忽建蕊

云南現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院，中國·云南 楚雄 675000

1 引言

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件，也是控制系統(tǒng)的一個重要性能指標(biāo)。一個控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外部和內(nèi)部一些因素的干擾，如負(fù)載的變化，電源的波動。系統(tǒng)參數(shù)的飄移，環(huán)境條件的改變等。一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，受到擾動作用后會偏離原來的平衡狀態(tài)，但擾動消失后，隨著時間的推移能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，會在任何微小的擾動作用下偏離原有的狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散，也就是說系統(tǒng)不會依靠自身的調(diào)節(jié)達到穩(wěn)定狀態(tài)。

系統(tǒng)穩(wěn)定性是擾動消失后系統(tǒng)自身的一種恢復(fù)能力，是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件及外作用無關(guān)。但系統(tǒng)中的參數(shù)或結(jié)構(gòu)究竟應(yīng)取怎樣的數(shù)值或結(jié)構(gòu)才能滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求，僅用定性分析是解決不了的，這時可以采用數(shù)學(xué)方法來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即直接法。通過特征根的實部正負(fù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1]。

2 直接法判定

假設(shè)系統(tǒng)的輸入量只有擾動作用D(t)，擾動作用下的輸出為C(t)，則系統(tǒng)的微分方程的一般式為：

根據(jù)穩(wěn)定性概念可知，研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，就是研究系統(tǒng)在擾動消失以后的運動情況。因而，可以從研究上式微分方程的等號右邊為零時的情況入手，即研究上式微分方程的齊次方程：

該齊次方程的解就是擾動作用過后系統(tǒng)的運動過程。因此，若此解是收斂的，則該系統(tǒng)便是穩(wěn)定的；若此解是發(fā)散的，則該系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。

由高等數(shù)學(xué)可知，解齊次微分方程，首先應(yīng)求解它的特征方程，即：

當(dāng)求得了特征方程的根s1,s2,...,sn時，就得到齊次微分方程解的一般式，即：

式中，c1,c2,...,cn是積分常數(shù)。特征方程的根可能是實根，也可能是復(fù)根。

①如果特征方程有一個實根s=a，則齊次微分方程的解為c(t)=ceat，它表示擾動消失以后的運動過程是指數(shù)曲線形式的非周期性變化過程。由高等數(shù)學(xué)可知，若a 為負(fù)數(shù)，則當(dāng)t→∞時，c(t)→ 0，說明系統(tǒng)的運動是衰減的，并最終返回原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若 a 為正數(shù)，則當(dāng)t→∞時c(t)→∞，說明系統(tǒng)的運動是發(fā)散的，不能返回原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

②如果特征方程有一對復(fù)數(shù)根S=a±jw，則齊次微分方程的解為：

它表示系統(tǒng)在擾動消失以后的運動過程是一個周期性振蕩過程。此時，若a 是負(fù)數(shù)，則當(dāng)t→∞時c(t)→∞是個衰減振蕩過程，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若a是正數(shù)，則當(dāng)t→∞時c(t)→∞，是個發(fā)散振蕩過程，即系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

3 間接法判定

3.1 利用代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性

系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)很多，其中勞斯——赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)是一種非常快捷方便的代數(shù)判定方式，它是一種根據(jù)閉環(huán)特征方程的系數(shù)來確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)方法。

若已知線性系統(tǒng)的特征方程為：

則由特征方程的系數(shù)可排成下列的行列式。此行列式的特點是：第一行為第二項，第四項等偶數(shù)項的系數(shù)，第二行則為第一項，第三項等奇數(shù)項的系數(shù)；第三行、四行則重復(fù)第一行，第二行的排列，但向右移動一列，前一列則以0數(shù)代替；以下各行以此類推，換句話說，主對角線上的元素為a n?1,an?2,...a1,a0，其他列上的元素為從上至下升冪排列，不足項用0 填補。式中， Δ1,Δ2,Δ3,...Δn?1,代表各子行列式。

勞斯——赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的結(jié)論為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要的條件是：

①系統(tǒng)的特征方程的各項系數(shù)a n,an?1,...a1,a0，均為正值。

②主行列式Δn和各子行列式Δ1, Δ2,Δ3,...Δn?1,的值均大于零。

3.2 利用頻域判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性

3.2.1 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特曲線判定穩(wěn)定性

理論上可以證明，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性與閉環(huán)穩(wěn)定性之間存在某種確切的相互關(guān)系[2]。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)這種關(guān)系，通過開環(huán)奈奎斯特曲線來判別系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性的。

假設(shè)n 階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中，K*為根軌跡增益；Sj是M(S)=0 的根，稱為開環(huán)零點；Si是N(S)=0 的根，稱為開環(huán)極點；λ是開環(huán)傳遞函數(shù)中所含純積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，可能有，也可能不止一個。

設(shè)從N(S)=0 解得的全部開環(huán)極點（也叫開環(huán)特征根）中有P 個位于S 平面右半部（正實部極點，也稱開環(huán)不穩(wěn)定根）。

①若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（P=0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍（-1，j0）點，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

②若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（P ≠0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)奈奎斯特曲線逆時針包圍（-1，j0）點的圈數(shù)K=P/2，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。規(guī)定：K=K+?K?，開環(huán)奈奎斯特曲線在（-1，j0）點左邊的負(fù)實軸上，由上向下穿越負(fù)實軸的次數(shù)為K+，由下向上穿越負(fù)實軸的次數(shù)為K-。

③無論系統(tǒng)開環(huán)是否穩(wěn)定，若開環(huán)奈奎斯特曲線穿越（-1，j0）點，則閉環(huán)系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定。

3.2.2 根據(jù)系統(tǒng)的半對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode 圖）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果系統(tǒng)有P 個開環(huán)右極點，則該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是當(dāng)W=0 →∞時，在半對數(shù)坐標(biāo)圖的幅頻特性L(W)＞0dB的頻段內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線穿越-180°線的正負(fù)穿越次數(shù)之差應(yīng)等于P/2，即K=K+-K-=P/2，否則閉環(huán)不穩(wěn)定。規(guī)定：半對數(shù)坐標(biāo)圖的對數(shù)相頻曲線從下向上穿越-180°線的次數(shù)為正穿越次數(shù)，用K+表示；從上向下穿越的次數(shù)為負(fù)穿越次數(shù)，用K-表示。如果λ ≠0，需要從對數(shù)相頻曲線的起點向0°線方向補畫一段角度等于λg（-π/2）的虛線。

4 MATLAB 工具軟件輔助判定

以上各種判定方法并不復(fù)雜難懂，適用于中低階系統(tǒng)，但對于高階系統(tǒng)求解高階方程和描畫各種圖形時比較煩瑣。如果采用MATLAB 工具軟件來輔助判定穩(wěn)定性，一切就變得簡單容易起來。下面介紹MATLAB 在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用方法[3]。

4.1 根據(jù)閉環(huán)極點（特征根）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在MATLAB中，可用roots函數(shù)直接求取系統(tǒng)的特征根，其調(diào)用格式是：roots（C）。

式中C 為多項式系數(shù)向量，由高階向低階順序列寫，0 系數(shù)也不可省略。若多項式為：D(X)=C0X n+C1Xn?1+ ...+C n?1X+Cn，其中C=[C0,C1,C2,...C n?1,Cn]，那么根據(jù)程序執(zhí)行結(jié)果中特征根的實部的正負(fù)即可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4.2 利用穩(wěn)定裕度判定系統(tǒng)穩(wěn)定性

利用Margin()函數(shù)可以計算給定線性系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度。該函數(shù)的調(diào)用格式是：[Gm,Pm,Wg,Wc]=margin(g)。式中，[Gm,Wg]為幅值裕度及對應(yīng)頻率；[Pm，Wc]為相位裕度及對應(yīng)頻率，g 是給定系統(tǒng)模型。很顯然，根據(jù)穩(wěn)定裕度的定義，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，必然存在Gm＞1，Pm＞0°；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，則Gm＜1，Pm＜0°。

5 結(jié)語

工程上對系統(tǒng)性能進行分析的主要內(nèi)容是穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)性能分析和動態(tài)性能分析。其中，最重要的性能是穩(wěn)定性，這是因為任何系統(tǒng)要想能夠正常工作，首先它必須是穩(wěn)定的。在判定穩(wěn)定性的方法中直接法是通過求解特征根，利用特征根的實部正負(fù)進行判定，這種方法較適用于中低階系統(tǒng)，對于高階系統(tǒng)求解特征根過程煩瑣；間接法通過代數(shù)判據(jù)和頻域判據(jù)進行判定，其中頻域判據(jù)應(yīng)用方便、直觀，而且從圖形上還可以直觀地看出系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，即系統(tǒng)離“穩(wěn)定邊界”的“距離”。MATLAB 工具軟件輔助判定法不僅可以減輕系統(tǒng)分析的工作量和任務(wù)難度，而且大大提高了工作效率和分析精度，是一種簡單實用的有效方法。