張麗麗， 麻作軍

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 慶陽 745000)

0 引言

自Lotka和Volterra提出經(jīng)典的捕食者-食餌模型以來，許多學(xué)者利用該模型提出了不同的反應(yīng)函數(shù).在實(shí)際生產(chǎn)中，為了兼顧物種的長期存活以及自然生物鏈的不間斷和最大收獲，一些學(xué)者還建立了帶有收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng).例如： 1999年， Xiao等[1]對帶有常數(shù)食餌收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的分支進(jìn)行了分析，并給出了系統(tǒng)在Bogdanov -Takens分支下的臨界條件； 2013年， Gupta等[2]對帶有Michaelis -Menten型食餌收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支進(jìn)行了分析；其他收獲率捕食模型的研究參看文獻(xiàn)[3-7].基于上述研究，本文考慮如下帶收獲率Γh>0的Lotka -Volterra捕食者-食餌模型：

(1)

其中：u(t)和v(t)分別表示食餌和捕食者在時刻t的種群密度；Γ、r、γ和h都是正參數(shù),其具體生態(tài)意義見文獻(xiàn)[8].

在自然條件及外界因素的影響下，固有有界區(qū)域內(nèi)的不同空間位置上的捕食者和食餌的分布是不均勻的，且每個物種都會有擴(kuò)散到較小密度區(qū)域的自然傾向.為了準(zhǔn)確描述種群的這種空間分布的復(fù)雜性，一些學(xué)者們建立了帶有擴(kuò)散的捕食者-食餌系統(tǒng)[9-12].模型(1)的線性自擴(kuò)散模型為：

(2)

其中：Ω是RN中邊界光滑的有界區(qū)域；n為邊界?Ω上的單位外法向量；d1(d1>0)和d2(d2>0)是擴(kuò)散系數(shù)，分別表示2個種群由高密區(qū)向低密區(qū)遷移；u0(x)和v0(x)為非負(fù)不恒為零的連續(xù)函數(shù)，分別表示2個種群的初始密度.本文討論模型(2)的正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

1 半線性反應(yīng)擴(kuò)散模型的穩(wěn)定性

(3)

對系統(tǒng)(3)在(0,0)處線性化可得如下近似方程：

(4)

(5)

(6)

λ2-T1(k)λ+H1(k2)=0，

(7)

其中T1(k)=tr(L1k)=-Γ(h+1)-(d1+d2)k2,

H1(k2)=det(L1k)=[Γγ(h+1)+d1k2]d2k2+detJ.

(8)

定理1由于T1(k)≠0,k=0,1,2,…， 線性自擴(kuò)散模型(2)不會出現(xiàn)Hopf分支.

定理2當(dāng)r>γ(h+1)時，模型(2)的唯一正平衡點(diǎn)E*(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的.

定理3線性自擴(kuò)散模型(2)不會誘導(dǎo)Turing不穩(wěn)定性.

2 數(shù)值模擬與討論

為驗(yàn)證所得定理的正確性，在模型(2)中取r=4.8,γ=1,Γ=5,h=3，d1=1,d2=4.經(jīng)計算，該取值滿足定理?xiàng)l件r>γ(h+1)， 且模型(2)存在唯一正平衡點(diǎn)E*(4,0.8).由定理2可知該正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.根據(jù)上述取值繪制的食餌和捕食者的種群密度隨時間和空間的變化趨勢如圖1和圖2所示.由圖1和圖2也可以看出，正平衡點(diǎn)E*(4,0.8)是漸近穩(wěn)定的.由此進(jìn)一步表明，線性自擴(kuò)散不會改變Lotka -Volterra捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性.

圖1 食餌種群密度隨時間和空間的變化趨勢 圖2 捕食者種群密度隨時間和空間的變化趨勢