王 民， 劉保鐘, 秦 鵬, 孫鐵偉

(1. 北京工業(yè)大學 機械工程與應用電子技術學院 先進制造技術北京市重點實驗室， 北京 100124；2. 電火花加工技術北京市重點實驗室， 北京 100191)

目前長徑比大于4的大長徑比銑刀在銑削加工過程中的振動控制方式，主要為在刀桿內(nèi)部空腔安裝動力減振器，這種減振方式結構簡單、不需要外界能量輸入、減振效果良好，因此得到了廣泛應用[1-3]。但傳統(tǒng)內(nèi)置式動力減振器中的剛度和阻尼主要由橡膠和阻尼液提供，工作過程中易發(fā)生橡膠疲勞老化和阻尼液泄露等問題，且由于阻尼和剛度不能獨立精準設計，使用過程中調節(jié)困難，因此動力減振器往往不能達到最優(yōu)減振效果[4-6]。

針對上述問題，國內(nèi)外專家學者嘗試利用非接觸式磁力提供動力減振器剛度。例如Sodano等[7]從電渦流和磁阻尼的產(chǎn)生機理出發(fā)，綜合介紹了多種渦流阻尼制動和減振研究方法，并對其潛在的應用場景進行討論。Ebrahimi等[8]設計了不同結構的渦流被動阻尼器，并利用解析法和有限元分析得到了最佳設計尺寸，大大提高了阻尼系數(shù)。Karnopp[9]針對車輛懸掛系統(tǒng)中的電磁阻尼減振器，通過改變外部線圈電阻設計了電動可變減振阻尼器，這種無芯設計顯著減小了減振單元質量。目前由于永磁材料的磁性限制，基于磁力的減振器主要為電磁式動力減振器或應用于工程建筑的大尺寸動力減振器，例如陳政清等[10]研究了板式電渦流動力減振器，應用于大跨度拱形橋、人行橋的振動控制。方重等[11]設計了一種單擺式電渦流調頻質量阻尼器，并對其阻尼特性進行試驗分析，驗證其地震響應控制效果。

本文針對大長徑比銑刀設計了一種多層堆疊式永磁動力減振器(以下簡稱永磁動力減振器)，同時利用磁剛度和電渦流阻尼提供永磁動力減振器所需剛度和阻尼。整體采用獨特的堆疊式結構可以保證永磁動力減振器在較小體積下提供更大的磁剛度和電渦流阻尼。與傳統(tǒng)動力減振器相比，本文所設計的永磁動力減振器中磁力和電渦流阻尼力均為非接觸式，工作過程中不會產(chǎn)生磨損老化等問題，可以有效提升動力減振器的工作穩(wěn)定性，提高使用壽命。本文分別建立了多層堆疊式永磁動力減振器中磁剛度和電渦流阻尼的理論計算模型，利用MATLAB軟件和有限元電磁仿真軟件Maxwell分別探究了磁剛度和電渦流阻尼與永磁動力減振器各部分結構尺寸之間的關系。最后利用MATLAB軟件分別對安裝永磁動力減振器的銑刀和等尺寸實心銑刀進行數(shù)值仿真分析，對比其頻響函數(shù)幅值的變化情況。研究結果表明，安裝永磁動力減振器后刀桿的頻響函數(shù)幅值最大值下降91.1%，具有良好的減振效果。

1 永磁動力減振刀桿結構

本文所設計的永磁動力減振刀桿結構，如圖1所示。其主要由屏蔽殼、永磁動力減振器、端部永磁體和刀桿組成。永磁動力減振器位于刀桿的圓柱空腔內(nèi)，永磁動力減振器和刀桿之間通過屏蔽殼隔開，屏蔽殼的材料為一種高電阻率、低損耗的高磁導率合金，其具有良好的隔磁性能，可以大大降低刀桿作為導磁體對磁剛度和電渦流阻尼的影響。

圖1 永磁動力減振刀桿剖面

永磁動力減振器結構，如圖2所示。其整體由一定數(shù)量的金屬片、橡膠墊片、芯軸、內(nèi)磁環(huán)和外磁環(huán)疊加排列組成。這種堆疊式排列結構在不改變整體軸向長度的前提下，通過增加磁環(huán)個數(shù)增加磁極面?zhèn)€數(shù)，可以在一定限度內(nèi)提升磁剛度和電渦流阻尼[12-14]。

1. 金屬片； 2. 橡膠墊片； 3. 芯軸； 4. 內(nèi)磁環(huán)； 5. 外磁環(huán)。

永磁動力減振器中永磁材料為稀土永磁材料銣鐵硼，金屬片的材料為電導率較高的黃銅。所有內(nèi)磁環(huán)均通過芯軸連接組成振子，內(nèi)、外磁環(huán)之間留有一定的徑向間隙，保證內(nèi)磁環(huán)始終處于磁懸浮狀態(tài)，在工作過程中內(nèi)磁環(huán)可以在外磁環(huán)內(nèi)做徑向往復運動。一個內(nèi)磁環(huán)和對應的外磁環(huán)組成一組磁環(huán)對，相鄰磁環(huán)對之間由一個金屬片和兩個橡膠墊片隔開。永磁動力減振器中所有磁環(huán)的磁化方向均為軸向，其中同組磁環(huán)對中磁環(huán)的磁極安裝方向相同，相鄰磁環(huán)對間的磁極安裝方向相反，磁環(huán)間的磁剛度大小與磁環(huán)的磁化方向無關[15]。

2 磁力計算

目前針對磁環(huán)間磁力的計算方法多為等效磁荷法和解析模型法，其中解析模型法是利用復變函數(shù)保角變換，將具有徑向偏移的磁環(huán)間磁場轉換為對稱磁場進行求解，這種方法基于較多假設，計算結果誤差較大[16-17]。

本文采用等效磁荷法計算磁環(huán)間磁力，這種計算方法基于更少的假設和前提，計算結果更加準確。但其計算模型包含四重積分，不能直接得到磁力和相關參數(shù)之間的關系，且數(shù)值仿真中計算量巨大，因此采用蒙特卡羅法的統(tǒng)計試驗方法進行磁力的數(shù)值仿真[18-20]。

2.1 永磁動力減振器磁力計算模型

以永磁動力減振器中相鄰磁環(huán)對為例，建立磁化模型，如圖3所示。磁環(huán)間的磁力為所有磁環(huán)端面上等效磁荷間相互作用力的疊加。

圖3 磁環(huán)磁化模型

建立磁環(huán)間磁荷作用力關系模型，如圖4所示。計算磁環(huán)端面1、2上A、B兩點間的磁力。

圖4 磁環(huán)間磁荷作用關系模型

首先求出A、B兩點處的磁荷量

q2=δ·r2·dα·dr2

(1)

q3=δ·r3·dβ·dr3

(2)

A點處的磁荷在B點處的磁場強度為

(3)

則B點電磁荷受到的磁場力為

dF=H1·q3=H1·δ·r3·dβ·dr3

(4)

(5)

式中：δ為磁荷面密度；μ0為真空磁導率；r為內(nèi)外磁環(huán)端面上A、B點端面之間的距離；(r2,α)為內(nèi)磁環(huán)端面上A點的極坐標；(r3,β)為外磁環(huán)端面上B點的極坐標；r0為與向量r方向相同的單位向量。

(6)

則A、B兩點之間的磁力為

(7)

針對軸向磁化的磁環(huán)可知

δ=j′·n=μ0·M·n

(8)

B=μ0(H+M)

(9)

式中：j′為磁極化強度矢量；n為磁環(huán)端面法線方向的單位矢量；M為磁化強度矢量；H為磁場強度矢量；B為磁感應強度矢量。

針對釹鐵硼永磁材料，其退磁曲線如圖5所示。

圖5 永磁材料退磁曲線

圖5中：Br為剩余磁感應強度；Hc為矯頑磁力。由退磁曲線可以知，當H=0時，B=Br，由此可知，Br=μ0M。

針對軸向磁化的磁環(huán)，其磁化方向和磁環(huán)端面法線方向重合，綜合以上分析可知

δ=μ0M=Br

(10)

將式(10)代入式(7)可知

(11)

將式(11)沿著Y方向投影，進而求出A、B兩點磁荷間的徑向作用力。建立A、B兩點磁荷間的矢量關系，如圖6所示。

圖6 磁荷間矢量關系

由圖6可知

r=r3-(r2+e)

(12)

r·j=r3·j-(r2+e)·j

(13)

r·u=r3·u-(r2+e)·u

(14)

式中：j和u分別為Y軸和Z軸方向的單位矢量；r3·j=r3·cosβ；r2·j=r2·cosα；e·j=e；r3·u=r3·sinβ；r2·u=r2·sinα；e·u=0。

根據(jù)幾何關系可知

(15)

式中，e為內(nèi)磁環(huán)相對外磁環(huán)的徑向偏移量(以下簡稱徑向偏移量)。

將式(15)代入式(11)，并對整個磁環(huán)端面進行積分，求出同組磁環(huán)對的同側端面之間的徑向磁力F1

(16)

式中：R1為內(nèi)磁環(huán)內(nèi)徑；R2為內(nèi)磁環(huán)外徑；R3為外磁環(huán)內(nèi)徑；R4為外磁環(huán)外徑。

同理，求出同組磁環(huán)中異側磁環(huán)端面徑向磁力F2為

(17)

式中，L為磁環(huán)長度。

相鄰磁環(huán)對的磁環(huán)端面間的徑向磁力F3為

(18)

式中，x0為磁環(huán)對和磁環(huán)對之間的軸向間隙。

等效磁荷法計算磁環(huán)間磁力時，包含同種磁荷的磁環(huán)端面間磁力為正，包含異種磁荷的磁環(huán)端面間磁力為負，求出n層堆疊式永磁動力減振器中的磁環(huán)間徑向磁力

F′=2n(F1-F2)+2(n-1)F3

(19)

2.2 磁剛度和尺寸參數(shù)關系

從磁力計算模型可以看出，動力減振器中磁環(huán)間徑向磁力和內(nèi)磁環(huán)內(nèi)徑R1、內(nèi)磁環(huán)外徑R2、外磁環(huán)內(nèi)徑R3、外磁環(huán)外徑R4、磁環(huán)對和磁環(huán)對之間的軸向間隙(以下簡稱磁環(huán)對軸向間隙)x0、磁環(huán)長度L、徑向偏移量e等參數(shù)有關。

由于外磁環(huán)外徑和刀桿空腔半徑相同，內(nèi)磁環(huán)的內(nèi)徑與連接桿半徑相同。因此本文主要分析內(nèi)磁環(huán)外徑R2、磁環(huán)長度L、徑向偏移量e和磁環(huán)對軸向間隙x0這4個參數(shù)對磁力的影響。

利用MATLAB軟件對5層堆疊式永磁動力減振器的磁力進行數(shù)值仿真分析，探究磁力與徑向偏移量e之間的變化關系。綜合考慮刀桿尺寸，假設內(nèi)磁環(huán)內(nèi)徑R1為2 mm、內(nèi)磁環(huán)外徑R2為5.5 mm、外磁環(huán)內(nèi)徑R3為5.8 mm、外磁環(huán)外徑R4為8 mm、磁環(huán)長度L為7 mm、磁環(huán)對軸向間隙x0為1 mm。求出此時徑向磁力和徑向偏移量e之間關系，如圖7所示。由圖7可知，磁環(huán)間徑向磁力與徑向偏移量e之間近似為線性關系，即磁環(huán)間徑向磁剛度可視為定值。

圖7 磁環(huán)徑向磁力與徑向偏移間關系

保持上述尺寸參數(shù)不變，設置徑向偏移量e為0.15 mm，當磁環(huán)對軸向間隙x0的變化范圍為0～3 mm時，求出磁剛度與磁環(huán)對軸向間隙x0之間關系，如圖8所示。

由圖8可知，隨著磁環(huán)對軸向間隙x0逐漸增加，磁剛度逐漸下降，且下降趨勢趨于平緩，當磁環(huán)對軸向間隙x0>2.7 mm時，磁剛度基本保持不變。

圖8 磁剛度和磁環(huán)對軸向間隙之間關系

保持上述尺寸參數(shù)不變，設置磁環(huán)對軸向間隙x0為2.4 mm，內(nèi)磁環(huán)和外磁環(huán)間徑向間隙為0.3 mm，當內(nèi)磁環(huán)外徑R2的變化范圍為3～7 mm時，求出磁剛度與內(nèi)磁環(huán)外徑R2之間關系，如圖9所示。

由圖9可知，隨著內(nèi)磁環(huán)外徑R2逐漸增加，永磁動力減振器的磁剛度先增大后減小，當內(nèi)磁環(huán)外徑為5.5 mm時，磁剛度達到最大值。

圖9 磁剛度和內(nèi)磁環(huán)外徑之間關系

保持上述磁環(huán)尺寸參數(shù)不變，設置徑向偏移量e為0.15 mm，磁環(huán)對軸向間隙x0為2.4 mm，當磁環(huán)長度L變化范圍為0～5 mm時，求出磁剛度與磁環(huán)長度L之間關系，如圖10所示。

由圖10可知，磁剛度隨磁環(huán)長度L增加逐漸增加，且增加趨勢逐漸趨于平緩，當磁環(huán)長度L>4 mm時，磁剛度基本保持不變。

圖10 磁剛度和磁環(huán)長度之間關系

3 電渦流阻尼計算

永磁動力減振器中電渦流產(chǎn)生機制，如圖11所示。當內(nèi)磁環(huán)做徑向往復振動時，內(nèi)磁環(huán)和金屬片之間發(fā)生相對運動，金屬片在運動磁場中切割磁感線會產(chǎn)生電渦流，進而產(chǎn)生阻礙這種相對運動的電磁阻尼力。這種阻力的大小和相對速度的大小成正比，阻力方向始終和相對運動方向相反，其特性與一般的黏性阻尼力一致，可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)動力減振器中阻尼液的阻尼作用。

圖11 電渦流阻尼產(chǎn)生機制

3.1 磁感應強度計算

由于內(nèi)磁環(huán)的內(nèi)孔較小，對磁力的影響可以忽略，因此建立電渦流阻尼力理論計算模型時將內(nèi)磁環(huán)簡化為圓柱永磁體，建立磁場模型如圖12所示。

圖12 圓柱永磁體磁場模型

以圓柱永磁體上表面中心為原點,建立柱坐標系，依據(jù)畢奧-薩伐爾定律求出永磁體表面電流微元Idl對YOZ平面上某一點P處產(chǎn)生的磁感應強度dB。

(20)

其中

S=R-r

(21)

r=b·cosθ·i+b·sinθj

(22)

R=x·i+z·u

(23)

dl=-b·sinθ·dθ·i+b·cosθ·dθ·j

(24)

式中：M1為永磁體的飽和磁化強度，M1=IL0，I為永磁體表面等效電流，L0為圓柱永磁體高度；b為圓柱永磁體半徑；μ0為真空磁導率；S為效電流微元到目標點的距離；R為等效電流微元到目標點的矢量；θ為在柱坐標系中從正Z軸來看自X軸逆時針方向轉到電流微元dl處所轉過的角;i為X軸方向的單位矢量。

對式(20)進行環(huán)向和軸向積分，求出永磁體整體在點P處的軸向磁感應強度BZ

(25)

式中:z′為積分變量;x、z為空間坐標系的坐標。

3.2 電渦流阻尼系數(shù)計算

當永磁體與金屬片之間發(fā)生相對運動時，金屬片上產(chǎn)生的電流密度矢量為

J=σ(v×B)

(26)

式中：J為電流密度矢量；σ為金屬片的電導率；v為永磁體的速度矢量；B為磁感應強度矢量。由于只考慮永磁體的徑向往復運動，因此徑向磁感應強度矢量和運動方向平行，不產(chǎn)生電渦流。

求出金屬片產(chǎn)生的電渦流阻尼力為

(27)

式中：vr為永磁振子的徑向運動速度大??；V為體積分符號。

將式(25)代入式(27)，并將體積分轉換為單重積分形式

(28)

(29)

式中：r1為金屬片內(nèi)孔半徑；r2為金屬片外孔半徑；X0為金屬片和磁環(huán)對軸向間隙；H0為金屬片厚度；Z為體積分符號。

電渦流阻尼等效阻尼系數(shù)w為

(30)

將式(29)代入式(30)求出電渦流等效阻尼系數(shù)w

(31)

包含n組磁環(huán)對的單層永磁動力減振器的電渦流阻尼系數(shù)為

w1=2n×w

(32)

3.3 電渦流阻尼系數(shù)和各尺寸參數(shù)關系

從電渦流阻尼理論計算模型可以看出電渦流阻尼與永磁體半徑b、永磁體高度L0、金屬片厚度H0、金屬片內(nèi)孔半徑r1、金屬片外孔半徑r2以及金屬片和磁環(huán)對軸向間隙X0等參數(shù)有關。

通過對永磁動力減振器中磁剛度的計算分析，可以確定永磁體半徑和高度，金屬片內(nèi)外徑由刀桿空腔半徑和連接桿半徑確定，因此電渦流設計過程中僅需要探究金屬片厚度H0、金屬片和磁環(huán)對軸向間隙X0對電渦流阻尼的影響即可。

利用MATLAB軟件對5層堆疊式永磁動力減振器的電渦流阻尼進行數(shù)值仿真。設置永磁體半徑b為5.5 mm、永磁體高度L0為7 mm、金屬片內(nèi)孔半徑r1為3 mm、金屬片外孔半徑r2為8 mm、金屬片和磁環(huán)對軸向間隙X0為0.2 mm。當金屬片厚度H0的變化為0～2.5 mm時，求出電渦流阻尼與金屬片厚度H0的變化關系，如圖13所示。由圖13可知，隨著金屬片厚度的增加，電渦流阻尼逐漸增加，增加趨勢逐漸趨于平緩。

圖13 電渦流阻尼與金屬片厚度關系

設置金屬片厚度H0為2 mm，保持尺寸參數(shù)不變，當金屬片和磁環(huán)對軸向間隙X0變化范圍為0～0.5 mm時，求出永磁動力減振器電渦流阻尼與金屬片和磁環(huán)對軸向間隙X0間關系，如圖14所示。由圖14可知，電渦流阻尼隨著金屬片和磁環(huán)對軸向間隙增加逐漸減小。

圖14 電渦流阻尼與金屬片和磁環(huán)對軸向間隙關系

4 有限元磁場仿真

利用有限元電磁仿真軟件Maxwell分別對永磁動力減振器中的磁力和電渦流阻尼力進行有限元仿真分析，驗證2.2節(jié)和3.3節(jié)MATLAB軟件數(shù)值仿真結果。Maxwell軟件是由ANSOFT公司研發(fā)的一款專門針對電磁場分析的仿真軟件，可以進行二維和三維的靜電場、靜磁場、瞬態(tài)電場和瞬態(tài)磁場仿真計算，常用來分析電機、變壓器、傳感器和永磁設備等電磁裝置[21-22]。

4.1 有限元磁力仿真

利用Maxwell仿真軟件中的3D靜磁場模塊對磁力進行仿真，簡化對永磁體磁性影響較小的芯軸部分。建立有限元仿真模型，如圖15所示。其中：外磁環(huán)外徑為8 mm；外磁環(huán)內(nèi)徑為5.8 mm；內(nèi)磁環(huán)外徑為5.5 mm；磁環(huán)長度為7 mm；磁環(huán)對軸向間隙為2.4 mm。

圖15 堆疊式動力減振器有限元仿真模型

設置永磁材料為NdFeB35，剩磁強度為1.23 T，相對磁導率為1.099 8，矯頑磁力為-8.9×105A/m，磁環(huán)的磁化方向為軸向，計算域region大小設置為100%，網(wǎng)格劃分中region、外磁環(huán)和內(nèi)磁環(huán)的最小網(wǎng)格尺寸分別為5 mm、3 mm和2 mm。

以徑向偏移量e為掃描參數(shù)，e的變化范圍為0～0.15 mm，步長為0.01 mm，求出內(nèi)、外磁環(huán)間徑向磁力隨徑向偏移量變化的有限元仿真結果和理論計算對比曲線，如圖16所示。

圖16 磁力隨徑向偏移量變化的仿真與計算對比曲線

磁環(huán)間徑向磁力隨徑向偏移量變化的有限元仿真和理論計算結果對比，如表1所示。

表1 磁力隨徑向偏移量變化的計算結果與仿真結果

設置磁環(huán)間徑向偏移量e為0.15 mm，保持其他參數(shù)不變，以磁環(huán)對軸向間隙x0為掃描參數(shù)，參數(shù)x0變化范圍為0～3 mm，計算步長為0.01 mm，求出此時磁剛度隨磁環(huán)對軸向間隙變化的有限元仿真和理論計算對比曲線，如圖17所示。

圖17 磁剛度隨磁環(huán)對軸向間隙變化的仿真與計算對比曲線

磁剛度隨磁環(huán)對軸向間隙變化的有限元仿真和理論計算結果對比，如表2所示。

表2 磁剛度隨磁環(huán)對軸向間隙變化的計算結果與仿真結果

設置徑向偏移量e為0.15 mm，磁環(huán)對軸向間隙x0為2 mm，保持其他尺寸參數(shù)不變，以內(nèi)磁環(huán)外徑R2為掃描參數(shù)，參數(shù)R2變化范圍為3～7 mm，計算步長為0.1 mm，求出此時磁剛度隨內(nèi)磁環(huán)外徑變化的有限元仿真和理論計算對比曲線，如圖18所示。

圖18 磁剛度隨內(nèi)磁環(huán)外徑變化的仿真與計算對比曲線

磁剛度隨內(nèi)磁環(huán)外徑變化的有限元仿真和理論計算結果對比，如表3所示。

表3 磁剛度隨內(nèi)磁環(huán)外徑變化的計算結果與仿真結果

設置徑向偏移量e為0.15 mm，磁環(huán)對軸向間隙x0為2 mm，其他尺寸參數(shù)保持不變，以磁環(huán)長度L為掃描參數(shù)，參數(shù)L變化范圍為0～5 mm，計算步長為0.1 mm，求出此時磁剛度隨磁環(huán)長度變化的有限元仿真和理論計算對比曲線，如圖19所示。

圖19 磁剛度隨磁環(huán)長度變化的仿真與計算對比曲線

磁剛度隨磁環(huán)長度變化的有限元仿真和理論計算結果對比，如表4所示。

表4 磁剛度隨磁環(huán)長度變化的計算結果與仿真結果

4.2 電渦流阻尼仿真

利用Maxwell仿真軟件中3D瞬態(tài)磁場模塊對永磁動力減振器中電渦流阻尼進行仿真。根據(jù)實際尺寸建立仿真模型，如圖20所示。圓柱永磁體長7 mm、半徑為5.5 mm、金屬片半徑為8 mm、金屬片厚度為2 mm、金屬片和永磁體間隙為0.2 mm，永磁材料設置與磁力仿真中一致。與靜磁場仿真不同，電渦流仿真過程中需要設置bond以包含所有運動部件，對金屬片添加速度為1 m/s的徑向運動。計算域region為100%，分別對計算域、永磁體、金屬片和bond添加網(wǎng)格設置，最小網(wǎng)格尺寸分別為5 mm、2 mm、2 mm、2 mm。

圖20 電渦流阻尼力有限元仿真模型

以金屬片厚度H0為掃描參數(shù)，H0變化范圍為0～2.5 mm，計算步長為0.1 mm。求出電渦流阻尼隨金屬片厚度變化的有限元仿真和理論計算對比，如圖21所示。

圖21 電渦流阻尼隨金屬片厚度變化的仿真與計算對比曲線

電渦流阻尼隨金屬片厚度變化的有限元仿真與理論計算結果對比，如表5所示。

表5 電渦流阻尼隨金屬片厚度變化的計算結果與仿真結果

設置金屬片厚度為2 mm，以金屬片和磁環(huán)對軸向間隙X0為掃描參數(shù)，參數(shù)X0變化范圍為0～0.5 mm，計算步長為0.1 mm，求出電渦流阻尼隨金屬片和磁環(huán)對軸向間隙變化的有限元仿真和理論計算對比，如圖22所示。

電渦流阻尼隨金屬片和磁環(huán)對軸向間隙變化的有限元仿真與理論計算結果對比，如表6所示。

5 動力減振刀桿數(shù)值仿真

5.1 動力減振器最優(yōu)減振條件

針對內(nèi)置動力減振器的大長徑比銑刀，忽略刀桿自身阻尼，可以簡化為兩自由度有阻尼振動系統(tǒng)[23]，如圖23所示。圖23中：K為刀桿等效剛度；k為動力減振器剛度；x1為刀桿位移；x2為振子位移；c為動力減振器阻尼；F′sinωt為簡諧激振力;m為動力減振器振子質量。

圖23 兩自由度有阻尼振動系統(tǒng)

傳統(tǒng)內(nèi)置式動力減振器中振子質量越大，刀桿減振效果越好。永磁動力減振器中由于磁剛度和電渦流阻尼會隨永磁振子質量變化而變化，因此需要探究質量比和永磁動力減振器最優(yōu)剛度、最優(yōu)阻尼之間關系，保證當質量比為某一定值時，磁剛度和電渦流阻尼恰好滿足最優(yōu)剛度和最優(yōu)阻尼。

針對兩自由度有阻尼振動系統(tǒng)，由定點理論可分別求出最優(yōu)頻率比α′和最優(yōu)阻尼比ξ1[24-25]為

(33)

(34)

動力減振器剛度和阻尼為

k=mωn1

(35)

(36)

式中，ωn1為子系統(tǒng)固有頻率。

將式(35)和式(36)分別代入式(33)和式(34)并化簡，分別求出動力減振器最優(yōu)剛度k1和最優(yōu)阻尼系數(shù)c1與刀桿等效剛度K、等效質量ms以及質量比μ之間關系為

(37)

(38)

以長200 mm、直徑20 mm、空腔直徑16 mm，空腔長50 mm的銑刀為例，刀桿材料為鎢鋼，彈性模量為320 GPa，密度為15 g/cm3，求出此時銑刀刀桿的等效剛度為1.404×106N/m，等效質量為0.288 7 kg。此時內(nèi)置動力減振器最優(yōu)剛度和最優(yōu)阻尼與質量比之間關系，如圖24所示。

圖24 質量比與最優(yōu)剛度、最優(yōu)阻尼間關系

通過對永磁動力減振器中磁剛度和電渦流阻尼的計算分析，針對長200 mm、直徑20 mm、空腔直徑16 mm，空腔長50 mm的銑刀確定永磁動力減振器中各部分尺寸參數(shù)，如表7所示。

表7 永磁動力減振器尺寸參數(shù)

永磁動力減振器中連接桿和永磁材料密度約為7.85 g/cm3，經(jīng)計算永磁振子質量為0.024 3 kg，此時質量比約為0.085。由圖5可知，此時動力減振器所需最優(yōu)剛度為1.004×105N/m，最優(yōu)阻尼為15.76。

此刀桿空腔尺寸條件下內(nèi)置永磁動力減振器包含10組磁環(huán)對，經(jīng)理論計算和電磁仿真求出此結構尺寸下永磁動力減振器提供的磁剛度約為1.008×105N/m，電渦流阻尼約為16.088，滿足最優(yōu)剛度和最優(yōu)阻尼條件。

5.2 頻響幅值對比

針對圖23所示的兩自由度有阻尼振動系統(tǒng)，建立系統(tǒng)運動微分方程為

(39)

式中：[M]為質量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K]為剛度矩陣。

(40)

(41)

(42)

式中：ms為主系統(tǒng)質量；m為子系統(tǒng)質量；C為主系統(tǒng)阻尼；c為子系統(tǒng)阻尼；K為主系統(tǒng)剛度；k為子系統(tǒng)剛度。

將式(39)由時域轉化為頻域，可得

(-ω2[M]+jω[C]+[K])|x′(ω)|=[P]

(43)

令

[z(ω)]=-ω2[M]+jω[C]+[K]

(44)

將式(40)代入式(39)可得

|x′(ω)|={z(ω)}-1[P]

(45)

式中：[P]為激振力幅值向量；[z(ω)] 為阻抗矩陣;ω為角頻率；x′(ω)為位移x′關于ω的變量。

設刀桿自身阻尼比為0.01，利用MATLAB軟件分別對安裝永磁動力減振器和不安裝永磁動力減振器的銑刀刀桿進行仿真計算，求出頻響函數(shù)對比，如圖25所示。

圖25 頻響函數(shù)對比

由圖25可知，安裝永磁動力減振器后刀桿的頻響函數(shù)幅值最大值從3.746×10-5m變?yōu)?.350×10-6m，下降了91.1%。

6 結 論

本文針對大長徑比刀桿設計了一種內(nèi)置式多層堆疊永磁動力減振器，利用磁剛度和電渦流阻尼提供動力減振器所需剛度和阻尼，解決了傳統(tǒng)動力減振器橡膠材料易老化、阻尼液易泄露等問題，實現(xiàn)了剛度和阻尼獨立精準的定量設計。建立了多層堆疊式永磁動力減振器中磁力和電渦流阻尼力的理論計算模型，并進行了相關的數(shù)值仿真和有限元仿真，得到以下結論:

(1) 永磁動力減振器中徑向磁力和徑向偏移量之間近似為線性關系，即磁剛度可近似視為定值。動力減振器的磁剛度隨內(nèi)磁環(huán)外徑的增加先增大后減小，隨著磁環(huán)長度的增加逐漸增加，隨磁環(huán)對軸向間隙增加逐漸減小。

(2) 永磁動力減振器中電渦流阻尼隨金屬片厚度的增加逐漸增加，隨金屬片和磁環(huán)的軸向間隙的增加逐漸減小。

(3) 通過MATLAB軟件分別對安裝永磁動力減振器前后的銑刀刀桿進行數(shù)值仿真，對比兩者頻響函數(shù)變化情況。結果表明，安裝永磁動力減振器后頻響函數(shù)幅值最大值下降91.1%，可以有效抑制刀桿在加工過程中的振動現(xiàn)象。