并且使用此電極進行準靜態(tài)壓痕試驗檢測到了較為細微的損傷。這種方法雖然有較好的效果，但制備過程復雜。Nonn等[20]通過在CFRP四周嵌入16顆鋁制鉚釘，利用碳纖維作為內(nèi)部傳感器來獲取邊緣電壓數(shù)據(jù)，成功重建了損傷圖像，并能夠通過圖像大致判斷損傷位置。因其制備簡單，能夠獲取相對較好的觀測數(shù)據(jù)，并且在實際使用中可以利用固定CFRP的鉚釘充當電極，故而本文中也將采用嵌入式電極作為傳感器。

EIT對CFRP損傷圖像重建包括正問題與逆問題兩個方面，求解正問題是為了獲得在已知電導率分布時的靈敏度矩陣，而逆問題的求解則是通過靈敏度矩陣、邊界電壓觀測數(shù)據(jù)來反演場域內(nèi)的電導率分布。正則化方法因其能夠在一定程度上緩解求解方程的病態(tài)性而廣泛的應用于EIT逆問題圖像重建中。常用的正則化方法包括以Tikhonov正則化(Tikh)為代表的二范數(shù)方法，一范數(shù)方法L1正則化等。受限于電極個數(shù)與分布位置，采用嵌入式電極檢測CFRP損傷時，靈敏度矩陣呈中間低四周高的分布特點。因此，四周的檢測噪聲可能被放大，而中間的有效信號可能被忽略。為解決這一問題，本文提出了一種改進L1正則化方法ML1盡可能多的保留有效信息，并采用能夠節(jié)約大量計算的自適應Barzilai-Borwein譜估計(Adaptive Barzilai-Borwein,ABB)方法[21]計算迭代步長。為驗證所提出的方法有效性，設計了多種損傷類型及損傷分布相對位置及實際損傷檢測試驗。仿真和試驗結果驗證了所提出方法的有效性。

1 EIT原理

EIT方法包括正問題與逆問題兩個方面。正問題是通過給定測試區(qū)域幾何形狀、邊界條件及電導率分布來獲取被測場域的電場分布。EIT正問題的有限元模型可以描述為

U=F(σ;I)=R(σ)I

(1)

式中：F(σ;I)為通過電導率向量σ與激勵電流I來觀測電壓向量U的正問題模型;R(σ)為通過電導率向量獲得阻抗向量σ的非線性模型。當電導率變化較小的時候可以認為這一問題是線性的，于是

δF=F′(σ0)δσ=Sδσ

(2)

式中：δσ∈Rn×1為重建電導率變化量;δF∈Rm×1為觀測到的邊界電壓差值;S∈Rm×n為靈敏度矩陣。在四端口網(wǎng)絡中，靈敏度矩陣可以表示為

(3)

式中，f(Id)與f(Im)分別為第d次和第m次激勵時場域Ωk的電勢分布。

EIT逆問題是通過逐步縮小計算得到的與實際觀測到的邊界電壓信號的差值來逼近的，由于電極個數(shù)，電極分布位置及系統(tǒng)方程欠定的限制，EIT圖像重建問題是一個病態(tài)問題。由于正則化方法在一定程度上能夠緩解病態(tài)問題，正則化方法廣泛應用于EIT圖像重建中。常用正則化方法可以表述為

式中，δσ*為電導率變化量的先驗猜想，未知時設置為零向量。當p=1時為L1正則化，L1正則化相對于二范數(shù)正則化有更銳利的邊緣和更少的偽影而被廣泛應用。

2 改進L1正則化方法

雖然L1正則化方法有諸多優(yōu)點，但是由于電極分布位置及電場軟場特性的限制，CFRP采用嵌入式電極檢測時靈敏度矩陣呈中心低四周高的分布。在L1正則化迭代過程中，軟閾值濾波可能會將位于中心的損傷數(shù)據(jù)濾除，因此若在濾除前判斷該點數(shù)據(jù)是否為有效數(shù)據(jù)再進行濾波應會取得更好地圖像重建效果。

重建圖像的偽影一般是隨機分布的噪聲沒有規(guī)律，而L1正則化方法重建CFRP損傷圖像數(shù)值分布，如圖1所示，損傷中心像素點重建數(shù)值大于周圍8鄰域數(shù)值，即

圖1 損傷重建灰度值分布規(guī)律Fig.1 Distribution of damage reconstruction gray value

p(i,j)-p(i∪i±1;j∪j±1)>0

(5)

式中，p(i,j)為像素(i，j)處的重建電導率差值。式(5)在8個鄰域上的階躍響應之和N可以表示為

(6)

式中，H( )為單位階躍函數(shù)。若N=8，則可以認為該點為有效數(shù)據(jù)，應在濾除時予以保留。為保證更多有效數(shù)據(jù)能夠得以保留，當N≥7時，即認為該點為有效數(shù)據(jù)，對全部數(shù)據(jù)進行圖2所示的掃描并將所有有效數(shù)據(jù)點及其八鄰域數(shù)據(jù)保存至一全零向量k中。在濾波完成后將k回代入完成濾波的向量中進行下一次迭代。

圖2 數(shù)據(jù)選擇與判斷方法原理圖Fig.2 Principle of data selection and judgement

于是，δσ可以表示為

(8)

式中，δσi+1為第i+1次迭代的結果，迭代步長τ根據(jù)ABB方法設置

(9)

式中，δσi+1(t)為第i+1次迭代結果的第t個元素。

(11)

當殘差滿足式(12)或迭代次數(shù)達到最大迭代次數(shù)MI時，終止迭代并輸出重建向量δσ。

(12)

式中，r為允許的最大誤差。

于是，ML1正則化方法可以總結為圖3中的流程。

圖3 改進L1迭代流程圖Fig.3 The flowchart of the improved L1 regularization

3 仿真驗證

3.1 仿真設置

樹脂基CFRP材料由樹脂與鋪設方向不同的碳纖維構成。按照鋪設方向區(qū)分，常見的樹脂基CFRP材料可分為單向CFRP，[0°/90°] 交替鋪設CFRP 以及[-45°/0°/45°/90°]交替鋪設CFRP。在本文將與試驗材料鋪設相一致的[0°/90°]交替鋪設 CFRP作為研究對象。由于碳纖維電導率在軸向與徑向呈較強的各向異性，為了簡化CFRP模型，CFRP材料被設置為10層單層均勻的各向異性材料，如圖4所示。仿真所采用的CFRP材料尺寸為100 mm×100 mm×2 mm，纖維軸向電導率設置為1 000 S/m，徑向介電常數(shù)設置為10 S/m。

圖4 CFRP結構圖Fig.4 Structure of CFRP

常見的CFRP材料損傷有沖擊損傷，分層損傷，裂紋損傷等。此外，由于電極分布在CFRP材料四周，靈敏度矩陣呈中間低四周高的趨勢，可能將較為靠近靈敏度較弱區(qū)域的損傷濾除。為驗證本文所提出的方法，如圖5(a)所示，設置了單沖擊損傷D1、對角分布沖擊損傷D2、多沖擊損傷D3、位于同一直線雙沖擊損傷D4、十字沖擊損傷D5、分層損傷D6及裂紋損傷D7。其中損傷D1的半徑為5 mm，損傷D2兩半徑均為4 mm，損傷D3的半徑分別為6 mm,5 mm,5 mm,4 mm,3 mm，損傷D4的兩半徑均為4 mm，損傷D5為兩10 mm×60 mm的長方體。損傷D6為分層損傷，半徑為5 mm，厚度為1 mm，發(fā)生在層3～8。損傷D7為裂紋損傷，尺寸為20 mm×1 mm×1 mm，發(fā)生在層6～10。

如圖5(a)所示，采用嵌入式電極觀測邊界電壓數(shù)據(jù)，電極材質為圓柱體銅制鉚釘，半徑為1.5 mm，高10 mm，均勻鑲嵌在距CFRP邊緣 5 mm的四周。圖像重建區(qū)域如圖5(b)所示，為一80 mm×80 mm方形區(qū)域。在正問題求解及逆問題計算時，該區(qū)域被均勻的剖分為32×32個均勻網(wǎng)格。仿真試驗基于COMSOL Multiphysics 5.4及MATLAB 2014a。執(zhí)行仿真計算的計算機CPU及內(nèi)存容量分別為Intel(R) Xeon(R) CPU E3-1225 v5@3.30 GHz 與16 GB。為了對比改進方法的重建圖像效果，常用的共軛梯度算法(conjugate gradient least squares,CGLS)，Tikhonov算法(Tikh)以及改進前的L1正則化方法也將作為改進方法的對照組進行圖像重建。

圖5 仿真設置Fig.5 Setting of simulation

3.2 圖像重建結果

仿真試驗圖像重建結果如圖6所示。

圖6 不同損傷在不同算法下仿真圖像重建結果Fig.6 Image reconstruction under different damages and algorithms

為了定量評估重建圖像與真實分布的相似程度，引入相關系數(shù)cc，cc可通過式(13)計算得到

(13)

受網(wǎng)格剖分限制，裂紋損傷由于寬度較小無法在剖分接點上表征出來。因此，僅對損傷D1～D6進行相關系數(shù)計算，各算法對于不同損傷重建結果如圖7所示。對于沖擊損傷D1～D5，Tikh、L1、ML1正則化參數(shù)與CGLS迭代次數(shù)根據(jù)經(jīng)驗選取，分別為5×10-3, 5×10-2，5×10-2與40次。對于分層損傷D6， Tikh與CGLS方法參數(shù)與沖擊損傷相同，而L1與ML1正則化參數(shù)均設置為1×10-2。對于裂紋損傷D7，Tikh、L1、ML1正則化參數(shù)與CGLS迭代次數(shù)分別為5×10-2，3×10-2，3×10-2與15次。根據(jù)圖6、圖7可以看出稀疏正則化方法圖像重建結果普遍優(yōu)于Tikhonov正則化及CGLS方法。對于簡單的單沖擊損傷D1，對角分布的沖擊損傷D2及分層損傷D6，各圖像重建算法均能較為準確地反映出損傷的位置，并且稀疏正則化方法L1與ML1重建圖像的大小接近真實損傷大小。對于十字沖擊損傷D5，Tikhonov正則化方法、CGLS及L1正則化方法僅能大致重建損傷輪廓，而提出的ML1正則化方法能夠準確地重建出損傷的位置、大小與輪廓。

圖7 不同損傷分布在不同算法下重建圖像的相關系數(shù)Fig.7 Correlation coefficient of reconstructed image reconstruction under different damages and algorithms

由于CFRP材料的電導率的各向異性，損傷重建圖像在水平和垂直方向的數(shù)量級不同，這一點在十字損傷表現(xiàn)尤為明顯。對于較為復雜的多沖擊損傷D3與位于同一直線雙沖擊損傷D4，由于既有損傷位于靈敏度較強的邊緣區(qū)域又有損傷位于靈敏度較弱的中心區(qū)域，在Tikhonov正則化、CGLS方法進行圖像重建時，中心區(qū)域的損傷與邊緣偽影量級相當。而對于L1正則化方法，D3中心區(qū)域的損傷在迭代過程中被濾除，D4中心區(qū)域的損傷與邊緣區(qū)域的損傷重建圖像連接在一起，無法正確反應損傷的位置與大小。而所提出的ML1正則化方法通過判斷將要濾除圖像的特征，將有效數(shù)據(jù)保留，能夠正確的表征損傷的位置和大小。對于裂紋損傷D7，受網(wǎng)格剖分的限制，重建圖像中裂紋寬度的寬度較真實裂紋寬度大，重建長度與真實裂紋相當。就D7損傷成像效果來看，ML1正則化方法也略優(yōu)于其他圖像重建方法。

4 試驗驗證

為了驗證仿真結果與所提出方法的實際有效性，采用實驗室設備搭建16電極EIT測試系統(tǒng)進行CFRP損傷檢測與圖像重建。

4.1 試驗設置

EIT測試系統(tǒng)原理及實測圖如8所示，試驗材料與仿真材料尺寸相同。激勵源由電流源KEITHLEY 6221提供，選通與測量由34980A多功能開關測量單元執(zhí)行。首先，待測CFRP材料與激勵源6221由接線端子連接至34980A的電樞矩陣開關34932T。然后，上位機與34980A通過LAN口連接并且計算機通過LABVIEW編寫的上位機程序實現(xiàn)激勵測量通道的選通與數(shù)據(jù)的采集、上傳。采用相鄰激勵相鄰測量的激勵測量模式，單次激勵時可獲得13個觀測數(shù)據(jù)。因此，當完成全部激勵測量時可獲得208個觀測數(shù)據(jù)。圖9左側第一列E1～E4為試驗模型，其中E1～E3為貫穿的沖擊損傷模型，E4為裂紋損傷模型，該模型損傷深度為1 mm，寬1 mm，長40 mm。

圖8 試驗原理圖與實際操作圖Fig.8 Experimental schematic diagram and practical operation diagram

4.2 試驗結果

試驗結果如圖9所示，Tikh、L1與ML1方法的正則化參數(shù)分別設置為5×10-3，3×10-2與3×10-2，CGLS方法的迭代次數(shù)設置為40次。對于兩沖擊損傷樣品E1、E2，CGLS與Tikhonov正則化方法能夠大致確定損傷的位置，但同時存在較多的圖像重建偽影。ML1與L1正則化方法優(yōu)于CGLS與Tikhonov正則化方法，且ML1正則化方法重建圖像面積與真實損傷更為接近。

圖9 損傷樣品在不同圖像重建算法下的圖像重建結果Fig.9 Image reconstruction results of damaged samples under different image reconstruction algorithms

5 結 論

針對CFRP嵌入式電極EIT圖像重建方法靈敏度矩陣分布不均勻導致稀疏方法在圖像重建時可能無法正確反應靈敏度較弱區(qū)域損傷分布的問題，本文提出了一種結合損傷重建圖像損傷區(qū)域8鄰域分布特點的ML1正則化方法。仿真和試驗結果表明，該方法不僅具有稀疏的圖像重建效果，而且能夠有效地改善靈敏度較弱區(qū)域的損傷情況。但是由于在迭代過程中僅通過8鄰域梯度來判斷數(shù)據(jù)有效性導致圖像重建結果偏向于方形。在后續(xù)的研究中，周圍更多的像素點將會被考慮來改善這一問題。此外，本研究方法也可用于系數(shù)重建方法在其他靈敏度不均勻的重建圖像質量改善中。