潘超 田原

【摘 要】知識的生長點(diǎn)即知識的發(fā)生點(diǎn)、固著點(diǎn)，是學(xué)科知識邏輯演化的根基和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的基礎(chǔ)。文章以牛獻(xiàn)禮老師的課堂教學(xué)為例，從新舊知識、情境知識、抽象知識、交匯知識、困惑知識、重要知識幾個(gè)方面對小學(xué)數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)進(jìn)行了研究。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);知識生長;生長點(diǎn);課堂教學(xué)

【作者簡介】潘超，教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育與教師教育;田原，高級教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育和教育管理。

美國教育家杜威認(rèn)為，教育即生長，教育的目的就是生長，除此之外別無目的[1]。也就是說，教育要給學(xué)生的成長創(chuàng)造一切條件，順應(yīng)學(xué)生成長的規(guī)律。在數(shù)學(xué)課堂上，實(shí)現(xiàn)知識的生長，使得學(xué)生學(xué)習(xí)得以真正發(fā)生，是促進(jìn)學(xué)生成長的重要方面。那么，實(shí)現(xiàn)知識生長的條件是什么？筆者認(rèn)為，實(shí)現(xiàn)知識生長的首要條件是學(xué)生知識的未成熟或未完滿狀態(tài)，其符合學(xué)科、教育學(xué)、心理學(xué)、生理學(xué)等方面的原理和機(jī)制，能夠滿足學(xué)生成長的需要，同時(shí)具備作為知識客體需存在的根基和發(fā)展空間[2]。事實(shí)上，每一堂課的知識內(nèi)容都存在知識生長的條件，但是課堂上有知識生長的條件并不意味著能很好地實(shí)現(xiàn)知識生長，還需要教師有很好的駕馭能力，能敏銳地捕捉和把握知識生長點(diǎn)。知識的生長點(diǎn)即知識的發(fā)生點(diǎn)、固著點(diǎn)，是學(xué)科知識邏輯演化的根基和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的基礎(chǔ)。它包括新舊知識的銜接點(diǎn)、情境知識的問題點(diǎn)、抽象知識的關(guān)鍵點(diǎn)、交匯知識的融通點(diǎn)、困惑知識的癥結(jié)點(diǎn)、重要知識的衍生點(diǎn)等（如圖1）。本文以牛獻(xiàn)禮老師（以下簡稱牛老師）的課堂教學(xué)為例，對小學(xué)數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)進(jìn)行探究。

一、新舊知識的銜接點(diǎn)

一般來說，教學(xué)內(nèi)容中的諸多知識點(diǎn)構(gòu)成了知識模塊，又由知識模塊構(gòu)成相對獨(dú)立的知識體系，從而形成相互聯(lián)系的知識網(wǎng)。知識網(wǎng)的建立有許多銜接點(diǎn)，這些銜接點(diǎn)往往具有較強(qiáng)的邏輯關(guān)聯(lián)性，其中新舊知識的銜接點(diǎn)是重要的知識生長點(diǎn)。從知識生長角度來看，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上就是基于知識的生長點(diǎn)構(gòu)建各知識節(jié)點(diǎn)的過程，是新舊知識銜接、更替的過程。因此，學(xué)生對于數(shù)學(xué)新知識的學(xué)習(xí)總是基于原有的舊知識和學(xué)生本身的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。要實(shí)現(xiàn)知識網(wǎng)的構(gòu)建，達(dá)成知識的生長，需要教師準(zhǔn)確抓取新舊知識的銜接點(diǎn)。而要抓取新舊知識的銜接點(diǎn)最重要的是疏通知識邏輯，在知識邏輯中找到知識點(diǎn)的銜接紐帶。比如，在牛老師執(zhí)教的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課中，牛老師抓取新舊知識的銜接點(diǎn)讓學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)了知識的生長。

案例1 三位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算[3]

師：今天我們一起來學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)，在學(xué)習(xí)這個(gè)知識點(diǎn)之前，請同學(xué)們回憶一下，我們已經(jīng)學(xué)過哪些筆算乘法？

生：三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

師：請大家分別計(jì)算114×2和14×23。

（學(xué)生進(jìn)行計(jì)算、交流、反饋，如圖2。）

師：14×23是怎么運(yùn)算的？

生：因數(shù)23個(gè)位上的數(shù)3和十位上的數(shù)2依次乘因數(shù)14，得出第一層積為42，第二層積為28，兩層積加起來是322（如圖3）。

師：三位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法是根據(jù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)法則中的哪一句？

生：個(gè)位數(shù)依次去乘另一因數(shù)每一位上的數(shù)。

數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)[4]。三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)就是學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（已有舊知識），而三位數(shù)乘兩位數(shù)則是學(xué)生要發(fā)展的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（新知識）。牛老師從已有數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中找到舊知識與新知識之間的銜接點(diǎn)（兩位數(shù)乘兩位數(shù)法則），將新舊知識的聯(lián)系在原理上進(jìn)行剖析，搭建聯(lián)系新舊知識的橋梁，從而實(shí)現(xiàn)新知識在原有知識結(jié)構(gòu)上的生長。這既是弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)理論的有效應(yīng)用，也是奧蘇貝爾的先行組織者理論的具體體現(xiàn)。

二、情境知識的問題點(diǎn)

知識的生長需要情境這個(gè)“土壤”，這是知識的情境化體現(xiàn)。一般來說，情境知識指蘊(yùn)含著新知內(nèi)容的情境。情境知識有明確的教學(xué)目標(biāo)指向，富含知識的營養(yǎng)，其可以在合理的情境中得到發(fā)掘、提煉和發(fā)展。這個(gè)過程往往伴隨著數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的過程，也是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程。要實(shí)現(xiàn)情境知識的生長，需要教師有敏銳的數(shù)學(xué)眼光，善于把握問題的焦點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生在思考中實(shí)現(xiàn)知識的建構(gòu)。

案例2 驗(yàn)證長方形的周長與面積的關(guān)系

如圖4所示為北師大版數(shù)學(xué)教材三年級下冊“面積”的一道練習(xí)題。該題有一定的現(xiàn)實(shí)價(jià)值和意義，主要反映長方形周長與面積的關(guān)系：當(dāng)長、寬越接近時(shí)，面積越大;當(dāng)長、寬相差越大時(shí)，面積越小;當(dāng)長、寬相等（正方形）時(shí)，面積最大。教材上沒有直接告訴學(xué)生這個(gè)規(guī)律，而是通過探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、辨析、比較、猜測、驗(yàn)證等過程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律、結(jié)論，實(shí)現(xiàn)知識的生長。牛老師在教學(xué)中設(shè)計(jì)了一系列問題以實(shí)現(xiàn)學(xué)生的知識生長。以下是其中的教學(xué)片段。

師：（展示）這里有兩根鐵絲，長度分別為20厘米、24厘米，用它們分別圍成不同的長方形。猜猜看，哪一根鐵絲圍成的長方形面積更大？

生：24厘米長的鐵絲圍成的長方形面積更大。

（其他學(xué)生也同意。）

師：為什么？

生：因?yàn)?4厘米比20厘米長。

師：也就是說周長長的面積就大？

生：是的。

師：（質(zhì)疑）這是真的嗎？

生：不一定。

（面對質(zhì)疑，許多學(xué)生的想法發(fā)生了動搖，并陷入沉思。）

師：想一想，可以用什么辦法說明“周長長面積就大，周長短面積就小”的說法是否準(zhǔn)確？

生：可以舉例子來算一算。

師：好辦法！數(shù)學(xué)上常用舉例子、找反例的方法驗(yàn)證結(jié)論。如果能找到一個(gè)周長短、面積反而大的例子，說明上述說法是錯(cuò)誤的。大家試著找一下。

（學(xué)生進(jìn)行思考、嘗試、交流。）

生：如圖5，長方形的周長為（4+6）×2=20厘米，面積為4×6=24平方厘米;如圖6，長方形的周長為（1+11）×2=24厘米，面積為1×11=11平方厘米。周長短的長方形面積反而更大。

師：真棒！由此可知，周長長的長方形面積不一定大。

教師在情境中引出問題，發(fā)動學(xué)生思考，引發(fā)猜想，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)長方形周長計(jì)算的基礎(chǔ)上，體會舉反例是驗(yàn)證結(jié)論的一種重要方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定知識和方法的基礎(chǔ)。學(xué)生在操作、思考、猜想、計(jì)算、表達(dá)的過程中，突破了情境本身的背景，逐步深入到問題本質(zhì)，獲得重要的知識。

三、抽象知識的關(guān)鍵點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)中大多數(shù)知識都有生動、具體的生活背景，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中能有意聯(lián)系生活實(shí)際，就能讓學(xué)生更輕松地學(xué)習(xí)，更能加深學(xué)生對新知識的理解。然而，也有部分知識具有一定的抽象性，相對而言與生活的聯(lián)系性也比較弱，這樣的知識教學(xué)起來更顯困難。事實(shí)上，盡管是小學(xué)階段，數(shù)學(xué)教學(xué)也不能一味追求生活化、具體化。教師在教學(xué)過程中對某些數(shù)學(xué)知識進(jìn)行適度抽象有其必要性和必然性，這有利于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解。而抽象知識的教學(xué)要經(jīng)歷由感性材料加工成概念、判斷、推理等思維形式的抽象過程，一般包括分離、提純和簡略三個(gè)基本過程[5]。

案例3 “乘法分配律”的抽象過程

學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法結(jié)合律、乘法分配律之后，經(jīng)常會因?yàn)橹R之間相互干擾的原因，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。乘法分配律本身是比較抽象的知識，在教學(xué)中教師應(yīng)注意從抽象知識中挖掘出學(xué)生能夠理解的關(guān)鍵點(diǎn)，并“對癥下藥”才能使學(xué)生把握知識的要點(diǎn)。限于文章篇幅，本文僅介紹牛老師執(zhí)教“乘法分配律”的主要課堂結(jié)構(gòu)（如圖7）。

首先，教師通過“求大長方形的面積”和“購買校服”的實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生體驗(yàn)乘法分配律產(chǎn)生的背景，認(rèn)識新學(xué)知識的合理性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納概括，從情境中分離式子，抓住需要解決的問題的核心，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，即乘法分配律的分離過程。其次，教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、猜想、驗(yàn)算、討論等方式，讓學(xué)生探究式子中存在的規(guī)律，從乘法意義角度理解“兩式為什么相等”，初步得到結(jié)論。然后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生舉例子進(jìn)行拓展應(yīng)用，一方面強(qiáng)化探究的規(guī)律，另一方面說明規(guī)律具有一般性，為后續(xù)符號化的過程奠定基礎(chǔ)，即乘法分配律的提純過程。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)乘法分配律，并讓學(xué)生用符號進(jìn)行表達(dá)，使乘法分配律實(shí)現(xiàn)精致、固化，使學(xué)生深刻理解“分”“配”“律”的本質(zhì)，這是本節(jié)課的升華，即乘法分配律的簡略過程。整節(jié)課結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、層層鋪墊、循序漸進(jìn)、說明充分，課堂上抽象知識的生長過程有其自然性，但需要教師挖掘抽象知識中的關(guān)鍵點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)中要非常重視抽象知識的產(chǎn)生背景、邏輯驗(yàn)證、意義理解、拓展應(yīng)用和模型建立。

四、交匯知識的融通點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)各模塊之間的知識點(diǎn)存在交匯現(xiàn)象，通過數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯使得知識點(diǎn)形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這就是數(shù)學(xué)知識的條理化、系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化。小學(xué)數(shù)學(xué)的一些綜合性問題本質(zhì)上就是各知識點(diǎn)之間的交匯問題，或數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)合問題。在對待交匯性較強(qiáng)的知識內(nèi)容時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，并讓學(xué)生進(jìn)行小組討論、合作探究等，尤其要厘清交匯知識之間的邏輯結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)交匯知識的融通點(diǎn)，全方位調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教師可以通過對概念、命題的梳理，把凌亂、細(xì)碎、分散的知識點(diǎn)結(jié)成知識鏈，形成知識網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)局部及總體知識的結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生完善原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到深化理解所學(xué)知識。

案例4 各類圖形面積公式之間的融通

長方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的形狀不同，面積計(jì)算公式也各異。它們之間有沒有邏輯交匯呢？如果它們是交匯知識，那么它們之間的融通點(diǎn)是什么呢？

牛老師以梯形面積公式S=（a+b）h÷2為融通點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生對公式進(jìn)行分析。若b=0，則S=ah÷2，為三角形面積公式;若a=b，則S=ah，為平行四邊形面積公式;若平行四邊形有一個(gè)角為直角，則S=ab，為長方形面積公式;若三角形的底為2πr、高為r，則S=πr2，為圓的面積公式。

牛老師將各種圖形和面積公式進(jìn)行比較聯(lián)系，找到它們之間的融通點(diǎn)，通過數(shù)學(xué)變式的方法將之融通起來，打通面積公式之間聯(lián)系的“節(jié)點(diǎn)”，讓學(xué)生認(rèn)識到各個(gè)公式之間不是孤立的，而是彼此之間存在內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)。

五、困惑知識的癥結(jié)點(diǎn)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中總會存在各種困惑知識，面向困惑知識，不同的學(xué)生會有不同的心理和對策。教師應(yīng)找準(zhǔn)不同學(xué)生困惑知識的癥結(jié)點(diǎn)，因材施教，使這些困惑知識成為學(xué)生知識生長的契機(jī)，甚至成為學(xué)生發(fā)展的階梯。教師可以通過正反例結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、操作實(shí)驗(yàn)、辨析討論等來分化困惑知識。本文以牛老師執(zhí)教的“認(rèn)識角”為例，分析如何利用正反例結(jié)合來分化困惑知識。

案例5 “認(rèn)識角”的教學(xué)

“認(rèn)識角”是北師大版數(shù)學(xué)教材二年級下冊“認(rèn)識圖形”的第一節(jié)內(nèi)容，其難點(diǎn)之一是判斷一個(gè)平面圖形是不是角，這也是學(xué)生的困惑知識，其癥結(jié)點(diǎn)在于判斷平面圖形是角的標(biāo)準(zhǔn)是否明確。在學(xué)生初步感知角的基礎(chǔ)上，教師可以向?qū)W生介紹角的形狀、角的頂點(diǎn)、角的邊等，讓學(xué)生認(rèn)識到角的組成部分和特點(diǎn)，確定判斷角的標(biāo)準(zhǔn)，即頂點(diǎn)處兩條邊連在一起，并且邊是直的。由于學(xué)生容易因多元化的交流信息而產(chǎn)生思維困惑，抓不住知識的核心，導(dǎo)致其體驗(yàn)停留在表層，思考的角度、廣度、深度等得不到良好訓(xùn)練。因此，牛老師在分化這個(gè)難點(diǎn)時(shí)，采用舉正反例的策略，讓學(xué)生做練習(xí)：判斷圖8所示圖形哪些是角，哪些不是。

學(xué)生經(jīng)過思考、質(zhì)疑、交流，了解到圖8中（1）和（4）是角，（2）和（3）不是角，掌握了判斷一個(gè)圖形是不是角的方法。教師先用1個(gè)正例，幫助學(xué)生正面感知判斷一個(gè)圖形是不是角的相關(guān)要點(diǎn)，有利于學(xué)生知識與技能的扎實(shí)訓(xùn)練;再用2個(gè)反例，強(qiáng)化學(xué)生對不是角的圖形的認(rèn)識，鞏固概念的外延;最后用1個(gè)正例，采用“較大的角”，并且圖形的位置較之第一個(gè)正例有所變化，采用“非一般”“非正規(guī)”的平面圖形，開展概念變式教學(xué)，既為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)鈍角建立感性認(rèn)識，也有利于學(xué)生強(qiáng)化角的本質(zhì)特點(diǎn)。牛老師緊緊抓住判斷標(biāo)準(zhǔn)這一癥結(jié)點(diǎn)，采用正反例結(jié)合來分化困惑知識，使學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)了知識建構(gòu)。

六、重要知識的衍生點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)源于數(shù)學(xué)知識體系中占有重要地位的知識點(diǎn)。在課堂教學(xué)中，教師要將重要知識作為學(xué)生知識生長的主干，可以通過創(chuàng)造情境，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動來激發(fā)學(xué)生的思維和問題意識，讓學(xué)生從重要知識的主干中衍生出新知識的分支，以探求知識的擴(kuò)展。在教學(xué)中，一般將這種衍生知識分支稱為“教學(xué)附加值”，它雖然不是一節(jié)課的主體知識或重要知識，但也是思維訓(xùn)練和知識生長的范疇。重要知識的主干與衍生新知識的連接點(diǎn)即為衍生點(diǎn)。那么，如何利用重要知識的衍生點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)知識的生長呢？通常情況下，教師可以讓學(xué)生在認(rèn)知沖突、實(shí)踐操作、拓展應(yīng)用、意外情境、趣味活動、奇思妙想中衍生知識。下面，以牛老師執(zhí)教的“雞兔同籠”為例，探討如何引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識衍生。

案例6 “雞兔同籠”——在奇思妙想中實(shí)現(xiàn)知識衍生[6]

“雞兔同籠”問題是我國古代的數(shù)學(xué)名題之一。題目為：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？教師在教學(xué)了列表法和假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的基礎(chǔ)上衍生了“抬腳法”。

師：古人解決“雞兔同籠”問題用的是“抬腳法”，即“金雞獨(dú)立，兔子站起”的方法（如圖9）。

師：抬腳后雞兔落地的腳數(shù)為94÷2=47（只）。1只雞對應(yīng)一只腳，而1只兔對應(yīng)2只腳，每多出1只腳就有1只兔。因此，兔只數(shù)：47-35=12（只）;雞只數(shù)：35-12=23（只）。這種解法很奇妙，美國數(shù)學(xué)教育家波利亞很欣賞這種解法，他通過著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》把它介紹到了美國。其實(shí)，這里的雞不僅僅是雞，兔也不僅僅是兔，“雞兔同籠”是這類問題的統(tǒng)稱。生活中許多類似“雞兔同籠”的問題，都可以用這樣的方法去解決。

上述衍生的“抬腳法”不是本節(jié)課的主干知識，但它的思維方式具有獨(dú)特性，能夠啟發(fā)學(xué)生在解決問題的過程中，不局限于常規(guī)的思維模式。這種“奇思妙想”能觸動學(xué)生活躍的思維，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間，使學(xué)生對所學(xué)知識有更深的領(lǐng)悟。

參考文獻(xiàn)：

[1]約翰·杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[2]孟筱.回歸教育的初心與起點(diǎn)：論杜威“教育即生長”理論內(nèi)涵的當(dāng)代啟示[J].寧夏社會科學(xué)，2018（2）：130-135.

[3]牛獻(xiàn)禮.我在小學(xué)教數(shù)學(xué)：素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

[4]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]牛獻(xiàn)禮.幫助學(xué)生學(xué)會思維：“乘法分配律”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)教學(xué)研究（教學(xué)版），2013（7）：36-38.

[6]牛獻(xiàn)禮.溝通聯(lián)系 突出思想：“雞兔同籠”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)教學(xué)研究（教學(xué)版），2018（3）：45-48.

（責(zé)任編輯：羅小熒）