☉江蘇省蘇州市相城區(qū)漕湖學(xué)校 孫 影

數(shù)軸拉開了初中數(shù)形結(jié)合思想的帷幕，不等式、函數(shù)、幾何圖形等多個(gè)教學(xué)活動(dòng)中都依賴數(shù)形結(jié)合，尤其在函數(shù)中的應(yīng)用尤為突出，數(shù)形結(jié)合的函數(shù)題可謂中考?jí)狠S題的寵兒，因其更靈活，更能考查學(xué)生的綜合能力，而被出題者所寵愛.筆者結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要作用，引導(dǎo)學(xué)生樹立攻克函數(shù)這一難關(guān)的信心.

1 運(yùn)用情境，讓數(shù)形結(jié)合思想“發(fā)芽”

用語言強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性，不如創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的情境，從學(xué)生看得到的問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過圖形直觀地表達(dá)抽象的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合在優(yōu)化解題中所起到的重要作用，從而愿意嘗試用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，感悟數(shù)形結(jié)合思想的重要作用，讓數(shù)形結(jié)合思想慢慢發(fā)芽.

問題1：某路公交車往返于A地和B地，兩地采用相同的發(fā)車時(shí)刻表.假如公交車勻速直線行駛，其從A地行駛到B地與從B地行駛到A地的時(shí)間均為60分鐘，每班間隔10分鐘，請(qǐng)問：從A地出發(fā)的公交車可以遇到幾輛從B地發(fā)過來的公交車（包括出發(fā)地遇到的公交車）？

問題給出后，學(xué)生給出了幾種答案.

生1：可以遇到4輛.

生2：可以遇到5輛.

生3：可以遇到6輛.

生4：可以遇到7輛.

師：很好，以前有很多數(shù)學(xué)家也同你們一樣爭(zhēng)辯過類似的問題，題目看似簡(jiǎn)單，卻暗藏著巨大的秘密，解題時(shí)需要采用合理的方法.

這個(gè)題目數(shù)學(xué)家都不會(huì)？大家表示疑惑.

生5：那么后來數(shù)學(xué)家是如何解決的呢？

師：后來，其中一位數(shù)學(xué)家畫了一張簡(jiǎn)單的圖，大家看到圖后都恍然大悟.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們也畫一畫，感受一下，看看問題是不是變得簡(jiǎn)單了.

設(shè)計(jì)意圖：教師引入了貼近學(xué)生生活的實(shí)例，使學(xué)生對(duì)解題產(chǎn)生了濃厚的興趣.在學(xué)生意見不統(tǒng)一時(shí)，教師沒有直接回答或者讓學(xué)生解釋誰才是正確的，而是告訴學(xué)生曾經(jīng)數(shù)學(xué)家都被難倒了，學(xué)生自然想知道數(shù)學(xué)家最終是如何攻克難關(guān)的，通過引發(fā)學(xué)生的好奇而引出數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)學(xué)生知道數(shù)學(xué)家借助了圖形后，自然也想用圖形試一試，激發(fā)了探究的熱情.很多問題乍看起來好像很簡(jiǎn)單，但若不能采用正確的方法，求解過程就顯得很復(fù)雜，如果可以將數(shù)通過圖形來轉(zhuǎn)化，那么問題也就迎刃而解了.此題將公交車的運(yùn)行軌跡及間隔用“形”構(gòu)造，同時(shí)借助運(yùn)行的時(shí)長(zhǎng)及間隔用“數(shù)”解答，讓學(xué)生感受到“數(shù)”與“形”相互依存，密不可分，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

2 運(yùn)用數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓數(shù)形結(jié)合思想“生根”

在教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)一些有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，用活動(dòng)滲透數(shù)形結(jié)合思想，用活動(dòng)建立數(shù)形結(jié)合意識(shí).同時(shí)，豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)更能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，因此更有利于數(shù)形結(jié)合思想生根.

案例1：一次函數(shù)圖象的性質(zhì).

師：請(qǐng)同學(xué)們畫出一次函數(shù)y=3x、y=3x+1、y=3x-1的圖象.（在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制）

師：根據(jù)所繪制的圖形，請(qǐng)大家交流一下，說說你們眼中的一次函數(shù)的圖象有哪些性質(zhì).

生1：通過圖象可知，圖象為直線，同時(shí)若k的值相同、b的值不同，可以得到平行的直線.

師：說得很好，我們觀察了k的值相同但b的值不同時(shí)的圖象，接下來你們想探究什么樣的一次函數(shù)呢？

生（齊）：k的值不同但b的值相同的圖象.

師：那么大家可以自己列舉出幾個(gè)k的值不同但b的值相同的一次函數(shù)，分別繪制出圖象，然后根據(jù)圖象說出你看到的圖象的特征.

問題剛一說出，學(xué)生已經(jīng)迫不及待地想知道與上面有何不同.

生2：若k的值不同、b的值相同，幾條線相交于一點(diǎn)；同時(shí)k的值越大，該直線越接近于y軸.

師：總結(jié)得很好，剛剛大家是自己舉例畫的圖象，看看你們的圖象是否也和生2說的一樣.

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)了k的值與b的值的不同，讓學(xué)生可以直觀地觀察圖象，從而總結(jié)出一次函數(shù)的圖象的性質(zhì).學(xué)生共同參與、共同體驗(yàn)，激發(fā)了探究熱情.接下來，學(xué)生可以從象限的角度，分析k的值和b的值為正負(fù)數(shù)時(shí)圖象的變化，進(jìn)一步總結(jié)歸納一次函數(shù)的圖象的性質(zhì).這樣采用師生互動(dòng)的教學(xué)模式，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)觀察并總結(jié)圖象的規(guī)律，激發(fā)了學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象探究的熱情，同時(shí)使數(shù)形結(jié)合思想生根.

3 應(yīng)用知識(shí)間的聯(lián)系，讓數(shù)形結(jié)合思想“開花”

教學(xué)中，不能將知識(shí)點(diǎn)孤立出來，而應(yīng)重視各知識(shí)間的聯(lián)系，例如，我們解二次函數(shù)問題時(shí)，可能會(huì)用到一次函數(shù)的性質(zhì)，我們?cè)诮夂瘮?shù)時(shí)會(huì)用到方程的知識(shí)，因此，學(xué)習(xí)中必須重視各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，只有這樣，才能利用已有經(jīng)驗(yàn)或已有知識(shí)解決問題.

例如，函數(shù)y1=x+2與y2=的圖象如圖1所示，其交點(diǎn)為點(diǎn)A（1，3）、B（-3，-1）.

圖1

（1）若使y1＞y2，x取何值？

（2）若使y1y2＞0，x取何值？

分析：如果直接根據(jù)不等式求解，可將y1＞y2轉(zhuǎn)化為，y1y2＞0轉(zhuǎn)化為，思路簡(jiǎn)單，然而根據(jù)初中階段已學(xué)知識(shí)，還不能直接求出x的取值范圍，因此需要借助函數(shù)的圖象.

（1）根據(jù)圖形，若y1＞y2，則y1的圖象在y2的圖象的上方，則可得x＞1或-3＜x＜0.

（2）若y1y2＞0，則y1與y2同號(hào)，根據(jù)圖形可得x＞0或x＜-2.

在此題的求解過程中，完美地詮釋了用“形”可以更直接地表達(dá)“數(shù)”，通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合，輕松地解決了問題.

又如，證明方程（x-m）（x+n）=1必有兩個(gè)實(shí)根，且x1＞m，x2＜m.

若根據(jù)常規(guī)思路將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過根的判別式的大小判斷實(shí)根的個(gè)數(shù)，再求解與m比較大小，這樣做顯然十分困難，如果結(jié)合圖形，也許會(huì)收獲意外驚喜.

解析：設(shè)y=（x-m）（x+n）-1.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項(xiàng)系數(shù)大于0，因此開口向上.當(dāng)x=m時(shí)，y=-1，則點(diǎn)（m，-1）在x軸的下方.根據(jù)分析模擬函數(shù)的圖象（如圖2），設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)（m，-1）兩側(cè)，因此，x2＜m＜x1，且x1、x2為方程（x-m）（x+n）=1的解.

圖2

本題巧妙地將一元二次函數(shù)與一元二次方程相關(guān)聯(lián)，利用一元二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，構(gòu)造了圖2.圖象構(gòu)造后，借助圖象分析證明要素，達(dá)到以形助數(shù)的目的，將形的直觀與數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)相融合，讓數(shù)形結(jié)合思想開出絢麗的花.

4 通過解決實(shí)際問題，讓數(shù)形結(jié)合思想“結(jié)果”

通過數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生通過形分析問題，通過數(shù)解決問題的能力，從而感受數(shù)形結(jié)合之奇，讓數(shù)形結(jié)合思想結(jié)出碩果.

例如，花園中有個(gè)圓形的噴水池，噴水池中間有個(gè)噴水柱正在噴水，水流從柱子頂端朝各個(gè)方向噴出，形成了一條條形狀相同的拋物線，拋物線的圖象如圖3所示，假設(shè)點(diǎn)A為水柱的頂端，點(diǎn)B為最高點(diǎn)，水流在點(diǎn)C落入水池，假設(shè)水流高度y（米）與水平距離x（米）滿足的函數(shù)關(guān)系式為.

圖3

（1）求柱子OA的高度；

（2）求水流噴出的最大高度；

（3）若保證水流不噴到水池外，則圓形噴水池的最小半徑為多少？

解析：在解第（1）問時(shí)，根據(jù)函數(shù)的圖象可以清晰地了解，OA的高度即當(dāng)x=0時(shí)的縱坐標(biāo)，即得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為），OA的高度為1.25米.第（2）問即求函數(shù)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，得，由此可得水流最高可噴2.25米.第（3）問求解水池的半徑，也就是求解一元二次方程-x2+的根，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2.5，0），所以水池的半徑至少應(yīng)為2.5米.

如何將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)，也是難點(diǎn)，通過對(duì)圖象的分析，將幾何圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)問題，成功轉(zhuǎn)化后，求解也變得輕松了.

函數(shù)是初中教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生會(huì)因其抽象和難懂而產(chǎn)生畏難心理，要改變這一現(xiàn)狀，教師就要不斷滲透和強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生體驗(yàn)形與數(shù)結(jié)合在解決問題中的應(yīng)用，從而建立和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.同時(shí)，多借助生活中的問題，讓學(xué)生在解決問題中體會(huì)學(xué)以致用，激發(fā)潛能.