趙玉峰, 張 淼

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

隨著高溫超導(dǎo)材料在眾多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，裂紋的擴(kuò)展問題已經(jīng)成為重要的課題之一.由于高溫超導(dǎo)體處于強(qiáng)電磁場(chǎng)下，會(huì)產(chǎn)生較大的洛倫茲力[1-4]，會(huì)導(dǎo)致高溫超導(dǎo)材料的斷裂，所以其力學(xué)性能在一定程度上會(huì)限制高溫超導(dǎo)材料的應(yīng)用.國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有眾多學(xué)者研究了高溫超導(dǎo)材料的斷裂的問題，Zhou等[5]研究了磁場(chǎng)作用下超導(dǎo)體的斷裂行為，介紹了用于零場(chǎng)冷卻和場(chǎng)冷卻超導(dǎo)體的應(yīng)力強(qiáng)度因子.Yong等[6]不同的裂紋問題考慮到裂紋對(duì)電流分布的影響，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力強(qiáng)度因子不是裂紋長(zhǎng)度的單調(diào)函數(shù).趙玉峰等[7]研究了在不同條件下裂紋和夾雜的相互作用.但以上的研究主要都是以靜態(tài)裂紋為主，超導(dǎo)體經(jīng)常受到動(dòng)態(tài)磁場(chǎng)的影響，其動(dòng)態(tài)斷裂行為卻很少受到科學(xué)界的關(guān)注.Gao等[8]研究了高溫超導(dǎo)體中Ⅰ型裂紋的動(dòng)態(tài)斷裂因子，表明增加高溫超導(dǎo)體的厚度有利于降低動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值.Yong等[9]研究了高溫超導(dǎo)體在洛倫茲力作用下的動(dòng)態(tài)斷裂問題，表明對(duì)于邊緣裂紋問題，較小的裂紋長(zhǎng)度會(huì)導(dǎo)致較大的動(dòng)態(tài)應(yīng)變能釋放率.以上研究的不足之處是沒有考慮到高溫超導(dǎo)材料的特性之一的磁通粘滯流動(dòng)，而磁通粘滯流動(dòng)對(duì)俘獲磁場(chǎng)的影響是明顯的.

Anderson[10]研究了在超導(dǎo)體內(nèi)部存在的磁通流，并且引入磁通蠕變的概念.之后，Kim等[11]研究了在高磁通速度下，類流體的速度受到粘性的影響.由以上研究可知，磁通粘滯流動(dòng)的存在必然會(huì)改變材料內(nèi)部的磁通變化，從而導(dǎo)致洛倫茲力的變化，進(jìn)而影響含有裂紋的超導(dǎo)材料的應(yīng)力強(qiáng)度子.Zhao等[12]研究了磁通粘滯流動(dòng)對(duì)超導(dǎo)體中心裂紋的影響，磁通粘滯流動(dòng)的存在改變了裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子.基于以上文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)沒有關(guān)于磁通粘滯流動(dòng)對(duì)于動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展問題的研究.本文通過平面應(yīng)變方法和有限元理論，研究了磁通粘滯流動(dòng)對(duì)含有中心裂紋的高溫超導(dǎo)材料的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.

1 幾何模型和基本方程

假設(shè)圓柱體的超導(dǎo)材料模型，中心有一貫穿的裂紋，將其置于下降的外磁場(chǎng)中，以裂紋中點(diǎn)為原點(diǎn)，裂紋擴(kuò)展方向?yàn)閤軸，在圓柱的橫截面內(nèi)垂直于裂紋的方向?yàn)閥軸，過原點(diǎn)垂直于圓柱橫截面為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.外磁場(chǎng)為Ba，其方向平行于z軸，超導(dǎo)材料的直徑為2R，中心裂紋的長(zhǎng)度為2a.假設(shè)超導(dǎo)材料足夠長(zhǎng)，不考慮退磁效應(yīng)的影響，并且假設(shè)高溫超導(dǎo)體為各項(xiàng)同性材料，則此問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題.

首先確定磁通量分布[13]的表達(dá)式為

(1)

式中:B是超導(dǎo)體內(nèi)的俘獲場(chǎng);Jc是臨界電流密度，在Bean模型下，Jc為常數(shù)，?號(hào)表示超導(dǎo)體中磁場(chǎng)的斜率;φ0是磁通量子;η是與磁通運(yùn)動(dòng)相關(guān)的粘度系數(shù);v是局部磁通流動(dòng)速度.

根據(jù)圓柱的磁通連續(xù)性方程可以表示如下：

(2)

根據(jù)Liu等[14]的研究，假設(shè)其中v0是由外磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化確定的恒定通量流速，顯然B(r,t)=B(ξ)，ξ=r-v0t，其中v0是由外磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化dBa/dt確定的恒定通量流量，顯然B(r-v0t)是v=v0時(shí)式(2)的解.

基于臨界態(tài)Bean模型[15]，定義完全穿透場(chǎng)為Bp=μ0JcR，由于裂紋的擴(kuò)展出現(xiàn)在磁場(chǎng)的下降階段，因此本文只分析降場(chǎng)階段，外磁場(chǎng)從Bm降至0的過程中磁通密度分布為

式中

超導(dǎo)圓柱體中心裂紋部分，即0

(6)

由式(3)和式(6)可知超導(dǎo)圓柱的洛倫茲力是隨時(shí)間變化的，其關(guān)系為

(7)

裂紋尖端的應(yīng)力是奇異的，根據(jù)裂紋擴(kuò)展時(shí)的能量釋放率定義J積分,可以采用式(8)定義[17]

(8)

式中：Γ為從裂紋底表面開始頂表面結(jié)束的封閉曲線；W為應(yīng)變能密度；T為作用在積分曲線上的力；u為積分曲線的位移.在合力的作用下，中心裂紋為張開型裂紋，應(yīng)力強(qiáng)度因子可以通過式(9)得到[18]

(9)

式中:ν為泊松比，取為0.3；E為楊氏模量，取為80 GPa.

2 結(jié)果及分析

使用有限元ABAQUES軟件，在裂紋尖端附近的區(qū)域采用六節(jié)點(diǎn)二次單元，其他區(qū)域采用八節(jié)點(diǎn)二次單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖1所示.由于幾何模型和受到載荷具有對(duì)稱性，因此只分析I型動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子KΙ，動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子通過式(10)正則化

圖1 圓柱的有限元網(wǎng)格劃分Fig.1 Finite element mesh generation of cylinder

(10)

式中

(11)

當(dāng)最大外磁場(chǎng)為Bm=4μ0JcR時(shí)，取圓柱上一點(diǎn)進(jìn)行磁場(chǎng)分析，圓柱內(nèi)部的磁場(chǎng)的變化如圖2所示.由圖可知，隨著時(shí)間從0 s增大到2 s時(shí)，處在非活躍區(qū)域的磁場(chǎng)是不變的，而處在活躍區(qū)域部分的磁場(chǎng)隨時(shí)間線性降低.磁通粘滯流動(dòng)速度的變大，不會(huì)影響非活躍區(qū)域俘獲磁場(chǎng)的大小，而會(huì)增大磁場(chǎng)進(jìn)入活躍區(qū)域的時(shí)間.并且發(fā)現(xiàn)，磁通粘滯流動(dòng)速度改變了活躍區(qū)域的磁場(chǎng)下降的速率，磁通粘滯流動(dòng)速度越大，下降的速率越大.由此可知，磁通粘滯流動(dòng)對(duì)超導(dǎo)圓柱磁場(chǎng)分布的影響是顯著的，在對(duì)于超導(dǎo)體的研究中，這一點(diǎn)是不能忽略的.

圖2 超導(dǎo)圓柱內(nèi)在不同時(shí)刻的磁通分布

由于降場(chǎng)時(shí)，活躍區(qū)域產(chǎn)生了對(duì)材料的拉應(yīng)力，而非活躍區(qū)域依然保持壓應(yīng)力.如圖3所示，當(dāng)t=0.75 s時(shí)，圓柱內(nèi)部的體力.圖3a表示0.1

圖3 超導(dǎo)圓柱內(nèi)的體力分布Fig.3 Distribution of physical force in superconducting cylinder

圖4表示了在外磁場(chǎng)下降的過程中，改變磁通粘滯流動(dòng)速度會(huì)對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值產(chǎn)生較為顯著的影響.外磁場(chǎng)下降初，圓柱內(nèi)部的壓力是大于拉力的，則合力產(chǎn)生了負(fù)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，不影響裂紋的擴(kuò)展.隨著時(shí)間的增大，發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)圓柱內(nèi)部的拉力逐漸超過壓力，這時(shí)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子變?yōu)檎?，并且在增大到峰值時(shí)，又開始下降，這是因?yàn)橥獯艌?chǎng)的下降，導(dǎo)致俘獲場(chǎng)降低的緣故.從圖中發(fā)現(xiàn)，磁通粘滯流動(dòng)速度v0/R=1和v0/R=0.5時(shí)在0到0.8 s時(shí)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子還處在上升階段，而v0/R=2時(shí)，動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子在0.4 s已經(jīng)達(dá)到峰值，并且開始下降.由此可知，磁通粘滯流動(dòng)的存在改變了磁場(chǎng)下降過程所用的時(shí)間.當(dāng)磁通粘滯流動(dòng)速度增大，不僅提高了動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子上升的速率，而且也增大了動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值.

圖4 改變超導(dǎo)體磁通粘滯流動(dòng)速度，動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨時(shí)間的變化Fig.4 The dynamic stress intensity factor (DSIF) changes with time when the flux viscous flow velocity is changed

圖5是高溫超導(dǎo)體中裂紋長(zhǎng)度對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.通過圖中曲線可以看出，裂紋長(zhǎng)度的改變并不影響整個(gè)過程動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化趨勢(shì)，但是值得注意的是，每條曲線應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值都在同一時(shí)間產(chǎn)生，并且裂紋長(zhǎng)度的改變會(huì)使動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子增大.在動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子上升的過程中，斜率是緩慢下降的，即動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子上升速率是緩慢下降的.中心裂紋長(zhǎng)度的不同，對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響是顯著的.通過圖4與圖5的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)裂紋長(zhǎng)度為0.4時(shí)，動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值已經(jīng)達(dá)到6.2.而當(dāng)裂紋長(zhǎng)度不變時(shí)，磁通粘滯流動(dòng)速度的改變使動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子強(qiáng)度因子的峰值最高達(dá)到了3.即裂紋的長(zhǎng)度對(duì)于動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響更顯著.

圖5 不同裂紋長(zhǎng)度對(duì)高溫超導(dǎo)體動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.5 Effect of different crack length on dynamic stress intensity factor

圖6是最大外磁場(chǎng)Bm對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.最大外磁場(chǎng)的大小，會(huì)影響動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值，并且影響產(chǎn)生峰值的時(shí)間，最大外磁場(chǎng)越小，產(chǎn)生的峰值越低，達(dá)到峰值所需要的時(shí)間也越小，反之亦然.最大外磁場(chǎng)的大小和磁通粘滯流動(dòng)速度決定了磁場(chǎng)下降過程中所用的時(shí)間，當(dāng)磁通粘滯流動(dòng)速度不變時(shí)，較大的外磁場(chǎng)實(shí)際上增大了整個(gè)過程的時(shí)間，進(jìn)而推遲了動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到峰值的時(shí)間，圖6恰恰驗(yàn)證了這一過程.

圖6 最大外磁場(chǎng)對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響Fig.6 Effect of maximum external magnetic field on dynamic stress intensity factor

3 結(jié)論

本文研究了在磁通粘滯流動(dòng)的作用下，外磁場(chǎng)降低的過程中，高溫超導(dǎo)圓柱的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨時(shí)間的變化.通過計(jì)算可知：

1) 磁通粘滯流動(dòng)速度會(huì)改變磁場(chǎng)活躍區(qū)域下降的速率.

2) 高溫超導(dǎo)體裂紋長(zhǎng)度的改變，對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子上升的速率有顯著的影響.

3) 磁通粘滯流動(dòng)速度的增大會(huì)提高動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的峰值，并且會(huì)增大超導(dǎo)圓柱裂紋的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子升高的速率.