陳玉香, 陳勝垚, 冉龍瑤, 席 峰

(南京理工大學電子工程與光電技術(shù)學院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

動態(tài)超表面天線(dynamic metasurface antenna, DMA)是近年來基于超材料發(fā)展的一種新型陣列天線。與傳統(tǒng)微帶線饋電陣列天線相比,該天線將多個超材料陣元集成在一個天線上,并且共同使用一個波導作為饋源,使得天線結(jié)構(gòu)更加緊湊,縮小天線尺寸可以很好地滿足復雜系統(tǒng)和多任務(wù)的工作需求。得益于超材料對電磁波的特殊調(diào)控能力,與常規(guī)相控陣天線相比,DMA不需要移相器、放大器等組件,而是通過調(diào)控每個陣元的極化度來產(chǎn)生幅度和相位因子,從而控制波束,大大提高了傳統(tǒng)天線的性能指標,如提高輻射增益、改善阻抗帶寬等?；谝陨现T多優(yōu)點,DMA目前被廣泛應用于近場計算成像、合成孔徑成像、衛(wèi)星通信、5G移動通信等諸多領(lǐng)域。

隨著新一代信息通信技術(shù)和雷達應用的發(fā)展,毫米波頻段被用于緩解數(shù)據(jù)傳輸容量與頻譜短缺之間的矛盾。然而,與傳統(tǒng)頻段相比,毫米波信號在傳輸中散射更高、穿透損耗更大、衍射更低、路徑損耗更高,因此需要在特定角度形成波束,產(chǎn)生增益來彌補損耗。數(shù)字大規(guī)模陣列可以提供理想的波束形成權(quán)值,但是完全數(shù)字架構(gòu)要求為每根天線配備獨立的射頻(radio frequency, RF)鏈路,這導致系統(tǒng)的功耗和成本顯著增加。模擬-數(shù)字混合陣列結(jié)構(gòu)相對于全數(shù)字陣列結(jié)構(gòu)而言,波束形成性能有所下降,但是所需的RF鏈路數(shù)量遠小于天線個數(shù),顯著降低了系統(tǒng)的實現(xiàn)復雜度,目前已成為大規(guī)模多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)系統(tǒng)中的主流技術(shù)。模擬-數(shù)字混合波束成形(hybrid beamforming, HB)由低維度的基帶數(shù)字波束成形和高維度的RF模擬波束成形兩部分組成。在這種混合結(jié)構(gòu)中,每條RF鏈路可同時連接多根天線,其中每根天線的信號相位受到模擬相位偏移網(wǎng)絡(luò)控制,可以產(chǎn)生不同的相移,這相當于對連接同一RF鏈路的多根天線進行了模擬波束成形處理。

目前,學者們在發(fā)射和接收端對模擬-數(shù)字HB技術(shù)均開展了諸多研究,本文主要關(guān)注發(fā)射端的HB。在大規(guī)模MIMO通信領(lǐng)域,發(fā)射波束成形通常稱為預編碼。文獻[9]研究混合預編碼對傳輸數(shù)據(jù)均方誤差的影響,提出了一種低復雜度的最小間隙迭代量化方法,將混合預編碼性能逼近于最優(yōu)全數(shù)字預編碼。文獻[10]研究毫米波MIMO通信中如何優(yōu)化混合預編碼以最大化頻譜效率,該文將混合預編碼轉(zhuǎn)化為矩陣分解問題,利用交替優(yōu)化方法分別求解模擬和數(shù)字預編碼子矩陣。文獻[11]研究DMA的收發(fā)模型和波束成形能力,以探討其在6G通信各場景中應用的可能性。在毫米波MIMO雷達領(lǐng)域,文獻[12]研究發(fā)射HB和天線選擇聯(lián)合設(shè)計,利用softmax神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行天線選擇和波束成形權(quán)值優(yōu)化,使得合成的波束圖與期望波束圖誤差最小。在雙功能雷達-通信(dual functional radar communication, DFRC)系統(tǒng)領(lǐng)域,文獻[13]研究用于毫米波DFRC系統(tǒng)的發(fā)射HB方法,以便在多用戶通信和雷達多目標檢測之間得到最優(yōu)的折中性能,該文提出了一種交替優(yōu)化方法,在給定發(fā)射功率的條件下,使得HB矩陣同時逼近于全數(shù)字最優(yōu)通信發(fā)射權(quán)值矩陣與最優(yōu)雷達發(fā)射權(quán)值矩陣。文獻[14]構(gòu)建了一種毫米波DFRC系統(tǒng)工作模式,并提出了基站在不同工作階段采用的發(fā)射與接收HB方法,對于發(fā)射HB,該文采用交替優(yōu)化技術(shù)設(shè)計模擬與數(shù)字權(quán)值矩陣,使得HB矩陣同時逼近于下鏈通信所需的迫零波束成形矩陣和雷達多目標跟蹤所需的多波束成形矩陣。

應當指出,上述HB研究均是基于唯相混合陣列開展的,基于DMA陣列的研究工作較少。由DMA的特性可知,基于DMA陣列的HB可以進一步簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu),降低系統(tǒng)的復雜度。為此,本文開展了基于DMA陣列的發(fā)射HB研究。不同于唯相混合陣列中模擬權(quán)值僅相位可調(diào),DMA中模擬權(quán)值的幅度和相位均可調(diào),只是二者之間存在耦合,因此DMA可能會提供更多的自由度。本文首先根據(jù)DMA的特征建立DMA陣列發(fā)射HB模型,然后利用交替優(yōu)化思想提出一種基于交替方向乘子法(alternating direction multiplier method, ADMM)的模擬與數(shù)字權(quán)值聯(lián)合求解方法。該方法通過引入輔助變量簡化問題描述,然后通過交替優(yōu)化求解輔助變量、數(shù)字權(quán)值和模擬權(quán)值。其中,輔助變量可獲得閉式解,數(shù)字權(quán)值和模擬權(quán)值則利用ADMM分別進行求解。仿真結(jié)果證實了所提方法的有效性和DMA陣列在發(fā)射HB方面的性能優(yōu)勢。

1 問題模型

考慮由個一維DMA構(gòu)成的一維均勻線性陣列,其中每個超表面天線由集成在一個波導上的個超材料陣元組成,如圖1所示。在每個DMA上,超材料陣元是均勻線性排列的,陣元間距為;個DMA則以間距均勻線性排列,其中=。一般而言,可以將每個超材料陣元等效為一個點偶極子。為了簡便分析,通常假設(shè)超材料陣元之間是弱耦合的,即可以忽略波導內(nèi)陣元之間的耦合。

圖1 一維DMA組成的均勻線性陣列Fig.1 Uniform linear array composed of one-dimensional DMA

在一個DMA內(nèi),個超材料陣元在方向處形成的導向矢量為

()=[1,e-j( sin +),e-j( sin +)2,…,e-j( sin+)(-1)]∈×1

(1)

式中:=2π是自由空間的波數(shù);()=2πc是沿波導的導波衰減率,表示波導指數(shù),c表示光速。在中心頻率為的窄帶情況下,()近似為常數(shù)(),簡記為。組成陣列的個DMA在方向處的導向矢量為

()=[1,e-j sin ,e-j2 sin ,…,e-j(-1) sin ]∈×1

(2)

則整個DMA陣列的綜合導向矢量為

()=()?()∈×1

(3)

采用該DMA陣列進行發(fā)射波束成形,其等效模型如圖2所示。

圖2 一維DMA陣列發(fā)射波束成形等效模型Fig.2 Equivalent model of one-dimensional DMA array transmit beamforming

其中,三角形符號描述每個超材料陣元在方向處產(chǎn)生的相移,可根據(jù)式(3)確定。定義第個DMA上第個陣元的模擬權(quán)值為,,其中=1,2,…,,=1,2,…,,則所有個超材料陣元的模擬權(quán)值組成的向量為

=[,,…,1,,…,,1,,,2,…,,]∈×1

(4)

與常規(guī)相控陣采用移相器實現(xiàn)模擬權(quán)值不同,DMA通過控制PIN二極管的工作狀態(tài)來調(diào)控模擬權(quán)值。因此,DMA模擬權(quán)值的幅度和相位均是可調(diào)的,只是二者之間存在一定的約束關(guān)系,不是獨立可調(diào)的。典型的DMA模擬權(quán)值約束形式有:唯幅度約束、二值幅度約束和洛倫茲相位約束。本文主要研究洛倫茲相位約束的情況,即模擬權(quán)值需滿足|,-j2|=12(=1,2,…,;=1,2,…,)。定義第個DMA輸出端的數(shù)字權(quán)值為,其中=1,2,…,,則所有個DMA上數(shù)字權(quán)值組成的向量為

=[,,…,]∈×1

(5)

根據(jù)DMA陣列的結(jié)構(gòu),其等效混合發(fā)射權(quán)值向量為

(,)=(?)⊙∈×1

(6)

式中:=[1,1,…,1]∈×1。

在該模型下,遠場方向處的窄帶發(fā)射波束圖為

()=|()(,)|

(7)

需要設(shè)計混合權(quán)值向量(,),簡記為,使得()滿足指定的發(fā)射波束圖要求。將空間方位角[0°,180°]網(wǎng)格化,等間距劃分成個離散點。通過最小化期望波束圖和實際合成波束圖()之間的偏差,=1,2,…,,可將發(fā)射波束圖合成轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題:

(8)

式中:∈表示不同方位角上的預加權(quán)因子,用于旁瓣控制。

為了簡化描述,將問題表示為如下形式:

(9)

式中:

=[,,…,]∈×1

=[(),(),…,()]∈×

2 混合發(fā)射波束成形權(quán)值求解

問題是一個非凸優(yōu)化問題,且待求變量和之間存在耦合。為了有效求解該問題,本文將基于交替優(yōu)化的思想,提出一種基于ADMM的問題求解算法。算法的基本原理如下:首先通過引入輔助變量簡化問題描述;然后通過交替優(yōu)化求解和{,},其中可以獲得閉式表達式,和的求解則利用ADMM實現(xiàn)。下面對該方法做詳細闡述。

為了去除問題中目標函數(shù)的取模運算||,引入一個輔助變量∈×1,表示期望波束形成的相位矢量。于是,問題變?yōu)?/p>

(10)

式中:=diag{}∈×。通過交替更新求解和{,},目標函數(shù)可收斂到一個有限值。文獻[17-18]已經(jīng)證明了交替迭代求解的有效性。

當{,}固定,求解時,該子問題可表示為

(11)

顯然,在式(11)中,當與中每個元素的相位均相同時,目標函數(shù)可達到最小值。由于是一個實矩陣,可看作為相位因子向量,因此式(11)的最優(yōu)解為

∠()=∠()

(12)

當固定,求解{,}時,該子問題可表示為

(13)

求解問題時存在模擬權(quán)值和數(shù)字權(quán)值耦合。通過解耦合,利用ADMM方法交替求解和,最終可得。

固定求解,混合發(fā)射權(quán)值向量的一種表示形式為

=⊙(?)=diag()(?)=

(14)

式中:

=diag(),=[0,0,…,0]∈×1。問題的子問題可以表示為

(15)

利用最小二乘求得

=()()

(16)

固定求解,混合發(fā)射權(quán)值向量另一種表示形式如下:

=(?)⊙=∈×1

(17)

式中:=diag(?)∈×。問題的子問題可以表示為

(18)

在式(18)中引入輔助變量,并令=,從而將約束與目標函數(shù)中的變量分離。于是,式(18)轉(zhuǎn)換為如下的優(yōu)化問題:

(19)

定義增廣拉格朗日函數(shù)為

(20)

式中:∈×1是拉格朗日乘子或稱為對偶變量;>0是懲罰參數(shù)。

利用ADMM算法迭代求解、和的具體過程如下。

(1) 在已知((),())的情況下更新

(21)

令()=()-(),則問題可以變成個子問題,其中第個子問題如下:

(22)

(23)

(24)

最終求得

(25)

(2) 在已知((+1),())的情況下更新

(26)

對式(26)最小二乘,求得

(+1)=(2+ρ)×[2+((+1)+())]

(27)

(3) 更新對偶變量

(+1)=()+(+1)-(+1)

(28)

定義原始殘差(+1)=(+1)-(+1)和對偶殘差(+1)=((+1)-()),設(shè)定算法迭代停止的準則為

(29)

式中:和是預設(shè)的殘差容限。

本文算法求解問題的算法流程如下。

已知常量和,初始變量,,,,懲罰參數(shù),收斂參數(shù)和,求解問題的解,,。

=1。

根據(jù)式(12)更新(+1)。

根據(jù)式(16)更新(+1)。

根據(jù)式(23)～式(25)更新(+1)。

根據(jù)式(27)更新(+1)。

根據(jù)式(28)更新(+1)。

根據(jù)式(6)更新(+1)。

設(shè)=+1。

3 仿真與分析

為了驗證本文所提方法的有效性,下面進行不同情況下的發(fā)射波束成形仿真實驗。為了更好展示DMA陣列的性能,將與全數(shù)字陣列、唯相混合陣列和文獻[20]模型進行比較。

對于全數(shù)字陣列,其發(fā)射波束成形可表示為無約束優(yōu)化問題如下:

(30)

對于唯相混合陣列,其模擬部分由相控陣實現(xiàn),發(fā)射波束成形可表示為約束優(yōu)化問題如下:

(31)

對于文獻[20]唯相陣列,其約束優(yōu)化問題為

(32)

3.1 單波束成形

假定在0°方向合成單個主瓣,期望的波束圖為

(33)

單波束成形結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?與期望的波束圖相比,DMA混合、唯相混合和全數(shù)字3種方法都可以在主瓣0°方向很好地合成期望的主瓣,文獻[20]的主瓣峰值低于期望主瓣峰值0.97 dB。從主瓣的局部放大圖可見,全數(shù)字陣列的主瓣峰值為35.73 dB,DMA陣列合成的主瓣峰值為35.62 dB,而唯相混合陣列合成的主瓣峰值為35.56 dB。全數(shù)字陣列、DMA陣列、唯相混合陣列和文獻[20]陣列的峰值旁瓣比(peak-to-sidelobe ratio, PSR)分別為18.24 dB、17.21 dB、15.46 dB和15.21 dB。全數(shù)字陣列由于具有更大的自由度,相比于兩種混合陣列而言具有明顯的性能優(yōu)勢。而本文提出的DMA陣列的主瓣峰值和PSR性能均優(yōu)于唯相混合陣列。文獻[20]模型在常規(guī)波束形成下能達到比較好的性能。

圖3 單波束成形Fig.3 Single beamforming

3.2 零陷成形

雷達系統(tǒng)通常需要在干擾方向上形成深零陷以實現(xiàn)干擾抑制。因此,接下來考慮零陷成形問題。假定在0°附近合成主波,在[-35°,-30°]方向上形成深零陷,則期望波束為

(34)

根據(jù)文獻[20],零陷區(qū)域的預加權(quán)設(shè)為=50,其余角度的預加權(quán)設(shè)為=1。

零陷成形結(jié)果如圖4所示,4種陣列結(jié)構(gòu)均可以在0°方向上形成深零陷。實現(xiàn)零陷成形需要消耗發(fā)射權(quán)值的自由度,不可避免會對主瓣成形的性能產(chǎn)生影響。根據(jù)局部放大圖可見,全數(shù)字陣列的主瓣基本與期望主瓣重合,峰值僅下降0.4 dB;DMA陣列的主瓣下降0.39 dB;唯相混合陣列的主瓣下降1.93 dB,文獻[20]的主瓣下降2.43 dB。在非零陷方向上,DMA陣列、唯相混合陣列和文獻[20]陣列的PSR分別為15.56 dB、13.98 dB和10.86 dB。DMA性能優(yōu)于后兩者。

圖4 零陷成形Fig.4 Null forming

3.3 多波束成形

多波束合成廣泛應用于通信和雷達系統(tǒng)中,例如,基站需要發(fā)射多波束進行多用戶通信,雷達需要發(fā)射多波束來跟蹤位于不同方向上的多個目標。因此,下面考慮多波束成形的情況。

假定在-30°和30°方向上合成兩個主瓣,期望的波束圖定義為

(35)

多波束成形結(jié)果如圖5所示,4種陣列均可以合成出期望的兩個主瓣。30°主瓣波束成形的局部放大如圖6所示,在30°方向附近,DMA陣列的主瓣峰值相比期望主瓣峰值下降了0.4 dB,PSR為17.58 dB;唯相混合陣列相對期望主瓣峰值下降了0.42 dB,PSR為14 dB;文獻[20]模型相對期望主瓣峰值下降了3.47 dB,PSR為13.7 dB。-30°主瓣波束成形的局部放大如圖7所示,在-30°附近,DMA陣列的主瓣峰值下降了0.44 dB,PSR為17.59 dB;唯相混合陣列的主瓣峰值下降了0.42 dB,PSR為13.87 dB;文獻[20]模型相對期望主瓣峰值下降了3.53 dB,PSR為13.71 dB?？梢钥闯?DMA陣列主瓣峰值衰減小且可以獲得較大的PSR。

圖5 多波束成形Fig.5 Multi-beamforming

圖6 30°主瓣區(qū)域局部放大圖Fig.6 Partial enlarged view of 30° main lobe area

圖7 -30°主瓣區(qū)域局部放大圖Fig.7 Partial enlarged view of -30° main lobe area

4 結(jié) 論

本文利用DMA構(gòu)建了一種新型模擬-數(shù)字混合陣列結(jié)構(gòu),并研究了基于DMA陣列的模擬-數(shù)字混合發(fā)射波束成形技術(shù)。不同于唯相混合陣列,DMA陣列的模擬波束成形由DMA直接實現(xiàn),有利于簡化大規(guī)模MIMO系統(tǒng)和大規(guī)模天線DFRC系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。本文基于DMA的特征,將DMA陣列混合發(fā)射波束成形建模為一個非凸約束優(yōu)化問題,并利用交替優(yōu)化對問題模型進行分解和簡化,提出了一種基于ADMM的模擬與數(shù)字權(quán)值聯(lián)合優(yōu)化方法。該方法也可用于唯相混合陣列等其他混合陣列結(jié)構(gòu)。試驗結(jié)果表明,DMA陣列在單波束成形、零陷成形和多波束成形方面的性能均優(yōu)于唯相混合陣列和恒模約束的唯相陣列,是一種有效的混合陣列結(jié)構(gòu)。在未來研究中,將進一步開展DMA陣列接收波束成形和發(fā)射-接收聯(lián)合波束成形方面的工作。