武衛(wèi)翔　王杰華　高瞻

摘? 要： 虛擬手術(shù)系統(tǒng)在醫(yī)學(xué)中實(shí)時仿真以建立可供手術(shù)前規(guī)劃和手術(shù)時參考的虛擬環(huán)境。由于人體器官大多由軟組織構(gòu)成，有限元法能夠精確地進(jìn)行軟組織幾何大變形仿真。加速有限元仿真有多種方法，文章采用基于模態(tài)分析的模型約簡方法，對軟組織有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，將約簡子空間中的形變向量重構(gòu)到原始空間，從而實(shí)現(xiàn)軟組織實(shí)時仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用模型約簡方法能夠在仿真效率和真實(shí)性之間取得較好的平衡。

關(guān)鍵詞： 軟組織; 有限元; 模型約簡; 模態(tài)分析

中圖分類號：TP391.9? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2022）02-01-04

Body's soft tissue modeling and real time simulation

Wu Weixiang， Wang Jiehua， Gao Zhan

（1. College of Xinglin， Nantong University， Nantong， Jiangsu 226236， China; 2. School of Information Science and Technology， Nantong University）

Abstract： The application of virtual surgery systems are developed to carry out real-time simulation for pre-operative planning and education. Because human organs are mostly composed of soft tissues， finite element method （FEM） can accurately describe the large deformation of soft tissue. There are many methods for accelerating FEM， the model reduction based on the modal analysis is used in this paper， modal analysis is carried out for finite element models， numerical integration is executed in the subspace and the results are used to reconstruct the model’s deformation in original full space， to realize the real time simulation of soft tissue. The result shows that model reduction method can achieve a good balance between simulation efficiency and authenticity.

Key words： soft tissue; FEM; model reduction; modal analysis

0 引言

虛擬手術(shù)是利用醫(yī)學(xué)影像和虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)在計(jì)算機(jī)中建立一個虛擬環(huán)境，醫(yī)生借助虛擬環(huán)境的信息進(jìn)行手術(shù)規(guī)劃、訓(xùn)練以及教學(xué)等的一種方法，極具發(fā)展前景[1]。

人體軟組織模型的建立已從幾何模型發(fā)展到基于物理特性的模型。在進(jìn)行具有力覺交互的虛擬手術(shù)仿真中，力覺交互通常需要較高的刷新率，這對軟組織變形仿真的實(shí)時性提出了較高的要求。種種問題使得軟組織建模與實(shí)時仿真成了科研工作者在設(shè)計(jì)、實(shí)現(xiàn)虛擬手術(shù)仿真時需要解決的一個關(guān)鍵問題和難題。由于人體軟組織多種多樣，其結(jié)構(gòu)和功能非常復(fù)雜，不同組織的力學(xué)特性也不盡相同，這一切導(dǎo)致對軟組織模型的研究產(chǎn)生了很大的困難。

軟組織的基本材料特性可概括為：不均勻性、非線性、塑性、粘彈性等材料性質(zhì)[2]。如何構(gòu)建高效統(tǒng)一的軟組織材料力學(xué)模型，一直是軟組織建模研究的一大難題。目前，用于軟組織建模的方法主要包括：有限元法[3]、質(zhì)點(diǎn)彈簧法[4]、邊界元法[5]和鎖甲形變方法[6]等。

有限元法是一種常用的計(jì)算方法。有限元法是將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來表達(dá)，從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。有限元法描述物體形變的方程維度較高，在仿真過程中需要進(jìn)行大量的計(jì)算，難以達(dá)到實(shí)時仿真的要求。

1 相關(guān)知識介紹

在動力學(xué)中，系統(tǒng)的動力學(xué)方程即求解方程為二階常微分方程系統(tǒng)：

++= ⑴

其中，n為網(wǎng)格的頂點(diǎn)數(shù)，u∈為未知的位移向量，∈為質(zhì)量矩陣，，∈R為阻尼矩陣，R（u）∈為系統(tǒng)的內(nèi)部變形力，f∈為外部施加的力，外力可能來自用戶交互或者碰撞反應(yīng)所產(chǎn)生的力。質(zhì)量矩陣是與時間無關(guān)的常量，僅與物體的網(wǎng)格和初始狀態(tài)下質(zhì)量密度分布有關(guān)。質(zhì)量矩陣一般情況下為稀疏的非對角矩陣，為了算法的方便性，通常將矩陣所有的行累加到對角元素中使質(zhì)量矩陣簡化成正交矩陣。當(dāng)構(gòu)成模型的頂點(diǎn)數(shù)非常大的時候，即n的值非常的大，則求解方程⑴非常耗時，因此難以達(dá)到實(shí)時性要求。而在現(xiàn)實(shí)情況下，想要構(gòu)成一個完整的模型并表現(xiàn)出自身的特征，則所需要的頂點(diǎn)數(shù)目是非常大的。

對于觸覺交互應(yīng)用，使用有限元方法導(dǎo)致大的計(jì)算量從而很大程度影響實(shí)時交互性能。一種簡化的方法是基于線彈性理論的小變形假設(shè)。與位移向量u對應(yīng)的內(nèi)力為R（u）∈R，由于Green-Lagrange應(yīng)變張量為非線性，因此R也為非線性。將方程⑴簡化為線性系統(tǒng)：

++u= ⑵

其中，K∈R為剛度矩陣。由于剛度矩陣和質(zhì)量矩陣在實(shí)時變形仿真中一直為常量，方程⑵表示的線性系統(tǒng)能夠提供有效的預(yù)處理過程，這對于實(shí)時交互性能有重大的影響。

有些時候，我們只對某特定受力情況下物體的變形狀態(tài)感興趣，稱為靜態(tài)仿真。將方程⑴去掉其他項(xiàng)，只保留[R（u）]和外力|，則歐拉方程即轉(zhuǎn)變成靜態(tài)仿真方程。假設(shè)給定一個外在靜態(tài)力，則靜態(tài)仿真就變成求解非線性方程R（u）=f的問題。與方程⑵對應(yīng)的為Ku=f的求解。本文采用的模型約簡方法將靜態(tài)仿真很好地運(yùn)用到動態(tài)仿真中。在靜態(tài)仿真中，約簡方法提供了一個約簡的仿真，該仿真可以使用約簡隱式Newmark積分獲得。

維度模型約簡是用來簡化動態(tài)系統(tǒng)仿真的一種方法。復(fù)雜系統(tǒng)的仿真中，通過對問題維度的約簡，使得描述系統(tǒng)的方程大幅減少，因此描述系統(tǒng)的方程的求解比原始問題求解所用時間也大幅度減少，從而提升了求解速度。通常速度的提升需要以損失一定的精確度為代價。

在約簡模型中，位移向量u的構(gòu)建如下：

u=Uq? ⑶

其中，U∈R位移向量基矩陣，q∈R為約簡的位移向量。

U為r維（r遠(yuǎn)小于3n） 線性子空間的基，不隨時間改變的矩陣。線性子空間及基矩陣的選取有若干方法。然而，子空間選取的好壞直接影響模型非線性的形變，好的子空間能很好地近似出典型的非線性形變空間，因此如何選取變形子空間對于下一步的實(shí)時變形非常重要。約簡模型在線仿真之前，首先要在模型預(yù)計(jì)算階段獲得約簡子空間U，并在在線仿真中得到變形子空間的位移和形變q，之后再利用公式⑶重構(gòu)原始空間的形變，從而得到實(shí)時變形仿真。構(gòu)建基矩陣U需要使用模態(tài)分析方法。

2 有限元模型準(zhǔn)備

2.1 幾何建模與有限元網(wǎng)格劃分

首先運(yùn)用三維重建技術(shù)，構(gòu)建人體各器官和組織的幾何模型。本章以心臟的建模與仿真為例，介紹軟組織器官的建模與模型約簡方法。圖1為心臟的幾何模型。

2.2 軟組織器官的有限元網(wǎng)格的生成

幾何模型不能直接用于有限元建模與仿真，例如圖1中由三角形網(wǎng)格表達(dá)的心臟模型。為了構(gòu)建心臟的有限元模型，必須對心臟幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。圖2給出了模型體素化網(wǎng)格劃分的流程。

對模型進(jìn)行體素化，可以得到有限元模型，如圖3所示。

2.3 軟組織材料設(shè)定和有限元網(wǎng)格約束

軟組織的物理特性通常由楊氏模量、泊松比和質(zhì)量密度表示。心臟組織的楊氏模量為50kPa，泊松比為0.4，質(zhì)量密度為1.07g/cm[7]，如圖4（a）所示。對心臟有限元模型中的主動脈、主靜脈部分一些頂點(diǎn)進(jìn)行約束，如圖4（b）所示，紅色頂點(diǎn)為被約束的頂點(diǎn)。

2.4 基矩陣U的構(gòu)建

自然界的每個固體都有特征變形，在結(jié)構(gòu)力學(xué)上稱為模態(tài)或是線性振動模態(tài)，每個模態(tài)都具有固有的頻率。這些模態(tài)由物體的幾何形狀、邊界條件和物體材料的性質(zhì)有關(guān)。連續(xù)介質(zhì)物體的頻率譜一般為離散且無限的，對于已離散化的模型來說是有限的。在許多應(yīng)用中，最低固有頻率和它們的模態(tài)能夠較好地近似表現(xiàn)物體的形變。當(dāng)模態(tài)數(shù)目越多，物體的形變表現(xiàn)愈加精確。

對線性模態(tài)進(jìn)行分析，在實(shí)際情況中不需要提取所有的振型來描述物體的變形，一般只會計(jì)算前十幾階模態(tài)和頻率。線性模態(tài)仿真速度非常快，易于交互，因此在計(jì)算機(jī)仿真中受到了廣泛使用。本文提取了心臟的前十六階線性模態(tài)用來分析，如圖5所示為心臟的前十六階線性模態(tài)。

標(biāo)準(zhǔn)的線性模態(tài)分析仿真產(chǎn)生線性模態(tài)，可用于小變形的仿真。然而，線性模態(tài)用于大變形仿真，會造成較大失真。因此，線性模態(tài)子空間的基對大變形仿真來說并不合適。通過提取心臟的線性模態(tài)，采用模態(tài)派生的方法，得到心臟的非線性模態(tài)，對非線性模態(tài)進(jìn)行分析，保留前二十階非線性模態(tài)以重構(gòu)非線性子空間。如圖6所示為心臟的前二十階非線性模態(tài)。

約簡子空間中的仿真計(jì)算及原始完整空間中變形向量的重建，首先，記錄用戶交互力并計(jì)算模態(tài)力，之后，求解約簡子空間中的運(yùn)動方程得到約簡子空間中的變形和位移向量，并據(jù)此重構(gòu)原始空間中的變形和位移向量，最終完成仿真，并將變形、位移、速度等信息反饋給力反饋設(shè)備及圖形顯示界面。

圖7所示為心臟約簡有限元模型的仿真過程，圖7（a）為靜息狀態(tài)下的心臟模型，圖7（b）為受到朝上的作用力之后產(chǎn)生的變形，黑色箭頭指出了受力的方向和受力的位置。從形態(tài)上觀察，變形較為逼真。

3 總結(jié)與展望

為了使人體軟組織有限元模型能做到實(shí)時變形仿真，我們使用有限元方法對人體軟組織建模。采用了模型約簡方法，力圖在仿真求解速度和精度之間取得平衡。通過實(shí)驗(yàn)、分析表明，采用模型約簡方法能夠在仿真效率和真實(shí)性之間取得較好的平衡。對于本文的仿真研究，作者認(rèn)為還存在值得進(jìn)一步擴(kuò)充和深入之處：在軟組織變形仿真中，會涉及到軟組織自身的碰撞，以及軟組織與周圍環(huán)境及組織的碰撞，這是軟組織仿真中的重要研究內(nèi)容，在本文中并沒有考慮，在進(jìn)一步的研究工作中需要深入考慮解決。

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