藺向陽(yáng), 邢清華, 劉付顯

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

在現(xiàn)代化聯(lián)合作戰(zhàn)行動(dòng)中,軍隊(duì)的防空作戰(zhàn)能力對(duì)整體作戰(zhàn)行動(dòng)有著重要的意義。紅方強(qiáng)大的防空作戰(zhàn)能力不僅能通過(guò)遠(yuǎn)程威懾和近程輔助航空兵的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)藍(lán)方的綜合打擊,削弱藍(lán)方空中作戰(zhàn)力量,奪取制空權(quán);更重要是能夠?qū)t方指揮所、軍械庫(kù)、后勤庫(kù)等軍事戰(zhàn)略要點(diǎn)進(jìn)行有效保衛(wèi),使其免受打擊,延長(zhǎng)在戰(zhàn)爭(zhēng)中生存時(shí)間,最大程度發(fā)揮其作戰(zhàn)價(jià)值,引導(dǎo)戰(zhàn)場(chǎng)平衡向有利于紅方勝利的方向推動(dòng)。

如何根據(jù)藍(lán)方的火力配置合理分配紅方兵力,使防空能力達(dá)到最強(qiáng),并對(duì)其效能準(zhǔn)確評(píng)估,是至關(guān)重要的。近幾年,在兵力分配的研究中,趙鵬蛟等人分別使用了排隊(duì)論、決策論、蟻群算法和模糊決策、Memetic等算法[1-5]。在具體防空作戰(zhàn)兵力分配方面,李菱歌等使用了遺傳算法[6-8],劉寧使用了動(dòng)態(tài)規(guī)劃[9],劉立佳等人使用了多目標(biāo)優(yōu)化方法[10-11],劉志成和孔祥宇則分別運(yùn)用了博弈論和圖論[12-13]。邢清華等人則運(yùn)用建模仿真方法進(jìn)行了研究[14-18]。同時(shí),在作戰(zhàn)效能的評(píng)估方面,羅宇等人采用改進(jìn)對(duì)數(shù)法等多種方法對(duì)武器效能進(jìn)行了評(píng)估研究[19-23],周立堯等人對(duì)不同軍兵種的作戰(zhàn)效能進(jìn)行了評(píng)估[24-26]。外軍方面,Fauske對(duì)軍事行動(dòng)任務(wù)規(guī)劃進(jìn)行優(yōu)化[27]。Mika和Womer使用禁忌搜索等算法對(duì)人力和資源調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究[28, 29]。Erlandsson使用“生存模型”對(duì)軍隊(duì)作戰(zhàn)能力進(jìn)行了評(píng)估研究[30]。

國(guó)內(nèi)外專家采用不同的方法研究了兵力優(yōu)化問(wèn)題與作戰(zhàn)效能評(píng)估問(wèn)題,但是絕大多數(shù)研究的作戰(zhàn)過(guò)程都較為單一,難以適用于現(xiàn)階段實(shí)際作戰(zhàn)通常具有全領(lǐng)域、多過(guò)程作戰(zhàn)的特點(diǎn)。本文立足于當(dāng)前我國(guó)周邊軍事形勢(shì),對(duì)某近海區(qū)域?yàn)樽鲬?zhàn)背景進(jìn)行抽象,建立數(shù)學(xué)模型?；谝c(diǎn)總毀傷期望最低的作戰(zhàn)目標(biāo);采用多步建模,層層優(yōu)化的方法,對(duì)近海小規(guī)模局部戰(zhàn)爭(zhēng)中聯(lián)合防空作戰(zhàn)的兵力配置進(jìn)行研究;提出一種新的對(duì)類二項(xiàng)分布的期望求解方法,實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同層級(jí)之間剩余作戰(zhàn)力量的數(shù)量期望的準(zhǔn)確求解;最終給出與其相適應(yīng)的評(píng)估方法和指標(biāo)用以對(duì)優(yōu)化效果定量評(píng)估,實(shí)現(xiàn)優(yōu)化與評(píng)估相統(tǒng)一,使整個(gè)模型更加完備。

1 問(wèn)題描述

取近海區(qū)域小規(guī)模聯(lián)合作戰(zhàn)背景,對(duì)實(shí)際作戰(zhàn)情況進(jìn)行抽象,得到作戰(zhàn)示意圖如圖1所示,紅色代表紅方作戰(zhàn)力量,藍(lán)色代表藍(lán)方作戰(zhàn)力量,靶心代表藍(lán)方欲攻擊的紅方要點(diǎn)目標(biāo)。

紅藍(lán)雙方作戰(zhàn)目標(biāo)與作戰(zhàn)原則可簡(jiǎn)化如下。

藍(lán)方:通過(guò)導(dǎo)彈遠(yuǎn)程打擊紅方要點(diǎn)目標(biāo),或通過(guò)航空兵突進(jìn)紅方要點(diǎn)上空后投擲彈藥進(jìn)行轟炸。

紅方:根據(jù)情報(bào)所得紅藍(lán)雙方裝備參數(shù),以及藍(lán)方兵力分配,優(yōu)化紅方兵力分配,攔截藍(lán)方攻擊,將要點(diǎn)損失降到最小。

紅方作戰(zhàn)原則:為避免藍(lán)方深入,應(yīng)使用航空兵與艦船將藍(lán)方航空兵盡可能攔截在海上。對(duì)成功突防的藍(lán)方航空兵使用地面防空二次攔截。同時(shí)紅方地面防空還承擔(dān)對(duì)藍(lán)方遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的反導(dǎo)攔截任務(wù)。

根據(jù)上述任務(wù),對(duì)模型作出合理假設(shè)如下。

假設(shè) 1假設(shè)藍(lán)方航空兵力量以戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)形式呈現(xiàn)。每組編隊(duì)成功突防后具備一次轟炸能力。

假設(shè) 2假設(shè)紅方航空兵力量和艦船力量都以編隊(duì)形式呈現(xiàn),在海上對(duì)藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)進(jìn)行攔截,二者統(tǒng)一定義為海上攔截作戰(zhàn)力量,簡(jiǎn)稱海上力量。每組編隊(duì)具備一次攔截能力。

假設(shè) 3假設(shè)紅方地面防空力量特指地空導(dǎo)彈,簡(jiǎn)稱地導(dǎo)力量。每枚導(dǎo)彈為一個(gè)作戰(zhàn)單元,具備對(duì)藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)的一次防空攔截能力,或?qū)λ{(lán)方導(dǎo)彈的一次反導(dǎo)攔截能力。

假設(shè) 4假設(shè)雙方作戰(zhàn)規(guī)則為,在單位時(shí)間內(nèi),藍(lán)方特定作戰(zhàn)單元主攻一個(gè)要點(diǎn),對(duì)同一要點(diǎn)攻擊的藍(lán)方多個(gè)作戰(zhàn)單元遵循排隊(duì)打擊原則,即不存在兩個(gè)打擊力量能精確同時(shí)到達(dá)。紅方特定作戰(zhàn)單元,只能對(duì)藍(lán)方一個(gè)目標(biāo)單元進(jìn)行一次排隊(duì)攔截。若目標(biāo)被友軍提前攔截,則更換對(duì)同一要點(diǎn)進(jìn)攻的下一目標(biāo)進(jìn)行攔截。

假設(shè) 5假設(shè)藍(lán)方的總進(jìn)攻單元數(shù)量不多于紅方的總攔截單元數(shù)量。否則,必然存在藍(lán)方作戰(zhàn)單元不受攔截地對(duì)紅方要點(diǎn)進(jìn)行直接打擊,致使紅方防空任務(wù)失敗。

2 模型建立

2.1 模型分析與基礎(chǔ)參數(shù)設(shè)定

設(shè)紅方待保護(hù)要點(diǎn)數(shù)量為NY,對(duì)第k個(gè)要點(diǎn),定義其在受到打擊后,剩余作戰(zhàn)價(jià)值與要點(diǎn)完好時(shí)總作戰(zhàn)價(jià)值的比率為耐久價(jià)值Vk,要點(diǎn)完好時(shí)Vk0=1。定義要點(diǎn)耐久價(jià)值為保衛(wèi)系數(shù)Ek對(duì)耐久度Dk的加權(quán)。其中耐久度為要點(diǎn)未被摧毀部分所占比率,是承受藍(lán)方多次打擊造成的毀傷率的總乘積,要點(diǎn)完好時(shí)Dk0=1。保衛(wèi)系數(shù)為相對(duì)保衛(wèi)重NHi要度系數(shù)E1k、相對(duì)保衛(wèi)難度系數(shù)E2k、相對(duì)抗毀傷影響系數(shù)E3k的總乘積。其中，相對(duì)保衛(wèi)重要度系數(shù)與要點(diǎn)戰(zhàn)略地位呈正相關(guān);相對(duì)保衛(wèi)難度系數(shù)與要點(diǎn)位置縱深、隱蔽性和機(jī)動(dòng)性呈正相關(guān);對(duì)抗毀傷影響系數(shù)與要點(diǎn)對(duì)損傷敏感程度呈負(fù)相關(guān)。

由上可得紅方第k個(gè)要點(diǎn)經(jīng)受藍(lán)方第jK種戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)x次轟炸和第jD種導(dǎo)彈y次打擊后,要點(diǎn)耐久度降低為

(1)

要點(diǎn)耐久價(jià)值將降低為

Vk=DkEk

(2)

式中：Ek=E1kE2kE3k。則根據(jù)作戰(zhàn)目標(biāo)得待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(3)

即藍(lán)方單位時(shí)間的進(jìn)攻后,紅方總體剩余耐久價(jià)值最高。

設(shè)已知攔截概率為:第i種海上力量對(duì)藍(lán)方第j種戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)攔截概率為PHKij(0≤PHKij≤1);第i種地導(dǎo)對(duì)藍(lán)方第j種戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)攔截概率為PLKij(0≤PLKij≤1);第i種地導(dǎo)對(duì)藍(lán)方第j種導(dǎo)彈攔截概率為PLDij(0≤PLDij≤1)。而作戰(zhàn)過(guò)程中實(shí)際攔截概率不僅受制于武器裝備的影響,亦受制于包括雙方的情報(bào)能力,指戰(zhàn)員能力,裝備運(yùn)用程度等主觀能力影響。將其統(tǒng)一設(shè)為雙方主觀綜合能力比w(0.1

P=1-(1-P0)w

(4)

式中：P為w修正后實(shí)際攔截概率；P0為未考慮w的理論攔截成功概率。

由此,即可針對(duì)目標(biāo)函數(shù)式(3)對(duì)紅方兵力分配進(jìn)行優(yōu)化,但由于作戰(zhàn)過(guò)程分海上攔截和地導(dǎo)攔截兩個(gè)階段,無(wú)法直接求解,故使用分布建模,逐級(jí)優(yōu)化的思路,將整個(gè)問(wèn)題分為兩個(gè)子過(guò)程逐次建模優(yōu)化。

2.2 模型優(yōu)化與評(píng)估

2.2.1 海上攔截階段兵力分配建模

在此階段,紅方海上力量對(duì)藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)攔截。待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(5)

qij=cijPHKij

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行w修正:

qij=cij(1-(1-PHKij)w)

(7)

故目標(biāo)函數(shù)式(5)可等價(jià)于：

(8)

綜合約束條件,可得完整模型,其中C1，k矩陣為待優(yōu)化變量。顯然此優(yōu)化為凸規(guī)劃問(wèn)題,故目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)必然是最值點(diǎn),即C1，k將具有全局最優(yōu)解。

2.2.2 地導(dǎo)二次攔截階段力量分配建模

由此,可得目標(biāo)函數(shù):

(9)

(10)

經(jīng)w修正為

(11)

同理第2.2.1節(jié),目標(biāo)函數(shù)(9)可轉(zhuǎn)化為

(12)

式中：C2,k矩陣為待優(yōu)化變量。

2.2.3 兵力分配效能評(píng)估

由上可預(yù)測(cè)經(jīng)過(guò)本輪作戰(zhàn)結(jié)束后,紅方第k個(gè)要點(diǎn)剩余耐久度:

(13)

剩余耐久價(jià)值為

Vk=DkEk

(14)

以此可作為本次聯(lián)合防空作戰(zhàn)中兵力分配的效能評(píng)估指標(biāo)。

2.3 模型有效性分析

模型建立在對(duì)實(shí)際作戰(zhàn)中重要參數(shù)的抽象提取,確保了模型假設(shè)的可靠性。

對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的多過(guò)程作戰(zhàn)采取分步建模、層層優(yōu)化的方法。由于每一層優(yōu)化都是凸規(guī)劃,故可以保證各層優(yōu)化的結(jié)果都可取得全局最優(yōu)解。而結(jié)合實(shí)際情況與作戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)綜合分析確定的紅方作戰(zhàn)原則,即將藍(lán)方航空兵盡可能攔截在海上,保證了上層優(yōu)化所得數(shù)據(jù)對(duì)下層有效,即由上至下到最終優(yōu)化的結(jié)果,一定是在當(dāng)前排隊(duì)打擊的作戰(zhàn)規(guī)則前提下,整個(gè)作戰(zhàn)過(guò)程兵力優(yōu)化的全局最優(yōu)解。

效能評(píng)估是通過(guò)對(duì)概率的計(jì)算得出的,不僅可得到優(yōu)化的量化評(píng)估值,且此估值具備直觀的現(xiàn)實(shí)意義,即紅方要點(diǎn)受損程度的期望值。

3 模型求解

3.1 海上力量分配求解

根據(jù)第2.2.1節(jié)中模型,根據(jù)式(8)的約束條件,結(jié)合相關(guān)已知參數(shù)與式(7),對(duì)式(8)進(jìn)行優(yōu)化,可得到最優(yōu)海上力量分配矩陣C1，k。

3.2 藍(lán)方海上突防的真實(shí)期望求解

3.2.1 問(wèn)題分析

3.2.2 問(wèn)題求解

圖2為假設(shè)紅方有兩種攔截力量,每種5個(gè)編隊(duì),對(duì)藍(lán)方攔截概率分別為0.8和0.6時(shí),藍(lán)方被攔截?cái)?shù)量概率分布圖,其中橫軸為攔截藍(lán)方數(shù)量,縱軸為相應(yīng)的概率分布。圖2中,綠色是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布參考線,其中均值為5×0.8+5×0.6=7,方差為5×0.8×0.2+5×0.6×0.4=2。紅色線為藍(lán)方數(shù)量無(wú)限制時(shí),兩個(gè)獨(dú)立的二項(xiàng)分布構(gòu)成的攔截藍(lán)方數(shù)量的概率分布。藍(lán)色線和黑色線分別為藍(lán)方數(shù)量限制在6和8時(shí),兩個(gè)類二項(xiàng)分布構(gòu)成的攔截?cái)硵?shù)量的真實(shí)概率分布。不難看出,紅線和綠線近似擬合,說(shuō)明當(dāng)藍(lán)方數(shù)量無(wú)限制時(shí),其實(shí)際概率分布與正態(tài)分布近似。而在6之前,藍(lán)色點(diǎn)都落于紅色線上,8點(diǎn)之前,黑色點(diǎn)都落于紅色線上,說(shuō)明在限制之內(nèi)兩個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立性不受影響。影響表現(xiàn)在超過(guò)上限部分的概率分布,會(huì)被統(tǒng)一壓縮在上限點(diǎn)處,如藍(lán)色的6和綠色的8處概率激增,之后概率為0。

該期望前項(xiàng)為獨(dú)立項(xiàng)期望,后項(xiàng)為非獨(dú)立項(xiàng)期望。

(15)

3.3 地導(dǎo)力量分配求解

3.4 兵力分配效能估值求解

其中，藍(lán)方導(dǎo)彈期望為

(16)

藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)期望為

(17)

4 實(shí)例分析

上文中,通過(guò)公式推導(dǎo)與理論敘述說(shuō)明了算法必然取得全局最優(yōu),本節(jié)通過(guò)一個(gè)想定戰(zhàn)例對(duì)上述模型及求解算法的可行性與有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

4.1 背景想定

鑒于保密限制,本文著重研究模型,不涉及相關(guān)人員與裝備作戰(zhàn)能力參數(shù)的具體信息。

想定作戰(zhàn)背景與參數(shù)如下。

(1) 紅方要點(diǎn)信息

數(shù)量NY=2。

要點(diǎn)1為某市區(qū)指揮所,相對(duì)保衛(wèi)重要度E11=1;固定于市區(qū),相對(duì)保衛(wèi)難度系數(shù)E21=0.5;無(wú)防御工事,相對(duì)抗毀傷影響系數(shù)E31=0.2。綜合保衛(wèi)系數(shù)E1=E11E21E31=0.1。

要點(diǎn)2為某機(jī)場(chǎng),相對(duì)保衛(wèi)重要度E12=0.5;位置固定,相對(duì)保衛(wèi)難度系數(shù)E22=0.5;機(jī)庫(kù)具備一定防御工事,相對(duì)抗毀傷影響系數(shù)E32=0.4。綜合保衛(wèi)系數(shù)E2=E12E22·E32=0.1。

(2) 紅方兵力信息

海上力量種類MH=2,其中戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)H1與艦船編隊(duì)H2各有40組,即NH1=NH2=40。

地導(dǎo)種類ML=2，1型地導(dǎo)L1和2型地導(dǎo)L2各20枚,即NL1=NL2=20。

(3) 藍(lán)方兵力信息

(4) 藍(lán)方兵力對(duì)各要點(diǎn)分配情況

(5) 已知紅方對(duì)藍(lán)方攔截概率P0如表1所示。

表1 紅方對(duì)藍(lán)方攔截概率表

(6) 藍(lán)方毀傷能力

藍(lán)方1型戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)一次成功轟炸,對(duì)紅方要點(diǎn)造成毀傷比率為1-WK1=0.2,WK1=0.8。

藍(lán)方2型戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)一次成功轟炸,對(duì)紅方要點(diǎn)造成毀傷比率為1-WK2=0.4,WK2=0.6。

藍(lán)方導(dǎo)彈一次成功打擊,對(duì)紅方要點(diǎn)造成毀傷比率為1-WD1=0.6,WD1=0.4。

(7) 雙方主觀綜合能力比

紅方與藍(lán)方主觀綜合能力相同,即能力比w=1。故w修正后概率:P=1-(1-P0)w=P0

4.2 海上攔截階段求解

將第4.1節(jié)中相關(guān)參數(shù)代入第2.2.1節(jié)模型中,并按第3.1節(jié)處理流程,使用Matlab軟件整數(shù)規(guī)劃,求解得紅方海上力量編隊(duì)分配矩陣為

C1，1=C2，2=

0 20

20 0

使用式(15),求得針對(duì)各要點(diǎn)藍(lán)方在海上攔截階段成功突防的編隊(duì)數(shù)量期望,對(duì)指揮所:

10-9.785 1=0.214 9

對(duì)機(jī)場(chǎng):

10-9.785 1=0.214 9

其中，f(x)為滿足期望μ=12,方差σ2=4.8的正態(tài)分布函數(shù)。

結(jié)果表明，紅方海上力量最優(yōu)兵力分配為:各分配20組戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)攔截藍(lán)方2型戰(zhàn)機(jī)編隊(duì),分配20組艦船編隊(duì)攔截藍(lán)方1型戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)?？蛇_(dá)到最優(yōu)效果為:對(duì)每個(gè)要點(diǎn),藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)突破紅方海上攔截的1型編隊(duì)和2型編隊(duì)的數(shù)量期望各為0.215組。

4.3 內(nèi)地反導(dǎo)攔截階段求解

將第4.1節(jié)中參數(shù)和第4.2節(jié)中計(jì)算所得數(shù)據(jù)帶入第2.2.2節(jié)模型中,按第3.3節(jié)處理流程,使用Matlab軟件整數(shù)規(guī)劃,求解得紅方地導(dǎo)兵力分配矩陣:

按照式(16)和式(17),求得藍(lán)方能夠?qū)t方各要點(diǎn)成功打擊的數(shù)量期望。

對(duì)指揮所可求得

其中，f(x)為滿足期望μ=9.2,方差σ2=4.32的正態(tài)分布函數(shù)。

0.214 9-0.205 6=0.009 3

其中,f(x)為滿足期望μ=0.8,方差σ2=0.16的正態(tài)分布函數(shù)。

0.214 9-0.180 7=0.034 2

其中,f(x)為滿足期望μ=0.6,方差σ2=0.24的正態(tài)分布函數(shù)。

對(duì)機(jī)場(chǎng)可求得

結(jié)果表明,紅方地導(dǎo)力量最優(yōu)分配為:對(duì)每個(gè)要點(diǎn),各分配10枚1型地導(dǎo)和8枚2型地導(dǎo)用于攔截藍(lán)方導(dǎo)彈,分配1枚2型地導(dǎo)攔截藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)1型編隊(duì),分配1枚2型地導(dǎo)攔截藍(lán)方2型編隊(duì)。整個(gè)聯(lián)合防空作戰(zhàn)可達(dá)到最優(yōu)作戰(zhàn)效果為:藍(lán)方能對(duì)紅方每個(gè)要點(diǎn)成功實(shí)施打擊的數(shù)量期望同為1.29枚導(dǎo)彈攻擊,0.009 3次1型編隊(duì)轟炸,0.034 2次2型編隊(duì)轟炸。

4.4 分配效能估值計(jì)算

根據(jù)第4.3節(jié)所得結(jié)果,代入式(13)可得到此次聯(lián)合防空作戰(zhàn)中，指揮所剩余價(jià)值:D1=0.41.29×0.80.009 3×0.60.034 2=0.300 7；機(jī)場(chǎng)剩余價(jià)值:D2=0.300 7。代入式(14)和式(15)計(jì)算得所有要點(diǎn)作戰(zhàn)價(jià)值的平均剩余：

以此作為本次聯(lián)合防空作戰(zhàn)的兵力分配效能評(píng)估值。結(jié)果表明，在紅方兵力總數(shù)確定時(shí),通過(guò)采用最優(yōu)的分配方案,可以保證在與藍(lán)方作戰(zhàn)后,紅方要點(diǎn)仍能發(fā)揮的作用價(jià)值不低于原有價(jià)值的30.07%.

5 結(jié) 論

立足于現(xiàn)代化聯(lián)合作戰(zhàn)行動(dòng),對(duì)近海小規(guī)模局部戰(zhàn)爭(zhēng)中聯(lián)合防空作戰(zhàn)的兵力分配及分配效能的評(píng)估進(jìn)行研究。首先對(duì)實(shí)際的復(fù)雜作戰(zhàn)情況進(jìn)行抽象得到模型。在已知藍(lán)方火力配置的條件下,通過(guò)采用分段建模優(yōu)化,總體概率計(jì)算的方法解決了多過(guò)程作戰(zhàn)的兵力分配優(yōu)化問(wèn)題。提出一種新的方法解決了有限制的類二項(xiàng)分布的期望求解問(wèn)題。用此方法計(jì)算得到藍(lán)方各類火力單元成功突防的數(shù)量期望,進(jìn)一步得到紅方要點(diǎn)作戰(zhàn)價(jià)值的平均剩余期望,并以此值作為兵力分配防空效能的定量評(píng)估值,實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化與評(píng)估相統(tǒng)一。最后,通過(guò)一個(gè)想定的戰(zhàn)例,進(jìn)一步驗(yàn)證模型與求解理論的可行性與有效性。