路彥珍,張騰遠(yuǎn),王澤宇,王鳳平

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100083)

光的衍射是波動(dòng)光學(xué)中的重要組成內(nèi)容,在物理學(xué)中有著重要地位，其中夫瑯禾費(fèi)衍射與菲涅爾衍射是光的衍射中常用的分析方法和應(yīng)用領(lǐng)域.根據(jù)查閱文獻(xiàn)內(nèi)容可以得知這2種衍射的光強(qiáng)與振幅分布、衍射圖樣、衍射模型分析方法等[1-3].根據(jù)此理論,波帶片與光柵等光學(xué)元件在工程中有著重要的應(yīng)用,但在分析過(guò)程中常有近似條件,忽略部分因素便于分析結(jié)果,如果不能選擇合適的近似條件容易造成較大誤差.目前針對(duì)于衍射誤差的分析沒(méi)有系統(tǒng)的理論或仿真模擬.在此基礎(chǔ)上,本文通過(guò)仿真模擬,定量研究光柵衍射中衍射調(diào)節(jié)作用與菲涅爾衍射中半波帶復(fù)振幅變化,從而可以定量探究近似條件應(yīng)用范圍,可以在工程光學(xué)中得到有效應(yīng)用.

(1)

1 光柵衍射中定量研究衍射調(diào)節(jié)作用

1.1 設(shè)置縫寬a=30λ、3λ、1.22λ、λ,在10 mm的尺度下進(jìn)行觀測(cè)模擬

(2)

而雙縫楊氏干涉強(qiáng)度分布為

I(θ)=4I0(cosβ)2,

(3)

縫寬依次設(shè)置為a=30λ、10λ、λ、0.1λ、0.01λ…

圖1 觀測(cè)尺度為10 mm,光柵衍射縫寬為30λ的衍射圖樣Fig.1 A diffraction pattern with an observation scale of 10 mm and a grating diffraction slit width of 30λ

圖2 觀測(cè)尺度為10 mm,光柵衍射縫寬為3λ的衍射圖樣Fig.2 A diffraction pattern with an observation scale of 10 mm and a grating diffraction slit width of 3λ

根據(jù)仿真模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果,在10 mm的觀測(cè)尺度下,當(dāng)光柵衍射縫寬a遠(yuǎn)大于λ時(shí),衍射調(diào)節(jié)作用很強(qiáng),圖像主要呈現(xiàn)衍射圖像,當(dāng)a逐漸減小,接近λ時(shí)，衍射調(diào)節(jié)作用逐漸減小,圖像逐漸變?yōu)楦缮娴裙鈴?qiáng)圖像.

1.2 設(shè)置a=0.1λ、0.01λ,在100 mm的尺度下進(jìn)行觀測(cè)模擬

1.3 設(shè)置N=2,在尺度為1 mm時(shí)進(jìn)行觀測(cè)模擬

由圖7～12可知，當(dāng)a=15λ時(shí)，其光強(qiáng)明顯受到衍射影響，但當(dāng)a減少至a=10λ時(shí)，其光強(qiáng)便不再隨著a的減小而發(fā)生明顯改變，因此在雙縫小尺度的觀測(cè)情況下,可以將a=10λ當(dāng)作衍射近似等同于干涉的極限點(diǎn),此時(shí)衍射因子的作用可以忽略,強(qiáng)度分布可以當(dāng)作干涉來(lái)處理.

圖4 觀測(cè)尺度為10 mm,光柵衍射縫寬為λ的衍射圖樣Fig.4 A diffraction pattern with an observation scale of 10 mm and a grating diffraction slit width of λ

圖5 觀測(cè)尺度為100 mm，光柵衍射縫寬為0.1λ的衍射圖樣Fig.5 A diffraction pattern with an observation scale of 100 mm and a grating diffraction slit width of 0.1λ

圖6 觀測(cè)尺度為100 mm，光柵衍射縫寬為0.01λ的衍射圖樣Fig.6 A diffraction pattern with an observation scale of 100 mm and a grating diffraction slit width of 0.01λ

圖7 觀測(cè)尺度為1 mm，光柵衍射縫寬為20λ的衍射圖樣Fig.7 A diffraction pattern with an observation scale of 1 mm and a grating diffraction slit width of 20λ

圖8 觀測(cè)尺度為1 mm，光柵衍射縫寬為15的衍射圖樣Fig.8 A diffraction pattern with an observation scale of 1 mm and a grating diffraction slit width of 15λ

圖9 觀測(cè)尺度為1 mm，光柵衍射縫寬為10λ的衍射圖樣Fig.9 A diffraction pattern with an observation scale of 1 mm and a grating diffraction slit width of 10λ

圖10 觀測(cè)尺度為1 mm，光柵衍射縫寬為5λ的衍射圖樣Fig.10 A diffraction pattern with an observation scale of 1 mm and a grating diffraction slit width of 5λ

圖11 觀測(cè)尺度為1 mm，光柵衍射縫寬為λ的衍射圖樣Fig.11 A diffraction pattern with an observation scale of 1 mm and a grating diffraction slit width of λ

圖12 觀測(cè)尺度為1 mm，光柵衍射縫寬為0.1λ的衍射圖樣Fig.12 A diffraction pattern with an observation scale of 1 mm and a grating diffraction slit width of 0.1λ

1.4 設(shè)置N=2,在尺度為100 mm時(shí)進(jìn)行觀測(cè)模擬

如圖13～16，綜合1.2～1.4的模擬結(jié)果可以初步得到觀測(cè)尺度x,縫寬a及所用光波長(zhǎng)λ在衍射可以看作干涉的條件下所近似滿足的關(guān)系式如下：

(4)

圖13 觀測(cè)尺度為100 mm，光柵衍射縫寬為λ的衍射圖樣Fig.13 A diffraction pattern with an observation scale of 100 mm and a grating diffraction slit width of λ

圖14 觀測(cè)尺度為100 mm，光柵衍射縫寬為0.5λ的衍射圖樣Fig.14 A diffraction pattern with an observation scale of 100 mm and a grating diffraction slit width of 0.5λ

圖15 觀測(cè)尺度為100 mm，光柵衍射縫寬為0.4λ的衍射圖樣Fig.15 A diffraction pattern with an observation scale of 100 mm and a grating diffraction slit width of 0.4λ

圖16 觀測(cè)尺度為100 mm，光柵衍射縫寬為0.3λ的衍射圖樣Fig.16 A diffraction pattern with an observation scale of 100 mm and a grating diffraction slit width of 0.3λ

圖17 光強(qiáng)分布曲線Fig.17 Light intensity distribution curve

圖18 當(dāng)縫寬為0.1λ時(shí)的光強(qiáng)分布Fig.18 Intensity distribution when slit width is 0.1λ

圖19 當(dāng)縫寬為0.01λ時(shí)光強(qiáng)分布Fig.19 Intensity distribution when slit width is 0.01λ

2 菲涅爾圓孔衍射中定量研究半波帶復(fù)振幅變化

在圓孔衍射中,在球面上劃分出的環(huán)帶稱為菲涅爾半波帶.根據(jù)課本理論推理[1-3],復(fù)振幅

(5)

(6)

為第m個(gè)半波帶發(fā)出的次波在P點(diǎn)的復(fù)振幅,其振幅大小為

(7)

其中相位(-1)m-1eiφ1,根據(jù)傾斜因子是連續(xù)緩慢變化的,所以可認(rèn)為某1個(gè)半波帶的振幅是與其相鄰半波帶振幅的平均值,故

(8)

由于相鄰半波帶振幅接近,所以相鄰半波帶間往往振幅大小可以接近,但相差很多時(shí)卻不能簡(jiǎn)單地忽略不計(jì).因此通過(guò)計(jì)算Am/A1,定量的計(jì)算當(dāng)半波帶數(shù)量n到多少時(shí),振幅間的差距不可忽略.

由

(9)

可知

圖20 菲涅爾衍射～m關(guān)系Fig.20 Fresnel diffraction ～m diagram

(10)

又因?yàn)?/p>

(11)

設(shè)定參數(shù)：r0=0.1 m，λ=800 nm. 代入數(shù)據(jù)模擬結(jié)果如圖20.

由圖20可知,在該參數(shù)下，當(dāng)m=27 000時(shí),Am/A1為95%,即出現(xiàn)了5%的誤差，設(shè)該誤差為所允許的極限誤差,可以表明在該參數(shù)下m>27 000時(shí),Am不能再約等于A1.

理論公式推導(dǎo)如下：

(12)

根據(jù)實(shí)際情況考慮,r0?λ,可以化簡(jiǎn)為

(13)

(14)

(15)

故當(dāng)r0增大時(shí),半波帶振幅誤差減小,當(dāng)mλ增大時(shí),半波帶振幅誤差增大.

3 結(jié)論

根據(jù)研究結(jié)論，可以在工程光學(xué)中對(duì)于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題采取適當(dāng)?shù)慕?，將?fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)易化。例如在光柵和波帶片中便可根據(jù)樣品參數(shù)不同采取不同程度的近似，從而得出較為便于應(yīng)用的結(jié)果.