王凱峰，張保成，苗 雨，鄧子偉

(中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院 機(jī)電工程系，山東 青島 266100)

0 引 言

浮子是波浪能發(fā)電裝置的重要組成部分。為優(yōu)化浮子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，需要建立以浮子獲能性能評(píng)價(jià)指標(biāo)為基礎(chǔ)的目標(biāo)函數(shù)。傳統(tǒng)上，一般以最大俘獲功率、共振頻率和俘獲帶寬作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。但是，這3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)往往無(wú)法同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，需進(jìn)一步確定最佳浮子參數(shù)組合。唐澤成[1]、SHAMI等[2]、SHADMAN等[3]在優(yōu)化波浪能發(fā)電裝置時(shí)采用最大俘獲功率、共振頻率和俘獲帶寬等3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算不同尺寸參數(shù)的浮子對(duì)其的響應(yīng)，再通過(guò)優(yōu)化響應(yīng)器(如minitab、taguchi)確定最佳參數(shù)組合。為解決各評(píng)價(jià)指標(biāo)難以權(quán)衡的問(wèn)題，可采用單一評(píng)價(jià)指標(biāo)。史宏達(dá)等[4]、程正順[5]、張亮等[6]、肖曉龍等[7]、RODRGUEZ等[8]用俘獲寬度比(波浪能發(fā)電裝置平均俘獲功率與裝置結(jié)構(gòu)寬度范圍內(nèi)波浪入射功率的比值)來(lái)衡量波浪能裝置俘獲波浪能能力的強(qiáng)弱。何光宇[9]用響應(yīng)幅值算子(Response Amplitude Operator,RAO)作評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)衡量浮子對(duì)波浪能的采集能力。PISCOPO等[10]以年效率作為波浪能發(fā)電裝置獲能性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)。SJ?KVIST等[11]用垂直方向浮子與波浪速度比來(lái)衡量浮子的獲能性能。GOGGINS等[12]以有義速度為評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)優(yōu)化浮子結(jié)構(gòu)參數(shù)。SON等[13]使用浮子RAO與俘獲寬度比作為評(píng)價(jià)浮子性能的指標(biāo)。

可見(jiàn)，前人大多采用多目標(biāo)優(yōu)化方法或?qū)で笥行У膯我辉u(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)開(kāi)展該問(wèn)題研究。然而，采用多目標(biāo)優(yōu)化的方式難以使多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，且所使用的評(píng)價(jià)指標(biāo)中不包含海況信息，無(wú)法反映不同海況浮子的適用性。

本文基于前人的研究，利用浮子頻域運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)一種能綜合考慮海況與浮子俘獲功率的浮子獲能評(píng)價(jià)指標(biāo)，以全面評(píng)價(jià)海況和浮子的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)浮子獲能的影響，為浮子的結(jié)構(gòu)選型及參數(shù)優(yōu)化提供目標(biāo)函數(shù)。

1 浮子運(yùn)動(dòng)方程

浮子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有垂蕩、縱蕩和縱搖等3種，垂蕩運(yùn)動(dòng)[14]是浮子獲能的主要方式，其他運(yùn)動(dòng)對(duì)獲能貢獻(xiàn)較小。為簡(jiǎn)化優(yōu)化過(guò)程，只考慮浮子的垂蕩運(yùn)動(dòng)。浮子與功率輸出(Power Take Off，PTO)系統(tǒng)連接，PTO系統(tǒng)由彈性元件和阻尼元件組成。采用圓柱形浮子可忽略由波浪方向不同造成的差異。依據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)理論建立垂蕩浮子運(yùn)動(dòng)的物理模型，如圖1所示。

圖1 單個(gè)裝置結(jié)構(gòu)示例

由于浮子垂蕩運(yùn)動(dòng)范圍遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，因此基于微幅波理論建立浮子運(yùn)動(dòng)方程[15]為

(1)

式中：Ms為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；Mh為波浪作用下的附加質(zhì)量矩陣；X為RAO；C為系統(tǒng)總的阻尼矩陣；Ks為總的系統(tǒng)剛度矩陣；F為浮子受到的外部波浪力。

假定波浪能俘獲裝置的PTO阻尼為線性阻尼，且主要考慮浮子的垂蕩運(yùn)動(dòng)獲能，則垂向運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

(2)

式中：Ms為浮子質(zhì)量；Mh為波浪附加質(zhì)量；Z為垂蕩運(yùn)動(dòng)幅值；RPTO為PTO系統(tǒng)阻尼系數(shù)；N為垂蕩輻射阻尼系數(shù)；K為靜水恢復(fù)力系數(shù)；Fe為物體所受垂蕩方向上的波浪激勵(lì)力。

因而浮子的垂蕩頻響為

(3)

式中：A為入射波波幅；ω為入射波頻率。

浮子垂蕩速度計(jì)算式為

(4)

2 能量俘獲性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

2.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)推導(dǎo)

浮子吸收功率譜反映浮子在單位波幅(a(ω)=1)入射波激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。在隨機(jī)波條件下，浮子系統(tǒng)的吸收功率PR為

(5)

俘獲功率譜是指在單位波幅(a(ω)=1)入射波激勵(lì)下的浮子獲能功率，波幅a(ω)計(jì)算式為

(6)

把單位波幅條件a(ω)=1代入式(5)可求得在特定頻率ωj下裝置浮子俘獲功率譜為

(7)

式(7)為能量俘獲譜函數(shù)表達(dá)式，可建立浮子俘獲功率譜以分析頻譜參數(shù)(共振頻率、共振帶寬和最大俘獲功率)。俘獲功率譜為浮子自身屬性，不包含海洋的波浪特征。

Ss(ω)為波浪動(dòng)態(tài)速度響應(yīng)譜，根據(jù)其定義，表達(dá)式為

Ss(ω)=(|H(iω)|ω)2S(ω)

(8)

式(8)包含波浪譜密度函數(shù)S(ω)。Ss(ω)可連接波浪參數(shù)與浮子獲能性能。根據(jù)有義波高的物理意義，定義有義速度VS為

(9)

把式(8)代入式(9)，并將其離散化可得：

(10)

式(10)包含浮子的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能|H(iω)|ω和波譜信息S(ω)Δω，可更全面地分析俘獲功率譜。但是，有義速度定義中不包括PTO阻尼系數(shù)，因此定義浮子獲能評(píng)價(jià)指標(biāo)f為

(11)

式中：D為水線處浮子結(jié)構(gòu)的直徑參數(shù)。

評(píng)價(jià)指標(biāo)f的定義包含PTO阻尼系數(shù)和有義速度，分母中的浮子直徑可用于比較不同尺寸浮子的獲能特性。

為了更好地理解該獲能指標(biāo)的意義，把式(7)和式(10)代入式(11)可得：

(12)

由式(12)可知，該獲能評(píng)價(jià)指標(biāo)表征俘獲功率譜和波譜在每個(gè)頻率下乘積的總和，可較為全面地反映2個(gè)譜函數(shù)的匹配程度，更利于考察浮子獲能能力。

2.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)與俘獲寬度比的關(guān)系

俘獲寬度比CW是評(píng)價(jià)波浪能發(fā)電裝置獲能效率的重要標(biāo)準(zhǔn)，其含義為

(13)

式中：Qw為裝置結(jié)構(gòu)寬度范圍內(nèi)入射波浪能量。根據(jù)式(11)、式(7)和式(13)，浮子獲能評(píng)價(jià)指標(biāo)、浮子俘獲功率、俘獲寬度比之間存在如下關(guān)系：

(14)

由式(14)可知，評(píng)價(jià)指標(biāo)f與俘獲寬度成正比，可將波能俘獲效率轉(zhuǎn)化為波譜與俘獲功率譜的匹配問(wèn)題，能更好地反映浮子獲能能力，且采用單一的評(píng)價(jià)指標(biāo)可以解決共振頻率、共振帶寬和最大俘獲功率等3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)難以權(quán)衡的困難。

3 新指標(biāo)實(shí)例分析

以新型浮子獲能評(píng)價(jià)指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，采用AQWA-ISIGHT聯(lián)合優(yōu)化的方式對(duì)浮子的直徑和吃水量進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化流程如圖2所示。以批處理程序作為接口，實(shí)現(xiàn)ISIGHT對(duì)水動(dòng)力分析軟件AQWA的調(diào)用，在MATLAB中讀取AQWA數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)響應(yīng)結(jié)果的計(jì)算[17]。

圖2 浮子參數(shù)優(yōu)化流程圖

3.1 海況信息

選定青島膠南市的齋堂島東南海域?yàn)閷?shí)際海況。楊忠良等[18]以該海域2013—2014年的實(shí)測(cè)波浪資料為基礎(chǔ)，以JONSWAP譜為基礎(chǔ)進(jìn)行擬合，得到該海域波浪譜的表達(dá)式為

(15)

式中：α為無(wú)因次風(fēng)區(qū)，其取值為0.006 2；ωp為譜峰頻率；σ為峰形參量，當(dāng)ω≤ω0時(shí)σ=0.07，當(dāng)ω>ω0時(shí)σ=0.09。齋堂島東南海域最大波高為5.3 m，最大周期為8.3 s，年平均有效波高為0.6 m，平均周期為3.3 s。

3.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種借鑒試驗(yàn)研究的思想進(jìn)行數(shù)值求解的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，可解決混合離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題。該方法利用正交試驗(yàn)安排搜索點(diǎn)，通過(guò)正交回歸設(shè)計(jì)直接得到優(yōu)化設(shè)計(jì)的搜索方向，所得方向與目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度方向吻合，無(wú)須對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，能大幅提高搜索效率，節(jié)省計(jì)算時(shí)間。以水動(dòng)力學(xué)性能較好的圓柱形浮子為例，采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)[19-20]的方法生成9組浮子尺寸。浮子尺寸范圍如表1所示。

表1 浮子尺寸范圍 m

利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)思想，構(gòu)造9組浮子結(jié)構(gòu)尺寸的設(shè)計(jì)結(jié)果作為初始樣本點(diǎn)，如表2所示，利用這9個(gè)樣本點(diǎn)生成響應(yīng)面模型(自變量的設(shè)計(jì)域)，之后在響應(yīng)面模型上尋優(yōu)。在ISIGHT的MATLAB組件中對(duì)這9組尺寸的浮子進(jìn)行浮子響應(yīng)計(jì)算。根據(jù)阻尼系數(shù)匹配理論選擇各個(gè)外形尺度下的最優(yōu)PTO阻尼系數(shù)，即當(dāng)PTO系統(tǒng)與浮子處于共振頻率時(shí)的輻射阻尼系數(shù)。

表2 響應(yīng)面模型樣本點(diǎn)

3.3 近似模型

響應(yīng)面法(Response Surface Methodology,RSM)可利用多項(xiàng)式函數(shù)擬合設(shè)計(jì)空間。基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)組的計(jì)算結(jié)果，采用RSM建立浮子的近似模型，流程如圖3所示。對(duì)浮子響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，得出響應(yīng)面等量線圖，如圖4～圖7所示。

圖3 近似模型構(gòu)建流程

圖4 最大功率響應(yīng)面等量線圖

圖5 共振帶寬響應(yīng)面等量線圖

圖6 固有周期響應(yīng)面等量線圖

圖7 目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面等量線圖

3.4 參數(shù)優(yōu)化

由響應(yīng)面結(jié)果可知，浮子最大俘獲功率與共振帶寬無(wú)法同時(shí)達(dá)到最大，因此以所求得的評(píng)價(jià)指標(biāo)f為目標(biāo)函數(shù)求浮子參數(shù)的最優(yōu)值。

NLPQL算法將目標(biāo)函數(shù)以二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并把約束條件線性化，通過(guò)解二次規(guī)劃得到下一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，然后根據(jù)2個(gè)可供選擇的優(yōu)化函數(shù)執(zhí)行一次線性搜索，其中Hessian矩陣由BFGS公式更新。將目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型在ISIGHT中利用NLPQL算法進(jìn)行優(yōu)化，算法公式為

(16)

式中：DU和DL分別為直徑D的上下限；LU和LL分別為吃水L的上下限。上述變量的值與表(2)中的值相同。最后，通過(guò)Optimization組件的計(jì)算，確定浮子在所設(shè)置范圍內(nèi)的最優(yōu)參數(shù)為直徑7.0 m、吃水1.8 m。

4 結(jié) 論

提出的浮子俘獲性能評(píng)價(jià)指標(biāo)以有義速度為基礎(chǔ)，用每個(gè)頻率下俘獲功率譜和波譜乘積的總和來(lái)表征浮子獲能能力，為浮子參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供更能反映特定海域波浪條件下浮子獲能綜合性能的目標(biāo)函數(shù)。進(jìn)一步以齋堂島東南海域海況為例，以該評(píng)價(jià)指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，基于AQWA-ISIGHT聯(lián)合仿真，對(duì)浮子的直徑與吃水進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。由結(jié)果可知，以該評(píng)價(jià)指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行浮子參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)可更好地反映浮子對(duì)工作海域波況的適應(yīng)性，驗(yàn)證了所提新型評(píng)價(jià)指標(biāo)在理論上的合理性。