方家瑞， 殷 濤， 賀 亮*

(1. 華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣州 510006； 2. 深圳市云韜量子科技有限公司， 深圳 518000)

光晶格中的冷原子體系一直是凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn)。它為研究量子多體系統(tǒng)提供了一個(gè)具有良好操控性的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，是量子模擬[1]的最佳實(shí)驗(yàn)體系之一。近年來(lái)，超冷量子氣體系統(tǒng)常被用于研究各種準(zhǔn)粒子的物理性質(zhì)[2,3]，極化子即為其中的一個(gè)研究對(duì)象。在固體物理中，極化子的最初定義是能帶電子與光學(xué)格波聲子相互作用形成的準(zhǔn)粒子。在實(shí)際的研究工作中，原子與聲子耦合之后形成的準(zhǔn)粒子也被稱為極化子。人們可以利用非平衡的玻色子-費(fèi)米子混合體系[4]和費(fèi)米子-費(fèi)米子混合體系[5]研究原子類的極化子。在合適的參數(shù)條件下，很多實(shí)驗(yàn)體系[6-8]均可觀測(cè)極化現(xiàn)象，比如原子之間通過(guò)原子-聲子耦合誘導(dǎo)而來(lái)的長(zhǎng)程相互作用。此外，通過(guò)偶極分子晶體[9]，納米粒子[10]和混合原子-離子耦合體系[11]同樣能實(shí)現(xiàn)原子-聲子的耦合，觀測(cè)到極化效應(yīng)。研究極化子體系，有助于人們了解離子晶體和極性半導(dǎo)體的物理性質(zhì)，同時(shí)在新一代量子器件的開發(fā)方面，這些研究工作也具有良好的應(yīng)用前景。

隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，極化子體系的粒子組份并不僅限于一種[12]。然而在相關(guān)的研究工作中[4-8]，極化子的種類一般只有1種，少有關(guān)于多組份極化子體系的討論。本文研究光晶格中的多體極化子在 Mott絕緣體區(qū)域的系統(tǒng)性質(zhì)，包括單組份和雙組份的極化子體系。首先通過(guò)嚴(yán)格求解得到了二維光晶格中的單組份極化子在深Mott絕緣體區(qū)域下的量子相，包括極化子的填充數(shù)為1/2和1/4的2種情況。進(jìn)一步地，利用Hartree-Fock平均場(chǎng)近似計(jì)算得到深Mott絕緣體區(qū)域下的雙組份極化子在填充數(shù)分別為1/2和1/4時(shí)體系的量子相。

1 模型與方法

考慮有2種組份的玻色子分布在由第三種玻色子形成的玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的背景下，對(duì)應(yīng)的粒子質(zhì)量分別為m1、m2和mB，2種玻色子被激光束縛在二維光晶格中。

晶格中的玻色子本身具備動(dòng)能，同時(shí)存在相互作用，這一部分的系統(tǒng)性質(zhì)可以用2組份的玻色-哈伯德模型來(lái)描述，對(duì)應(yīng)的哈密頓量HI為：

(1)

h.c.，

(2)

(3)

(4)

在深Mott體區(qū)域，哈密頓量式(3)中極化子的躍遷能一項(xiàng)可以忽略不計(jì)。對(duì)于極化子在空間分布的所有結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的能量都可以通過(guò)式(3)嚴(yán)格求解。因此，可以通過(guò)數(shù)值求解所有分布狀態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)能量，其中最小的能量對(duì)應(yīng)的情況就是系統(tǒng)基態(tài)下的粒子分布。在粒子填充數(shù)較小的情況下，利用上述方法可以簡(jiǎn)便有效地得到系統(tǒng)的量子相。當(dāng)粒子填充數(shù)變大時(shí)，體系對(duì)應(yīng)的希爾伯特空間維度隨填充數(shù)指數(shù)增長(zhǎng)，遍歷所有構(gòu)型求解體系基態(tài)的方法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，可采用Hartree-Fock平均場(chǎng)近似式[17]

niσ1njσ2≈〈niσ1〉njσ2+niσ1〈njσ2〉-〈niσ1〉〈njσ2〉

(5)

處理極化子之間的長(zhǎng)程相互作用項(xiàng)。在研究單組份極化子體系時(shí)，本文利用哈密頓量式(3)遍歷所有構(gòu)型直接求解體系基態(tài)；對(duì)于含有雙組份極化子的體系，則利用Hartree-Fock平均場(chǎng)近似簡(jiǎn)化模型之后，再求解體系的量子相。

2 結(jié)果與討論

2.1 平均場(chǎng)近似下的有效哈密頓量

利用式(5)將不同格點(diǎn)極化子相互作用按距離從最近鄰、次近鄰、次次近鄰等依次展開：

(6)

其中，常數(shù)項(xiàng)C的定義為:

(7)

(8)

(9)

2.2 非平庸參數(shù)區(qū)域的討論

即總粒子數(shù)與總格點(diǎn)數(shù)的比值，其中符號(hào)〈ni〉表示對(duì)應(yīng)算符的期望值，L是系統(tǒng)線性尺寸，本文取L=12，L2=144對(duì)應(yīng)二維情況。不同組份的極化子數(shù)量保持一致，即ρb=ρd。在Mott絕緣體區(qū)域，系統(tǒng)更容易形成穩(wěn)定的周期性結(jié)構(gòu)，因此本文選擇研究這一區(qū)域體系的量子相，包括只含有b組分和同時(shí)含有b、d這2種組份的極化子體系。

對(duì)于僅有b組份一種極化子的情況，能量

在系統(tǒng)的基態(tài)取最小值。體系基態(tài)可以通過(guò)遍歷所有系統(tǒng)構(gòu)型得到。對(duì)于含有b、d這2種極化子的系統(tǒng)，可以在滿足E1最小的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步求解使能量

取最小值的d組份極化子的分布結(jié)構(gòu)。

2.3 極化子的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

對(duì)于單、雙組份的極化子體系，不同組份的極化子在晶格中的分布如圖1和圖2所示。

對(duì)于存在偶極排斥相互作用的單組份極化子體系，對(duì)應(yīng)2種不同的填充數(shù)，系統(tǒng)都可以在整個(gè)空間上形成穩(wěn)定的密度波結(jié)構(gòu)。當(dāng)填充數(shù)變小時(shí)，極化子之間的平均距離變大。因?yàn)榕紭O排斥作用使不同極化子趨于互相遠(yuǎn)離，但有限的系統(tǒng)尺寸使粒子之間不能無(wú)限遠(yuǎn)離，最終極化子形成圖1所示的結(jié)構(gòu)。

圖1 不同填充數(shù)時(shí)b組份粒子隨空間坐標(biāo)的分布Figure 1 The particle distribution of b species in real space corresponding to different filling factors注：系統(tǒng)處于Mott絕緣體區(qū)域，系統(tǒng)線性尺寸L=12。

圖2 不同填充數(shù)2組份極化子體系的量子相Figure 2 The quantum phases of the system with two-component polaron for different filling factors注：系統(tǒng)處于Mott絕緣體區(qū)域，系統(tǒng)線性尺寸L=12。

3 結(jié)論

研究了二維光晶格中的單組份和雙組份極化子在Mott絕緣體區(qū)域的量子相。在BEC背景下，光晶格中的玻色子與BEC聲子庫(kù)存在耦合，形成準(zhǔn)粒子(極化子)。極化子-極化子之間的相互作用可以通過(guò)Lang-Firsov變換得到，體系的有效哈密頓量形式為拓展的玻色-哈伯德模型。在考慮其中一種極化子本身存在偶極排斥相互作用的情況下，分別通過(guò)嚴(yán)格求解體系的有效哈密頓量和平均場(chǎng)近似的方法得到了單組份和雙組份極化子在填充數(shù)分別為1/2和1/4時(shí)體系的量子相。結(jié)果表明：當(dāng)系統(tǒng)處于Mott絕緣體相時(shí)，不同組份和填充數(shù)的極化子體系都能夠在晶格中形成密度波。極化子之間的平均距離隨填充數(shù)減少而增加；密度波的結(jié)構(gòu)取決于極化子的填充數(shù)、組份以及玻色子與BEC聲子之間的散射長(zhǎng)度。

在后續(xù)的工作中，可以進(jìn)一步研究體系隨躍遷強(qiáng)度增大后從Mott絕緣體相到超流相的相變邊界以及有限溫情況下的系統(tǒng)性質(zhì)。