付 豪，吳堯輝

(河南理工大學(xué) 電氣工程及其自動(dòng)化學(xué)院，焦作 45400)

0 引 言

圓筒型永磁直線電機(jī)(以下簡稱TPMLM)具有推力密度大、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、運(yùn)行可靠、無橫向邊端效應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)[1-3]，在油田抽油機(jī)[4]、精密機(jī)床等[5]高動(dòng)態(tài)響應(yīng)伺服場合以及直線驅(qū)動(dòng)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

然而，TPMLM定子鐵心兩端開斷和定子開槽，其存在端部效應(yīng)[6]和齒槽效應(yīng)[7]。由齒槽效應(yīng)引起的齒槽力和端部效應(yīng)引起的端部力，導(dǎo)致TPMLM存在較大的推力波動(dòng)，嚴(yán)重影響了電機(jī)運(yùn)行性能，也限制了其應(yīng)用范圍。因此，減小電機(jī)的推力波動(dòng)，提高平均推力，以獲得良好的推力特性至關(guān)重要。

針對(duì)此問題，國內(nèi)外學(xué)者在電機(jī)本體結(jié)構(gòu)上做了大量的研究。文獻(xiàn)[8]提出了一種初級(jí)斜端部結(jié)構(gòu)，有限元仿真結(jié)果表明，其可以有效減小TPMLM的端部力，從而降低推力波動(dòng)；文獻(xiàn)[9]通過采用不等寬槽口，來減小TPMLM的齒槽力，樣機(jī)實(shí)驗(yàn)證明該方法可以有效地降低推力波動(dòng)；文獻(xiàn)[10]通過在初級(jí)齒部加附加槽來減小TPMLM的推力波動(dòng)，并對(duì)附加槽的形狀和最佳尺寸進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[11]提出一種采用定子和動(dòng)子不等極距的方法來減小TPMLM的齒槽力；文獻(xiàn)[12]采用輔助槽來減小TPMLM的齒槽力，并研究了輔助槽尺寸對(duì)TPMLM齒槽力的影響；文獻(xiàn)[13]提出優(yōu)化電機(jī)的極弧系數(shù)來減小永磁直線電機(jī)的齒槽力；文獻(xiàn)[14]提出一種磁極分組偏移的方法來減小電機(jī)齒槽力。永磁電機(jī)各參數(shù)之間的耦合性是極強(qiáng)的，雖然這些方法可以有效地降低推力波動(dòng)，但也可能降低電機(jī)的推力，影響電機(jī)的推力特性。

本文基于有限元分析，以TPMLM的平均推力和推力波動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)。首先，采用田口法分析電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性，從8個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)中選出4個(gè)敏感參數(shù)；然后，構(gòu)建基于Box-Behnken法的響應(yīng)面模型，采用NSGA-II多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法對(duì)該響應(yīng)面模型進(jìn)行求解；最后進(jìn)行了有限元仿真驗(yàn)證。

1 電機(jī)結(jié)構(gòu)及參數(shù)

本文以9槽10極TPMLM為研究對(duì)象，圖1為圓柱坐標(biāo)系下電機(jī)的模型，圖2給出了TPMLM的8個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)，包括定子齒部高度h0和h1，定子齒部寬度w2,槽部高度h2,槽部寬度w3，氣隙寬度w4，磁極寬度w1，磁極高度h3。TPMLM的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 TPMLM模型

圖2 TPMLM結(jié)構(gòu)參數(shù)

表1 TPMLM結(jié)構(gòu)參數(shù)

2 參數(shù)敏感性分析

為了降低優(yōu)化問題維度，提高優(yōu)化效率，從這8個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)中選出對(duì)TPMLM推力和推力波動(dòng)有顯著影響的參數(shù)。首先，將8個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)分為兩組：第一組是關(guān)于定子齒部的結(jié)構(gòu)參數(shù)h0，h1，w2；第二組是其它的5個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)h2，h3，w1，w3，w4。然后，采用田口法，分別對(duì)這兩組參數(shù)建立正交實(shí)驗(yàn)矩陣，通過方差分析和信噪比分析，選出對(duì)TPMLM推力和推力波動(dòng)有顯著影響的參數(shù)。

2.1 第一組結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性分析

首先，對(duì)定子齒部的3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，如表2所示。接著，利用有限元軟件Magnet計(jì)算出每次實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)值，填入表2中，對(duì)表2進(jìn)行方差分析和信噪比分析。圖3為推力波動(dòng)的信噪比，圖4為平均推力的信噪比，方差分析結(jié)果如表3所示。

表2 第一組結(jié)構(gòu)參數(shù)正交表及分析結(jié)果

圖3 第一組參數(shù)推力波動(dòng)的信噪比

圖4 第一組參數(shù)平均推力的信噪比

表3 第一組參數(shù)方差分析

由圖3、圖4和表3可看出，定子齒部結(jié)構(gòu)參數(shù)w2對(duì)推力波動(dòng)和平均推力都有顯著影響，而h0和h1對(duì)推力波動(dòng)和平均推力影響比重都小，因此將w2確定為優(yōu)化變量。根據(jù)圖3和圖4的信噪比分析結(jié)果，取h0=2.5 mm,h1=1.5 mm。

2.2 第二組結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性分析

同樣，建立一張關(guān)于h2，h3，w1，w3，w45個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的L1645正交表，表4為這5個(gè)參數(shù)的正交表和有限元分析結(jié)果，圖5和圖6分別為第二組參數(shù)推力波動(dòng)和平均推力的信噪比分析結(jié)果，表5為方差分析結(jié)果。

表4 第二組結(jié)構(gòu)參數(shù)正交表及分析結(jié)果

圖5 第二組參數(shù)推力波動(dòng)信噪比

圖6 第二組參數(shù)平均推力信噪比

表5 第二組參數(shù)方差分析

由圖4、圖5和表3可以看出，h3對(duì)平均推力有顯著影響，而h3、w1和w4對(duì)推力波動(dòng)有顯著影響，因此將h3、w1和w4確定為優(yōu)化變量。根據(jù)圖4和圖5的信噪比分析結(jié)果，取h2=11 mm,w3=10 mm。

綜上，根據(jù)對(duì)兩組參數(shù)的敏感性分析結(jié)果，確定h3、w1、w2、和w4共4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)為優(yōu)化變量。

3 構(gòu)建響應(yīng)面模型

響應(yīng)面模型是一種數(shù)學(xué)建模優(yōu)化和綜合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，可以有效減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，準(zhǔn)確分析設(shè)計(jì)變量之間的相互作用。Box-Behnken法是響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)中常用的一種設(shè)計(jì)方法。采用Box-Behnken法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，每個(gè)因子取3個(gè)水平的值，分別為設(shè)計(jì)變量優(yōu)化區(qū)間的中心值、上限和下限值。表6為各個(gè)優(yōu)化變量的水平值。

表6 設(shè)計(jì)變量水平值

根據(jù)Box-Behnken法的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原則，建立一個(gè)關(guān)于4個(gè)變量的正交實(shí)驗(yàn)矩陣，共需要進(jìn)行27次實(shí)驗(yàn)。通過有限元分析，計(jì)算出每次實(shí)驗(yàn)的平均推力和推力波動(dòng)。正交實(shí)驗(yàn)矩陣和優(yōu)化目標(biāo)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7所示。

表7 正交實(shí)驗(yàn)矩陣及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)表7的正交實(shí)驗(yàn)矩陣和有限元分析得到的結(jié)果，對(duì)優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行表面響應(yīng)分析。通用的二階響應(yīng)面模型如下式[15]：

(1)

式中：G(t)為響應(yīng)值；a0、ai、aj為回歸系數(shù)；ti、tj為兩個(gè)不同的優(yōu)化變量；ε為擬合誤差。

對(duì)表7中的數(shù)據(jù)進(jìn)行多元二次回歸擬合，即可得到響應(yīng)面的數(shù)學(xué)模型。TPMLM平均推力的擬合回歸方程：

f1=400+12.42w2+132.1h3-699w4+

41.9h3w4-6.56h3w1+76.9w4w1

(2)

TPMLM推力波動(dòng)的擬合回歸方程：

f2=-750+52.5w2+30.5h3+64w4+

3.37w2h3+16.2w2w4-3.25w2w1-

19.37h3w4+2.125h3w1-15w4w1

(3)

4 多目標(biāo)算法尋優(yōu)

TPMLM各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間存在相互作用，會(huì)使得優(yōu)化目標(biāo)不能同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。采用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法,以最大的平均推力、最小推力波動(dòng)為目標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化求解，數(shù)學(xué)模型可以表示：

(4)

式中：f1(x)為電機(jī)的平均推力函數(shù)；f2(x)為電機(jī)的推力波動(dòng)函數(shù)；f3(x)為一個(gè)磁極用磁量的函數(shù)；xil和xih分別為第i個(gè)變量的最小值和最大值；w1、w2、w4和h3參數(shù)的取值范圍：

通過多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法求解，獲得Pareto前沿，如圖7所示。

圖7 Pareto前沿圖

從Pareto解集中選擇一組解A為TPMLM最優(yōu)參數(shù)組合，如表8所示。

表8 最優(yōu)參數(shù)組合

5 電機(jī)優(yōu)化前后性能對(duì)比

利用有限元軟件Magnet對(duì)表8參數(shù)組合的TPMLM電磁模型進(jìn)行有限元分析。圖8為優(yōu)化前后TPMLM穩(wěn)定運(yùn)行后電機(jī)的推力波形，表9為TPMLM的優(yōu)化結(jié)果。

圖8 優(yōu)化前后推力波形

表9 優(yōu)化前后TPMLM性能對(duì)比

從圖8中可以看出,優(yōu)化前電機(jī)的平均推力約為975 N,推力波動(dòng)約為97 N;優(yōu)化后電機(jī)的平均推力約為1 157 N，推力波動(dòng)約為26 N。優(yōu)化后電機(jī)的平均推力提高了18.67%，推力波動(dòng)降低了73.20%,經(jīng)過優(yōu)化后，電機(jī)用磁量減小了22.67%。顯然，表8中的參數(shù)組合可以提高TPMLM的推力，降低推力波動(dòng)。

6 結(jié) 語

本文對(duì)9槽10極TPMLM進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，以推力和推力波動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，選取TPMLM的8個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)為優(yōu)化變量?；谔锟诜ǖ膮?shù)敏感性分析顯示，定子齒部寬度和磁極厚度對(duì)電機(jī)推力有顯著影響，定子齒部寬度、氣隙寬度、磁極寬度和磁極厚度對(duì)推力波動(dòng)有顯著影響。結(jié)合響應(yīng)面法建立TPMLM平均推力和推力波動(dòng)關(guān)于定子齒部寬度、氣隙寬度、磁極寬度和磁極厚度的二階響應(yīng)面模型，采用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法對(duì)該響應(yīng)面模型進(jìn)行求解，獲得最優(yōu)參數(shù)組合。有限元仿真結(jié)果表明，與原始電機(jī)相比，優(yōu)化后TPMLM的平均推力提高了18.67%，推力波動(dòng)降低了73.20%，用磁量減小了22.67%，說明求得的最優(yōu)參數(shù)組合可以有效提升TPMLM的推力特性，也說明了優(yōu)化方法的可行性與有效性。