吳靜 潘春宇

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

神經(jīng)元的大小屬于介觀尺度范圍，本文考慮神經(jīng)元的電感特性，建立了由細胞膜電感、膜電容、鉀離子憶阻器和氯離子電阻構(gòu)成的神經(jīng)元經(jīng)典電路模型和介觀電路模型.利用經(jīng)典電路理論和介觀電路的量子理論，推導了在外部沖擊激勵下神經(jīng)元細胞膜電壓響應的表達式.將槍烏賊神經(jīng)元的電生理參數(shù)代入膜電壓表達式并計算可知，兩種模型下的膜電壓均先增大后減小，最后達到零值的靜息狀態(tài)，且其能量主要集中在0—30 Hz 的腦電頻率范圍內(nèi).進一步比較發(fā)現(xiàn)，介觀電路模型下膜電壓的峰值及達到峰值所需的時間(達峰時間)均低于經(jīng)典電路模型下的值，并與槍烏賊軸突受到刺激后的實驗結(jié)果更接近，說明介觀電路模型更能反應神經(jīng)元受到刺激后的生理特征.基于介觀電路模型，隨著外部激勵強度的增加，膜電壓的峰值增加且達峰時間變短.膜電壓峰值及達峰時間等參數(shù)更易受神經(jīng)元膜電容的影響.神經(jīng)元的介觀電路模型對于理解神經(jīng)元受到刺激后的興奮性，推動受大腦功能啟發(fā)的量子神經(jīng)網(wǎng)絡的發(fā)展等具有重要意義.

1 引言

上千億神經(jīng)元形成了記憶、學習和智能等高級認知活動的物質(zhì)基礎(chǔ).神經(jīng)元建?？梢苑譃殡妼б蕾囆秃头请妼б蕾囆蛢深怺1].前者研究神經(jīng)元及其網(wǎng)絡的電學生理特性和動力學行為，如Hodgkin-Huxley(HH)模型[2-5].后者在前者的基礎(chǔ)上，拋開電路參數(shù)的實際意義，利用純數(shù)學模型研究神經(jīng)元輸入和輸出之間的關(guān)系，闡明信息傳遞的機制，主要用于神經(jīng)形態(tài)計算和神經(jīng)接口的信息處理等[6-8].

神經(jīng)元的大小為微米量級，屬于介觀尺度范圍[9，10].為了能夠反映神經(jīng)系統(tǒng)的糾纏、疊加等量子特性對其生理特性及信息傳遞機制的影響，有必要研究電導依賴型神經(jīng)元的量子化模型.作為被廣泛研究的電導依賴型模型，HH 模型是通過槍烏賊軸突實驗提出的，由可變離子(如K+和Na+)電導、恒定離子(如Cl—)電阻及細胞膜電容組成[5].Chua[11]考慮了神經(jīng)元對電荷的記憶特性，將可變離子電導進一步利用可變離子憶阻器表征.基于經(jīng)典電路理論，HH 模型及其構(gòu)成的神經(jīng)網(wǎng)絡模型在探索疾病機理[12-14]、神經(jīng)網(wǎng)絡的集體行為[15-17]和理解大腦功能[18-20]等方面有著廣泛應用.如Khodashenas 等[12]利用HH 模型研究了經(jīng)顱直流電刺激對三叉神經(jīng)痛的緩解作用.Liu 等[13]討論了經(jīng)顱磁聲刺激下HH 神經(jīng)元網(wǎng)絡的同步動力學，并通過設計自適應控制器使神經(jīng)元滿足同步性能.Zhang 等[14]討論了通過憶阻器耦合的HH 神經(jīng)元網(wǎng)絡在外界高頻刺激下動作電位傳導失效的影響因素.Bao 等[15]研究了HH 神經(jīng)元網(wǎng)絡非相干、相干、不完全同步和嵌合狀態(tài)等動力學行為.Baysal 等[16]研究了輸入混沌信號對HH 模型弱信號檢測性能的影響.Bossy 等[17]研究了無限個HH 模型完全連接的神經(jīng)元網(wǎng)絡動作電位的同步特性.文獻[18，19]研究了HH 模型能量供應和消耗特性，提出了HH 模型在超閾值和亞閾值激活時能量消耗的判據(jù)，結(jié)果表明神經(jīng)元的電生理活動受到其能量水平的嚴格限制.Zhu 等[20]利用神經(jīng)元能量編碼理論研究了HH 網(wǎng)絡模型的神經(jīng)活動，結(jié)果表明網(wǎng)絡能量分布的周期性與神經(jīng)元數(shù)量和耦合強度呈正相關(guān)，但與信號傳輸延遲呈負相關(guān).基于介觀電路的量子理論，量子化憶阻器以及它在超導電路和集成量子光學中的實現(xiàn)，為量子化HH 模型提供了理論和實驗基礎(chǔ)[21-23].近年來，Gonzalez-Raya 等[24]研究了考慮K+憶阻器的量子化HH 模型，得到了在正弦激勵下細胞膜電壓輸出響應的量子化特征，對于構(gòu)建受大腦功能啟發(fā)的量子神經(jīng)網(wǎng)絡和量子機器學習具有重要意義[25-27].

已有經(jīng)典和量子化HH 模型并沒有考慮神經(jīng)元的電感特性.Cole 和Baker[28]在烏賊軸突上利用阻抗橋進行了縱向交流阻抗的測量，發(fā)現(xiàn)細胞膜在低頻時具有感抗特性.Hodgkin[29]認為在青蛙肌肉、烏賊和魷魚軸突實驗中觀察到的閾下膜電位振蕩現(xiàn)象是由于細胞膜電感和膜電容并聯(lián)所導致的.Kumai[30]認為神經(jīng)元實驗中的陽極斷開興奮和超極化斷開刺激都說明細胞膜電感的存在.不僅如此，Wang 等[31]研究神經(jīng)元的能量編碼時，利用電感表征神經(jīng)元產(chǎn)生動作電位時離子內(nèi)外流動形成的磁場.周霆[32]認為大腦皮層中的錐體細胞并行排列，方向垂直于腦皮質(zhì)層表面且沿徑向分布，一定數(shù)量神經(jīng)元的同步活動形成了以電流偶極子為特征的生理學基礎(chǔ)，表明神經(jīng)元中存在磁場效應.因此，在利用神經(jīng)元等效電路研究其動力學特征時，有必要在電路模型中引入細胞膜電感.

本文僅考慮神經(jīng)元可變離子K+和恒定離子Cl—，利用細胞膜電感、膜電容、K+憶阻器和Cl—電阻建立了感性神經(jīng)元電路模型，研究了基于經(jīng)典電路理論和介觀電路量子理論的電路分析方法，對比了在沖擊激勵下利用兩種方法得到的膜電壓輸出響應的特點.

2 感性神經(jīng)元模型

2.1 經(jīng)典電路模型

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)和功能單元，由接受外部刺激的樹突、整合輸入信息的胞體和傳遞輸出信息的軸突組成，如圖1(a)所示，考慮細胞膜電感特性的電路模型如圖1(b)所示.其中，L表示細胞膜電感;R為恒定滲漏通道(主要為Cl—)的電阻;C為細胞膜電容;Cg為神經(jīng)元與外部耦合的樹突電容;G為可變離子K+通道憶阻器.根據(jù)文獻[24]，憶阻器G的特性可表示為G(n(t))gK[n(t)]4，這里gK為K+通道的最大電導，n(t)表示K+離子通道的激活概率，其與神經(jīng)元細胞膜電壓V(t)有關(guān):

圖1 神經(jīng)元及其電路模型 (a) 神經(jīng)元的結(jié)構(gòu);(b) 感性神經(jīng)元的經(jīng)典電路模型Fig.1.Neuron and its circuit model:(a) Structure of the neuron;(b) classical circuit model of the inductive neuron.

其中αn(V(t))0.01[10-V(t)]/[e[10-V(t)]/10-1]，βn(V(t))0.125e-[V(t)/80].

假設電路在幅值為I的外部沖擊電流Iext(t)=Iδ(t)的作用下，流過電感的電流為IL(t)，對于節(jié)點A，根據(jù)基爾霍夫電流定律以及Dirac 函數(shù)δ(t)的特點，可得

上式中只要知道膜電感L、膜電容C、恒定滲漏通道的電阻R、可變離子通道憶阻器的電導G以及外部沖擊電流的幅值I，便可以通過數(shù)值方法求解膜電感電流IL(t)，然后利用V(t)=LdIL(t)/dt得到膜電壓.

2.2 量子化電路模型

為了研究感性神經(jīng)元介觀電路模型的量子化特性，需要對介觀電路模型進行正則量子化.然而，當存在電阻和憶阻器等耗散元件時，正則量子化中的拉格朗日方程不滿足時間可逆性和平移對稱性.為了解決該問題，利用由電感和電容組成的Caldeira-Leggett 諧振子電路模型[33]來描述介觀系統(tǒng)在耗散過程下的動力學特征.以節(jié)點A為原點，以流經(jīng)憶阻器的電流為x軸正方向，分別將憶阻器G和電阻R用M和N個長度為Δxm和Δxn的Caldeira-Leggett 諧振子等效電路代替，得到感性神經(jīng)元的介觀電路模型如圖2 所示.其中，φm(t)，c0(t)和l0(t)分別為憶阻器等效電路中第m個節(jié)點磁通、單位長度的電容和電感;(t)，c1(t)和l1(t)為電阻等效電路中第n個節(jié)點磁通、單位長度的電容和電感;φ0(t)為節(jié)點A處的磁通;φs(t)為激勵源處的節(jié)點磁通.取x=0 處的φ0(t)作為廣義坐標，則系統(tǒng)的拉格朗日量為

圖2 感性神經(jīng)元的介觀電路模型Fig.2.Mesoscopic circuit model of the inductive neuron.

此時外部激勵可以表示為Iext(t)Cg(d2φs/dt2-d2φ0/dt2).這里φ0(t)可利用輸入波函數(shù)φin(t)表示為[24]

聯(lián)立(6)式和(7)式，可得

忽略節(jié)點磁通φ0(t)的高頻分量，其量子化分解為

將外部輸入電流Iext(t)在頻域分解為

聯(lián)立(8)式、(9)式和(10)式，輸出量子湮滅算符可用輸入量子湮滅算符表示為

其中 I m[·]表 示取函數(shù)的虛部;f(t)的表達式為

在感性神經(jīng)元的經(jīng)典電路模型中，根據(jù)IL(t)φ0(t)/L，利用KCL 可得

其中G=1/Z0，R=Z1.對比(8)式和(14)式，當dφin(t)/dt0時，介觀電路和經(jīng)典電路模型的表達式相同.根據(jù)

當考慮真空態(tài)時，〈0|ain(ω)|0〉0，〈0|φin(t)|0〉0，V(t)〈0|dφout(t)/dt|0〉，介觀電路中的細胞膜電壓將低于經(jīng)典電路中的值.從物理意義上，在神經(jīng)元介觀電路中，磁通的波動性不可以忽略，當電路的尺度增大至宏觀尺度時，波動性可以忽略，即dφin(t)/dt0，此時介觀電路模型可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典電路模型.

3 分 析

對于經(jīng)典和介觀電路模型，選取與文獻[5]和文獻[28]相同的槍烏賊神經(jīng)元參數(shù):C=1 μF，L=200 mH，Z0=1/G(n(t))=1/[gKn(t)4]，gK=36 mS，Z1=R=400 Ω，由于感性神經(jīng)元介觀電路模型的膜電壓響應表達式中靜息電位并不出現(xiàn)，簡單起見，在經(jīng)典電路和介觀電路模型中均取靜息電位為0，這樣并不會改變神經(jīng)元的動力學響應，只會使膜電壓響應發(fā)生偏移.參考文獻[24]以及本文所提方法，在幅值為1 mA 的外部沖擊激勵下，可以分別得到傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元以及本文感性神經(jīng)元在經(jīng)典電路模型和介觀電路模型中膜電壓V(t)和K+電導G(t)的響應，如圖3 所示.由圖3(a)和圖3(b)可見，傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元在經(jīng)典和介觀電路模型下的膜電壓均會先瞬間達到峰值，最后逐漸減小至零值的靜息狀態(tài);K+電導的穩(wěn)定值都在0.40 mS 附近.在經(jīng)典電路模型中，膜電壓峰值為Vp-c=1000 mV，而在介觀電路模型中，膜電壓峰值為Vp-m=863 mV.神經(jīng)元接受刺激時，動作電位會先上升發(fā)生去極化過程，然后會逐漸下降經(jīng)歷復極化過程，傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元的經(jīng)典電路和介觀電路模型都不能反映這一特征.由圖3(c)和圖3(d)可見，感性神經(jīng)元在經(jīng)典電路和介觀電路模型下的膜電壓都會先增大后減小，最后達到零值的靜息狀態(tài)，能反應神經(jīng)元受刺激后的動作電位變化特征.兩種模型下的K+電導的穩(wěn)定值都在0.40 mS 附近.在經(jīng)典電路模型中，膜電壓達到峰值Vp-c=226.90 mV 所需的時間為Tr-c=0.52 ms.而介觀電路模型中，膜電壓達到峰值Vp-m=119.94 mV 所需的時間為Tr-m=0.29 ms，這與實驗中槍烏賊軸突在受到刺激后膜電壓達到峰值96.80 mV 所需的時間0.28 ms[5]更接近，說明考慮細胞膜電感、可變離子通道的憶阻器特征時，利用介觀電路模型更能反應神經(jīng)元的動力學行為.

圖3 沖擊輸入下神經(jīng)元的動力學響應 (a)，(b) 分別為傳統(tǒng)HH 單離子通道神經(jīng)元經(jīng)典和介觀電路模型下膜電壓(藍色)和K+電導(紅色)隨時間變化的曲線;(c)，(d) 分別為感性神經(jīng)元經(jīng)典和介觀電路模型下膜電壓(藍色)和K+電導(紅色)隨時間變化的曲線;(e)，(f) 分別為感性神經(jīng)元經(jīng)典和介觀電路模型下膜電壓的時頻功率密度譜圖Fig.3.Dynamic response of a neuron under impulse input:(a)，(b) The curves of membrane voltage (blue) and K+ conductivity(red) versus time obtained by solving classical and mesoscopic circuit models of the traditional HH single ion-channel neuron，respectively;(c)，(d) the curves of membrane voltage (blue) and K+ conductivity (red) versus time obtained by solving the classical and mesoscopic circuit models of the inductive neuron，respectively;(e)，(f) the time-frequency spectrogram of the membrane voltage obtained by solving the classical and mesoscopic circuit models of the inductive neuron，respectively.

圖3(e)和圖3(f)分別為經(jīng)典和介觀電路模型下對膜電壓進行短時傅里葉變換后的時頻圖.從圖3(e)和圖3(f)中可以看出，神經(jīng)元受到刺激后的能量主要集中在0—30 Hz 的頻段，與人的腦電頻率范圍一致.兩種電路模型中各頻率分量的功率譜密度先增大后減小.在經(jīng)典電路模型中，各頻率分量在t=0.53 ms 時達到能量最大值;功率譜密度的范圍為580—1160 mV2/Hz;各頻率分量的功率譜密度在t=7.30 ms 時衰減為1 mV2/Hz.在介觀電路模型中，各頻率分量在t=0.29 ms 時達到能量最大值;功率譜密度的最大值在161.3—322.5 mV2/Hz 的范圍內(nèi);各頻率分量的功率譜密度在t=1.14 ms 時衰減為1 mV2/Hz.這表明當考慮神經(jīng)元的量子特性時，神經(jīng)元受刺激后低頻段的能量并不高，并且持續(xù)的時間更短.

由于膜電壓峰值及達峰時間可在一定程度上衡量神經(jīng)元對外部刺激的興奮程度和響應速度[34]，以下基于感性神經(jīng)元介觀電路模型，研究膜電壓峰值及達峰時間與外部激勵的強度、神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的關(guān)系.取L=200 mH 和C=1 μF，繪出Vp-m和Tr-m隨I和R的變化曲線如圖4(a)和圖4(b)所示;取R=400 Ω 和C=1 μF，繪出Vp-m和Tr-m隨I和L的變化曲線如圖4(c)和圖4(d)所示;取R=400 Ω 和L=200 mH，繪出Vp-m和Tr-m隨I和C的變化曲線如圖4(e)和圖4(f)所示.由圖4可見，隨著外部激勵強度I的增加，Vp-m將增大，而Tr-m將減小，這說明外部刺激的增強會使神經(jīng)元在更短的時間內(nèi)達到更高的興奮度.另外，Vp-m隨著R的增大而逐漸增大到某穩(wěn)定值;隨著L和C的增大而逐漸減小到某穩(wěn)定值.Tr-m隨著R，L和C的增大而逐漸增大到某穩(wěn)定值.這里將dVp-m/dR，dVp-m/dL，dVp-m/dC，dTr-m/dR，dTr-m/dL和dTr-m/dC定義為膜電壓峰值及達峰時間對神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的靈敏度，表1 給出了各參數(shù)靈敏度的計算結(jié)果.當I相同時，Vp-m和Tr-m對C的變化最靈敏，對R的變化最不靈敏;隨著I的增加，Vp-m對R，L和C的靈敏度均增大，Tr-m對R，L和C的靈敏度均減小.以上結(jié)果說明，神經(jīng)元受刺激后，其興奮程度和響應速度最容易受膜電容的影響;隨著外部刺激增強，神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)對神經(jīng)元興奮程度的影響越大，對響應速度的影響越小.

圖4 感性神經(jīng)元介觀電路模型中膜電壓輸出響應與外部激勵和神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的關(guān)系 (a)，(c)，(e) 分別為Vp-m 隨I，R，L 和C 的變化曲線;(b)，(d)，(f)分別為Tr-m 隨I，R，L 和C 的變化曲線Fig.4.The relationship between the output response of the membrane voltage in the mesoscopic circuit model of inductive neuron and the external excitation and the internal parameters of the neuron:(a)，(c)，(e) The dependence curves of Vp-m on I，R，L and C，respectively;(b)，(d)，(f) the dependence curves of Tr-m on I，R，L and C，respectively.

表1 感性神經(jīng)元的Vp-m 和Tr-m 對神經(jīng)元內(nèi)部參數(shù)的靈敏度Table 1.Sensitivity of Vp-m and Tr-m of the inductive neuron to the internal parameters.

4 結(jié)論

本文利用神經(jīng)元細胞膜電感、膜電容、K+憶阻器和Cl—電阻建立了經(jīng)典電路模型;利用由電感和電容組成的Caldeira-Leggett 諧振子表征K+憶阻器和Cl—電阻在耗散過程下的動力學特征，建立了神經(jīng)元介觀電路模型.研究了神經(jīng)元介觀電路中膜電壓的量子化分析方法，即首先將節(jié)點磁通選為廣義坐標，利用Euler-Lagrange 方程求出在外部激勵下節(jié)點磁通隨時間的變化方程;然后，對節(jié)點磁通進行量子化分解;最后，利用節(jié)點磁通對時間的導數(shù)計算出膜電壓.

對比分析了經(jīng)典電路模型和介觀電路模型在外部沖擊激勵下，細胞膜電壓和K+電導的響應特性.結(jié)果表明，兩種模型下膜電壓均先增大后減小，最后達到零值的靜息狀態(tài)，且能量主要集中在與腦電頻率接近的范圍內(nèi).相較于經(jīng)典電路模型，利用介觀電路模型得到的反應神經(jīng)元受刺激后興奮度的膜電壓峰值較低，達到峰值所需的時間也較短，與槍烏賊軸突的實驗結(jié)果基本一致.基于對神經(jīng)元介觀電路模型的分析可知，隨著外部刺激的增強，神經(jīng)元能在更短的時間達到更興奮的狀態(tài);神經(jīng)元膜電壓響應對膜電容的變化最為靈敏，對恒定離子電阻的變化較不靈敏.神經(jīng)元介觀電路模型對于推動腦科學朝定量、精確和理論化體系發(fā)展，弄清人腦功能的機理，建立人類認知過程的微結(jié)構(gòu)理論等具有重要意義.