韓濤，姚 維

（浙江大學電氣工程學院，杭州 310027）

0 引言

控制系統(tǒng)是現(xiàn)代工業(yè)的核心，廣泛存在于鋼鐵冶煉、火力發(fā)電等場景，系統(tǒng)的穩(wěn)定運行至關重要［1-3］。然而，受工作環(huán)境、自身材料或結構老化、參數(shù)設定不合理等因素影響，控制系統(tǒng)往往會出現(xiàn)緩慢的性能退化直至失效，進而引發(fā)生產(chǎn)事故。在眾多性能退化表現(xiàn)中，振蕩最為常見，其會對控制回路性能產(chǎn)生不利影響，并可能迫使系統(tǒng)長期在次優(yōu)條件下運行［4-5］，因此，控制系統(tǒng)振蕩的智能檢測技術的研究具有十分重要的意義。

現(xiàn)有的振蕩智能檢測方法主要分為信號分析法和統(tǒng)計學習法。信號分析法主要包括誤差積分法［6］、小波分析法［7］、離散傅里葉分解［8］、經(jīng)驗模態(tài)分解［9］等，該類方法通常需要對數(shù)據(jù)進行在線處理，且易受噪聲影響，不利于振蕩的實時檢測；統(tǒng)計學習法包括相對變化分析法［10］和慢特征分析法（Slow Feature Analysis，SFA）［11-14］，該類方法可通過離線建模獲取模型特征，有效降低在線應用的復雜度。其中，SFA 雖然能有效地從數(shù)據(jù)中解耦出系統(tǒng)的主要變化趨勢和波動特征，識別系統(tǒng)的振蕩信號，但SFA 為線性統(tǒng)計模型，對于非線性系統(tǒng)，模型檢測準確率比較低。

針對上述問題，本文提出了增強慢特征分析方法（Feature-Enhanced SFA，F(xiàn)ESFA）來實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的振蕩檢測，在原有SFA 方法的基礎上，引入增強特征來處理非線性變量，使其更好地捕捉控制系統(tǒng)的時序特性，提高振蕩現(xiàn)象的檢測準確度。同時，仿真實驗結果證實所提出方法能有效地提升振蕩檢測的準確率。

1 慢特征分析

慢特征分析是一種針對于多元時序信號的特征提取方法，其從原始數(shù)據(jù)中提取隨時間緩慢變化的特征來描述時序動態(tài)性。

1.1 慢特征分析的建模與求解

對于N維輸入信號（t）＝［x1（t），…，xN（t）］Τ，SFA旨在尋找一系列線性映射w1，…，wN，使得輸出信號y1（t），…，yN（t）變化盡可能緩慢，其中yj（t）＝x（t）（j＝1，2，…，N）。具體優(yōu)化目標可以寫為［12-13］

式中：i、j為序列數(shù)，t為時間，N為樣本總數(shù)；〈·〉t算子表示對尖括號中變量在各時間點上的取值取平均。

為求解上述優(yōu)化問題，需要對x（t）作去中心化處理，即令x（t）中各信號分別減去各自的均值；將yj（t）＝x（t）帶入式（1），得：

可見，原問題已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚膹V義特征值分解問題，分解得到的特征向量即為所求線性映射w1，…，wN。

1.2 基于慢特征的變化速率指標

對于求得的特征y1（t），…，yN（t），將其按由慢到快順序排列，并將其劃分為較慢特征ys()t＝［y1（t），和較快特征yf(t)＝［yn+1（t），…，yN（t）］Τ，其中n為組份劃分數(shù)目，一般可以選定為樣本總數(shù)N的80%。較慢特征表征了多元信號中的主要變化趨勢，而較快信號則攜帶了原信號中快速波動成分的信息。基于SFA 的振蕩檢測模型建立了2 個變化速率指標ds和df來量化系統(tǒng)的波動程度：

式中：ds表示慢速率指標；df表示快速率指標；var（·）表示求方差運算。由于SFA 對特征的緩變進行約束，因此ds和df取值越大，說明系統(tǒng)內(nèi)存在異常快速波動的可能性越大，從而可認為系統(tǒng)發(fā)生了振蕩。一般情況下，可以根據(jù)正常數(shù)據(jù)的ds和df取值分布設定檢測閾值，在線檢測時，一旦任一變化速度指標超出該閾值，則認為系統(tǒng)中出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象。本文中的閾值設定規(guī)則為

式中：c（ds）和c（df）分別為ds和df統(tǒng)計量的檢測閾值。

2 增強慢特征分析模型設計方法

系統(tǒng)中的測點間同時存在線性與非線性關系，對于線性相關的時間序列變量組｛x1（t），…，xk（t）｝，其一階時間差分｛（t），…，（t）｝同樣線性相關，因此可以找到1 個線性映射，使得這組變量一階差分的線性組合取值盡可能趨近于零；對于非線性相關的變量組，則無法依靠線性映射來擬合變量及其一階差分間的關系。由式（1）可知，SFA 模型的優(yōu)化目標可以轉(zhuǎn)化為尋找線性映射使得系統(tǒng)中變量一階差分的線性組合取值盡可能趨近零。因此，在SFA 提取慢特征時，會傾向于為線性相關的變量分配數(shù)量級較大的權重從而使他們的線性組合呈現(xiàn)緩變特性，而對于非線性變量則會分配數(shù)量級較小的權重，弱化其在慢特征中的表現(xiàn)而實現(xiàn)緩變目標。為解決這一問題，提出基于增強特征的SFA方法來解決非線性問題，首先根據(jù)SFA的模型參數(shù)識別出非線性變量，再引入非線性回歸模型對非線性變量進行擬合，并將擬合結果作為增強特征，從而使得模型能夠自動將非線性關系轉(zhuǎn)化為線性關系，便于SFA處理。

2.1 基于神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性回歸建模

在FESFA模型中，需要訓練非線性回歸模型來獲取非線性變量的擬合結果。多層全連接神經(jīng)網(wǎng)絡［15］結構靈活、精準度高，尤其擅長于處理數(shù)據(jù)中的非線性關系，因此選擇神經(jīng)網(wǎng)絡作為回歸模型。對于1 個回歸任務中所包含的自變量x ＝［x1，…，xN］Τ及待預測值p，神經(jīng)網(wǎng)絡在輸入層接收自變量信息，在每個隱藏層對輸入數(shù)據(jù)進行非線性變換得到隱藏特征，最終在輸出層對隱藏特征進行線性變換得到預測值，通過最小化與p間的差距來優(yōu)化網(wǎng)絡參數(shù)。具體而言，設第l個隱藏層的輸入為fl，則神經(jīng)網(wǎng)絡按照如下形式對其進行非線性變換：

式中：L為總隱藏層數(shù)；Kl-1、bl-1和δ 分別為第（l-1）個隱藏層的權重矩陣、偏置向量和非線性激活函數(shù)。通?？蛇x擇修正線性單元（Rectified Linear Unit，ReLU）作為非線性激活函數(shù)，其表達式為

對于輸出層中的線性變換，只需在式（8）的基礎上去掉非線性激活函數(shù)即可，即：

式中，Ko與bo為輸出層的權重矩陣及偏置向量。最終，整個神經(jīng)網(wǎng)絡的優(yōu)化目標為

由于神經(jīng)網(wǎng)絡結構靈活，在FESFA 模型中，只需調(diào)整相應的輸入輸出來訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，即可獲取相應的非線性回歸模型。

2.2 總體建模與應用流程

考慮到變量間可能存在多組非線性關系，所提出模型中設計了一種迭代求解策略，在每輪迭代中自動識別非線性信號并利用上述的神經(jīng)網(wǎng)絡模型對其進行擬合來獲取增強特征，通過判斷引入的特征對模型性能是否有提升作為模型的迭代終止條件。具體建模流程如下：

輸入N維輸入信號x(t)＝［x1（t），…，xN（t）］Τ，非線性神經(jīng)網(wǎng)絡回歸器r。

步驟1初始化回歸器集合R以及待擬合非線性變量索引集合I為空集，定義變化速率判定閾值為D。

在每輪迭代過程中，本文提出的FESFA模型通過分析SFA模型的權重向量，尋找出非線性度最高（即與其他變量線性相關程度最低）的變量xi（t），采用神經(jīng)網(wǎng)絡回歸模型ri得到xi（t）的擬合結果（t），并添加到原數(shù)據(jù)中。由于擬合結果（t）與xi（t）之間必定存在較強的線性相關關系，因此上述操作本質(zhì)上提升了變量間的線性相關強度，便于SFA求解線性映射關系來實現(xiàn)緩變的優(yōu)化目標。此外，ds統(tǒng)計量能夠表征特征的緩慢程度，若新引入的增強特征有利于提升模型性能，則模型特征變化將更加緩慢，使得ds下降。故通過ds指標下降與否即可判斷是否需要停止迭代。

建立好FESFA模型后，利用式（6）計算統(tǒng)計量的檢測閾值c（ds）和c（df），并將其應用在線振蕩檢測，其步驟如下：

輸入在線樣本

步驟1利用建模階段獲取的R中每個回歸器ri擬合出I中記錄的所有非線性變量的估計值；

步驟2將作為增強特征與原樣本xn組合；

步驟3用建模階段保存的SFA 模型M進行特征提取，并計算變化速度指標ds和df；

步驟4判斷ds和df是否超過相應的檢測閾值，如未超過，則判斷系統(tǒng)中不存在振蕩現(xiàn)象；若二者任一超過閾值，則判定系統(tǒng)中存在異常振蕩。

3 實驗驗證

3.1 實驗設計

在CPU（Intel（R）Core（TM）i7-9750H CPU ＠2.60 GHz）硬件環(huán)境中，采用Python3.7，利用其數(shù)值計算工具庫NumPy（Numerical Python）1.92.2 以及機器學習工具庫scikit-learn0.19.2 進行控制系統(tǒng)仿真與算法實現(xiàn)。

構建若干非線性信號｛u1（t），u2（t），s1（t），s2（t），s3（t）｝，驗證所提出FESFA模型的有效性：

式中：u1（t）和u2（t）為2 個獨立的白噪聲輸入，服從均值為0，標準差為1 的高斯分布；｛s1（t），s2（t），s3（t）｝為輸出信號，5 個信號共同模擬了1 個二輸入三輸出的控制系統(tǒng)。由式（12）可知，信號｛u1（t），u2（t），s1（t），s2（t）｝間具有線性關系，而s3（t）則與其他信號具有非線性關系。按照上式的生成機制，共生成1 500個測量樣本，其中前1 000 個為正常數(shù)據(jù)，圖1 中藍色所示，第1 001 到1 500 個樣本點中，在信號s3（t）上疊加1 個幅值為0.3 的高頻正弦信號來模擬振蕩，圖1中紅色所示。將生成的前500 個樣本用于訓練，后1 000 個樣本用于測試模型性能，各信號變化曲線如圖1所示，可以看出即便是在加入振蕩信號后，信號s3（t）上的異常趨勢也并不明顯，這為振蕩檢測模型帶來挑戰(zhàn)。

圖1 實驗信號變化曲線

3.2 實驗結果分析

設定誤報率（False Alarm Rate，F(xiàn)AR）和檢測準確率（Detection Accuracy，DA）2 個指標來評估所提出FESFA方法的性能，其中：FAR 為測試數(shù)據(jù)中被誤判為振蕩的正常樣本占所有正常樣本的比例，其值越低則模型性能越好；DA 為測試數(shù)據(jù)中被模型正確判定為振蕩的樣本占所有振蕩樣本的比例，其值越高則模型性能越好。選取相對變化分析法和SFA 法作為對比，各模型的振蕩檢測性能指標如表1 所示?？梢姼髂Ｐ偷腇AR 指標并無顯著差異，但所提出FESFA 模型的DA指標顯著高于兩個對比模型，這是由于本實驗案例中引入的振蕩被疊加在信號s3（t）上，而s3（t）恰與輸入信號u1（t）和u2（t）具有顯著的非線性關系，這是兩個對比模型所無法處理。相反，所提出的FESFA模型能夠引入非線性增強特征來處理非線性變量，因此檢測準確率顯著提升。

表1 各模型振蕩檢測性能指標

為進一步驗證所提出模型的可靠性，圖2 所示為FESFA模型在第1 輪迭代中所求解的第1 個慢特征權重系數(shù)絕對值的可視化圖，由圖可知，非線性信號s3（t）的權重明顯低于其他信號，這說明FESFA模型對系統(tǒng)中的非線性信號有了感知能力。圖3 所示為FESFA中非線性回歸模型對所識別出的非線性信號的擬合結果，對于正常數(shù)據(jù)，擬合結果與原始信號非常接近，而對于振蕩信號，擬合結果與原信號具有明顯差異，這說明FESFA中所設計的非線性擬合機制能夠有效捕捉異常振蕩。此外，圖4 為FESFA模型所提取的慢特征信號，由圖可知，在振蕩發(fā)生前信號變化相對較緩，但在振蕩發(fā)生之后出現(xiàn)了頻繁大范圍波動，驗證了所提出方法確實能夠通過緩變程度，即變化速率來識別系統(tǒng)內(nèi)的異常振蕩信號。

圖2 第一輪迭代各信號權重絕對值示意圖

圖3 非線性信號的擬合結果

圖4 提取的慢特征信號（紅色虛線代表振蕩起始時刻）

4 結語

針對非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)振蕩檢測方法準確率較低的問題，提出基于增強特征的SFA 方法，通過對傳統(tǒng)SFA方法的權重系數(shù)進行解析并引入非線性回歸模型，實現(xiàn)非線性信號的自動識別與擬合，賦予SFA 處理非線性特性的能力。在二輸入三輸出的非線性仿真系統(tǒng)上進行振蕩檢測實驗，最終的誤報率和檢測精度分別為4.37%和79.4%，相比于兩種經(jīng)典振蕩檢測方法（相對變化分析和慢特征分析），本方法誤報率平均降低0.625%，檢測精度平均提高36.7%。實驗結果表明，所提出方法在非線性控制系統(tǒng)的振蕩檢測任務中相比于傳統(tǒng)方法準確率得到顯著的提升，且可以通過分析模型運算過程的中間結果來解釋模型的有效性，進一步驗證模型的可靠性。