李京峰, 陳云翔, 項華春, 王 健

(1. 空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院, 陜西 西安 710051;2. 中國人民解放軍94354部隊, 山東 濟寧 272412)

0 引 言

軍事裝備內關鍵部件的意外失效不僅會導致作戰(zhàn)任務進程中斷甚至災難性事故發(fā)生,還會增加維修保障成本,合理的維修決策和備件庫存管理有助于確保關鍵部件安全、持續(xù)運行。隨著檢測技術的不斷發(fā)展,視情維修作為一種有效手段已廣泛應用于許多關鍵部件的維修保障工作中。其可根據(jù)檢測到的部件退化狀態(tài)信息及預設閾值,制定相關維修計劃,并進一步為庫存策略優(yōu)化提供信息支持。

目前,大多數(shù)視情維修決策基于備件無限可用的假設,即維修工作的實施僅依賴于部件的退化狀態(tài)信息,忽略了備件庫存水平的影響;另一方面,備件庫存管理主要依靠假設的備件需求分布,忽略了維修決策是備件需求產(chǎn)生的關鍵驅動因素這一內在邏輯。以上兩點均與實際不符,因此,將視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化十分必要。

文獻[8]對近年來關于不可修部件的維修與庫存聯(lián)合優(yōu)化問題進行了系統(tǒng)性綜述,其中文獻[11-13]從成本角度驗證了聯(lián)合優(yōu)化結果通常優(yōu)于單一優(yōu)化或不考慮關聯(lián)性的順序優(yōu)化。文獻[14]和文獻[15]先后通過解析的方法研究了連續(xù)退化單部件系統(tǒng)、兩部件系統(tǒng)的視情維修與備件訂購策略聯(lián)合優(yōu)化問題。文獻[16]針對退化過程符合Wiener過程的多部件系統(tǒng),利用剩余壽命信息制定維修與庫存策略,同時將遺傳算法和蒙特卡羅仿真(Monte Carlo simulation, MCS)結合進行求解。文獻[17]通過將問題轉化為馬爾可夫決策過程,研究了多部件系統(tǒng)的視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題。文獻[18]則針對多部件系統(tǒng)退化監(jiān)測信息不完全的情況提出一種部分可觀測馬爾可夫決策過程,解決了視情維修與備件選擇的聯(lián)合優(yōu)化問題。

當前研究雖然在視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題上取得一定成果,但若在軍事領域應用則忽略了以下現(xiàn)實問題:裝備內關鍵部件在執(zhí)行任務尤其作戰(zhàn)任務過程中,由于工作環(huán)境復雜,通常會受到磨損、疲勞、腐蝕、過載、沖擊等多種因素影響,因此最終的失效并非僅由自然退化引起,外部隨機沖擊等突發(fā)性因素同樣會引起關鍵部件失效,而隨機沖擊帶來的突發(fā)失效或自然退化增量將會改變原有維修和庫存計劃安排。文獻[22-26]從綜合考慮自然退化和隨機沖擊的退化建模、可靠性評估、剩余壽命預測、維修策略等方面開展了相關研究,但在視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化方面的進一步延伸卻未有學者探討。

因此,本文基于實際中普遍采用的定期檢測策略,提出一種考慮隨機沖擊影響的多部件系統(tǒng)視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化模型。具體方法為:建立考慮隨機沖擊影響的退化模型,在首達時間的意義下推導出部件剩余壽命的解析概率分布,采用極大似然法估計模型參數(shù);結合剩余壽命預測結果和隨機沖擊影響提出視情維修與備件庫存聯(lián)合策略,建立聯(lián)合優(yōu)化模型,利用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法和MCS進行求解;最后,通過實例分析驗證本文模型的有效性,并對隨機沖擊參數(shù)進行敏感性分析。

1 退化模型與剩余壽命估計

1.1 問題描述與假設

考慮系統(tǒng)是由個類型相同且獨立工作的部件組成,并且部件具有相同的退化特性和備件。為研究部件的退化機理,本文做出以下描述和假設。

(1) 假設采取定期檢測策略,檢測活動完美,能夠完全得到各個部件的實際退化狀態(tài),單次檢測成本為,檢測間隔為Δ,檢測時間可忽略不計。

(2) 隨機沖擊分為兩類:沖擊強度超過特定閾值的致命沖擊,直接導致部件失效;沖擊強度低于的非致命沖擊,給部件帶來退化增量。部件在任意時刻的退化總量()包括自然退化量()和由非致命隨機沖擊導致的累積退化量()。

(3) 部件的失效分為兩種:如果退化總量()達到預設閾值,則發(fā)生軟失效,亦稱退化型失效;如果某次沖擊強度超過閾值,則發(fā)生硬失效,亦稱突發(fā)型失效。

1.2 自然退化模型

基于Wiener過程的退化模型由于能夠描述多種典型產(chǎn)品的性能退化過程,且具有良好的計算性質,目前已被廣泛應用于工程領域。因此本文選取Wiener過程對連續(xù)自然退化過程建模,提高模型的通用性,其表達式為。

()=(0)++()

(1)

式中:(0)表示部件的初始性能狀態(tài),由于Wiener過程是獨立增量過程,根據(jù)獨立增量過程的定義,(0)=0;和分別表示部件的漂移系數(shù)和擴散系數(shù),反映部件的退化速率和波動程度;()表示標準布朗運動,反映退化過程的時變不確定性,且()～N(0,)。

當部件退化狀態(tài)超過失效閾值時,認為部件失效,具體如圖1所示。令()表示部件在時刻的狀態(tài)()=的概率密度函數(shù)(probability density function, PDF),表達式為

(2)

據(jù)此可得可靠度()為

(3)

圖1 自然退化過程Fig.1 Natural degradation process

1.3 隨機沖擊影響下的退化模型

假設隨機沖擊的到達過程遵循到達率為的齊次泊松過程(homogeneous Poisson process, HPP){(),≥0},則在任意長度為的時間間隔[,+]內,沖擊次數(shù)為(=0,1,…)的概率分布為

(4)

(5)

圖2 隨機沖擊過程Fig.2 Random shock process

根據(jù)泊松過程的分解定理,兩類沖擊亦分別遵循到達率為和的HPP,且二者相互獨立。令表示第次非致命沖擊給部件退化造成的瞬時退化增量,其度量由沖擊強度轉換,即=,為轉換因子,因此亦服從正態(tài)分布。綜上可得,時間內由非致命沖擊導致的累積退化量()為

(6)

當()=時,()的概率分布函數(shù)()為

(7)

根據(jù)以上分析,對于同時經(jīng)歷自然退化與隨機沖擊的部件,退化過程如圖3所示,其在時間內的退化總量()為

(8)

圖3 隨機沖擊影響下的退化過程Fig.3 Degradation process under the effects of random shock

因此,部件在時間內不發(fā)生失效需滿足的條件是,期間沒有致命沖擊且退化總量低于失效閾值。據(jù)此可得可靠度()為

(9)

1.4 剩余壽命估計

根據(jù)首達時間的概念,在當前時刻為時,部件的剩余壽命可以定義為

=inf{:(+)≥|()<}

(10)

已知僅考慮Wiener退化過程的部件剩余壽命PDF為

(11)

式中:表示時刻部件的實際退化量。

在求取考慮隨機沖擊影響的部件剩余壽命PDF時,利用文獻[24]中的閾值轉換思想將式(10)中的固定失效閾值轉換為-(),結合全概率公式可得

(12)

式中:表示時刻部件的總退化量。

由式(12)可得考慮隨機沖擊影響的部件剩余壽命的期望表達式為

(13)

1.5 參數(shù)估計

=[Δ+1,Δ+2,…,Δ+]

(14)

(15)

式中:表示部件第個檢測間隔內發(fā)生的非致命沖擊的次數(shù)。令Δ=[Δ1,Δ2,…,Δ]表示所有部件的退化檢測數(shù)據(jù),則Δ的對數(shù)似然函數(shù)可表示為

(16)

(17)

然后得到ln(Δ)關于和的一階偏導數(shù)分別為

(18)

(19)

(20)

(21)

2 視情維修與備件庫存聯(lián)合策略

2.1 視情維修策略

本文采取基于定期檢測的視情維修策略,具體如下。

(1) 若,≥或者在時間間隔(-1,]內任一≥,則部件失效,在時刻進行失效性更換,成本為。

(2) 若在時間間隔(-1,]內未發(fā)生致命沖擊且,<,根據(jù)狀態(tài)檢測數(shù)據(jù)獲得參數(shù)估計值,然后由式(13)計算得部件在時刻的期望剩余壽命為E(,)。設預防性更換的剩余壽命閾值為,為防止部件在下一檢測間隔內失效,令≥Δ。若E(,)≤,則部件進行預防性更換,成本為,否則不采取任何操作。

2.2 備件庫存策略

無論失效性更換還是預防性更換均會產(chǎn)生換件需求,從而消耗庫存中的備件。本文以目前較為通用的庫存策略(,)為基礎闡述庫存消耗與補充過程,具體如下。

(1) 當產(chǎn)生失效性更換或者預防性更換的換件需求時,首先要檢查庫存水平,若庫存水平能滿足所有換件需求,則正常進行更換并更新當前庫存水平。若庫存水平小于等于則發(fā)起訂購-個備件的指令,經(jīng)過固定的備件交貨期后補充庫存。

(2) 當換件需求數(shù)量超過當前庫存水平時,則優(yōu)先保障失效性更換,同時發(fā)起訂購指令,到貨后優(yōu)先保障欠件更換。由于備件數(shù)量不足導致的單個部件單位時間停機損失成本為。

(3) 假設庫存補充過程的單次訂購成本為,備件單價為,單位時間單個備件存儲成本為。

圖4為維修與庫存聯(lián)合運行機制示意圖,展示了維修過程與庫存消耗、補充過程之間的關系,并給出了相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)的更新和計算方法。

圖4 維修與庫存聯(lián)合運行機制Fig.4 Joint operation mechanism of maintenance and inventory

3 聯(lián)合優(yōu)化模型與求解算法

3.1 聯(lián)合優(yōu)化模型

對于視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題,頻繁的檢測、更換以及較高的庫存水平會導致高昂的維修與庫存成本,反之成本雖會降低,但系統(tǒng)失效風險會上升,備件保障能力會下降。因此,為了平衡檢測、更換、訂購、存儲成本與缺件風險,本文以單位時間內平均費用成本最低為目標,確定最優(yōu)聯(lián)合策略對應的決策變量組合(Δ,,,)。模型表示如下:

(22)

式中:表示維修成本;表示庫存成本,具體計算公式分別為

=+++

(23)

=++

(24)

式中:,,,,,,分別表示系統(tǒng)運行周期內的檢測次數(shù),失效性更換次數(shù),預防性更換次數(shù),所有部件累積停機時間,備件訂購次數(shù),累積訂購備件數(shù),所有備件累積存儲時間。

3.2 求解算法

由于維修過程以及庫存的消耗與補充過程較為復雜,顯式地解析出目標函數(shù)與決策變量之間的關系非常困難,因此可以利用MCS仿真系統(tǒng)中部件退化,以及維修與庫存的動態(tài)變化過程。同時,利用PSO算法在搜索空間內快速求得最優(yōu)聯(lián)合策略。本文設計的PSO-MCS優(yōu)化算法具體如下。

設定相關參數(shù),初始化個粒子的速度和位置(Δ,,,),=1,2,…,。

對于每個給定的粒子,通過次MCS計算出對應的適應值(Δ,,,),仿真過程如下:

采用增量采樣法仿真部件自然退化增量和在(-1,]內產(chǎn)生的隨機沖擊;

若經(jīng)檢測(-1,]內產(chǎn)生的任一隨機沖擊強度≥,或者退化總量()≥,則產(chǎn)生失效性更換需求。檢查庫存水平,若能滿足換件需求則進行更換,否則欠件,發(fā)起訂購指令。期間記錄并更新相關數(shù)據(jù);

若所有<且()<,計算期望剩余壽命(),若()≤,則產(chǎn)生預防性更換需求。檢查庫存水平,若能滿足換件需求則進行更換,否則欠件,發(fā)起訂購指令。期間記錄并更新相關數(shù)據(jù);

等待到貨期間其余正常運行部件仍按照步驟2.2至2.4更新,備件到貨后若有欠件,則進行欠件更換,然后補充庫存,更新庫存水平;

判斷運行時間是否達到設定周期,若達到則轉入步驟27,否則令=+1,返回步驟22;

計算第次MCS的平均費用率,返回步驟21進入下一次循環(huán),直至仿真次;

最終得到粒子對應的適應值:

end。

搜索確定當前每個粒子的個體最優(yōu)解以及整個粒子群的當前整體最優(yōu)解。

基于和更新群體中每個粒子的速度和位置。

判斷是否滿足最大迭代次數(shù),若滿足則輸出最優(yōu)解,以及對應的最優(yōu)聯(lián)合策略(Δ,,,),否則轉入步驟 2。

4 實例分析

4.1 模型驗證

陀螺儀是慣性導航平臺的關鍵組成部分,在軍事裝備、航空航天等領域有著重要的作用。實際使用過程中,受陀螺轉子高速旋轉磨損和外部隨機沖擊等影響,陀螺儀漂移系數(shù)逐漸增大,性能發(fā)生退化,最終導致失效。因此,通過定期檢測獲取陀螺儀退化數(shù)據(jù),建立退化模型,估計剩余壽命,在此基礎上確定合理的維修與庫存聯(lián)合策略,對保證任務順利進行和降低維修保障成本具有重要意義。

由于實際執(zhí)行任務期間隨機沖擊數(shù)據(jù)量化困難,通常檢測獲取的實際退化量已經(jīng)夾雜著隨機沖擊的影響,故而很難將部件自然退化與外部隨機沖擊剝離。因此,本文以6臺獨立工作的某型裝備內陀螺儀的沖擊退化試驗數(shù)據(jù)為基礎,結合仿真驗證本文模型。該數(shù)據(jù)記錄了按照通電時間,每天通過檢測設備獲取的6臺陀螺儀50天漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù),具體如圖5所示。按照該型陀螺儀技術指標,選擇失效閾值為=9°/d。

圖5 陀螺儀漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù)Fig.5 Degradation data of gyro drift coefficient

根據(jù)沖擊退化試驗數(shù)據(jù),采用本文參數(shù)估計方法得到的退化模型參數(shù)估計結果為(,,,,)=(0.12,0.05,1.00,1.21,0.19)。將此結果用于后續(xù)仿真優(yōu)化中退化過程的參數(shù)設定,保證優(yōu)化結果的有效性。聯(lián)合優(yōu)化模型和PSO-MCS優(yōu)化算法涉及的初始參數(shù)值如表1所示。

表1 參數(shù)設置

通過仿真優(yōu)化得到最優(yōu)平均費用率為256.05元/天,對應的4個決策變量的最優(yōu)組合為(Δ,,,)=(5,8,6,29),由此確定了考慮隨機沖擊影響的視情維修與備件庫存最優(yōu)聯(lián)合策略,實驗結果如圖6所示。

圖6 考慮隨機沖擊影響的優(yōu)化結果及庫存水平變化Fig.6 Optimization results and inventory level changes considering effects of random shock

4.2 對比分析

為進一步證明工作在復雜環(huán)境中的關鍵部件,其視情維修與備件庫存聯(lián)合策略考慮外部隨機沖擊影響的必要性,以及本文提出模型的有效性,將本文模型(簡稱為M)與僅考慮自然退化(基于Wiener過程)的視情維修與備件庫存聯(lián)合策略模型(簡為稱M)進行對比。需要說明的是,M所用退化試驗數(shù)據(jù)為另一組沒有隨機沖擊的6臺陀螺儀漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù),M實驗結果如圖7所示。

圖7 僅考慮自然退化的優(yōu)化結果及庫存水平變化Fig.7 Optimization results and inventory level changes only considering natural degradation

結果表明,M的最優(yōu)平均費用率為106.91元/天,對應的4個決策變量的最優(yōu)組合為(Δ,,,)=(7,10,2,18)。由此可見,相比于M,不受外部隨機沖擊影響的M的維修保障成本明顯下降,檢測間隔和預防性更換閾值增大,安全庫存和最大庫存減小,說明了隨機沖擊會顯著改變視情維修與備件庫存聯(lián)合策略以及相關成本。

關于隨機沖擊造成以上顯著改變的內在原因,本文從可靠度和剩余壽命兩方面進行深入剖析,結果如圖8所示。

圖8(a)展示了由式(3)和式(9)得到的M和M的可靠度曲線,圖8(b)以陀螺儀1為例展示了在不同退化檢測時間點上,由式(11)和式(12)估計的M和M的剩余壽命PDF以及期望剩余壽命,并給出了對應的實際剩余壽命。觀察可知,M中的陀螺儀可靠度出現(xiàn)明顯下降的時間比M中的陀螺儀要提前近40天,說明隨機沖擊會加速陀螺儀的退化。加速退化的結果會進一步影響陀螺儀剩余壽命的估計,進而對最優(yōu)策略(Δ,,,)的制定產(chǎn)生影響。同時,由于陀螺儀更換頻率加快,以及隨機沖擊帶來更大的失效不確定性,維修保障成本也會隨之增加。至此,得到了M和M優(yōu)化結果差距的內在原因,同時充分證明了本文構建模型的意義及必要性。

另一方面,為證明本文提出模型的有效性,將M的最優(yōu)聯(lián)合策略(Δ,,,)=(7,10,2,18)應用于M,得到M的平均費用率為3 740.87元/天,遠遠超過M的最優(yōu)平均費用率256.05元/天。這是因為M并未考慮隨機沖擊影響,將其最優(yōu)聯(lián)合策略應用于M理論上會造成停機數(shù)量的增加,從而導致平均費用率急劇上升。100次MCS的實驗結果驗證了該假設,具體結果是:M在其最優(yōu)聯(lián)合策略下的平均停機數(shù)為0,M在M最優(yōu)聯(lián)合策略下的平均停機數(shù)為14。這一結果表明本文構建模型能有效改善聯(lián)合策略,減少停機數(shù)量,降低維修保障成本。

圖8 可靠度曲線與剩余壽命估計結果Fig.8 Reliability curves and estimation results of remaining useful life

4.3 敏感性分析

接下來進一步探究隨機沖擊參數(shù)對M優(yōu)化結果的影響。將隨機沖擊參數(shù),,分別獨立調整,得到M優(yōu)化結果對不同參數(shù)的敏感程度,具體如表2所示。

表2 不同隨機沖擊參數(shù)對應的優(yōu)化結果

由表2可知,反映隨機沖擊到達率的參數(shù)對優(yōu)化結果影響較大,最優(yōu)費用率和安全庫存與的變化呈明顯正相關關系。這是因為在沖擊強度不變的情況下,沖擊頻率的增加或減少將直接影響陀螺儀的實際退化速度,進而影響陀螺儀的更換頻率,最終導致費用率發(fā)生改變。同時,由于安全庫存的設置與訂購成本、存儲成本和停機成本高度相關,為保證聯(lián)合優(yōu)化模型達到最優(yōu)費用率,安全庫存必然會隨著的變化發(fā)生明顯改變。

反映沖擊強度均值的參數(shù)對優(yōu)化結果影響同樣較大,最優(yōu)費用率和安全庫存與的變化亦呈明顯正相關關系。這是因為在沖擊到達率和沖擊強度標準差不變的情況下,的變化除了會影響陀螺儀的實際退化速度,還會影響突發(fā)型失效發(fā)生的概率,從而導致與相似的結果。但是,反映沖擊強度標準差的參數(shù)對優(yōu)化結果沒有明顯影響。這是因為經(jīng)過式(15)等的轉換,對陀螺儀退化增量的貢獻相比于和可忽略不計。

以上敏感性分析結果表明,隨機沖擊參數(shù)對聯(lián)合優(yōu)化策略和維修保障成本的影響不可忽視,尤其λ和μ是產(chǎn)生影響的關鍵因素。

5 結 論

本文針對在復雜環(huán)境中工作的關鍵部件,基于定期檢測策略提出了一種考慮隨機沖擊影響的多部件系統(tǒng)視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化模型,拓展了聯(lián)合優(yōu)化模型在復雜環(huán)境中的應用,且模型具有一定的通用性。建立了隨機沖擊影響下的退化模型及可靠度函數(shù)模型,在首達時間的意義下利用閾值轉換思想推導出了剩余壽命PDF,采用極大似然法估計了退化模型參數(shù)。制定了考慮隨機沖擊影響的視情維修與備件庫存聯(lián)合策略,以平均費用率最低為目標建立了聯(lián)合優(yōu)化模型,并設計了PSO-MCS優(yōu)化算法。以陀螺儀為例驗證了復雜環(huán)境中模型考慮隨機沖擊影響的必要性以及模型的有效性,同時敏感性分析結果表明隨機沖擊對多部件系統(tǒng)視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化結果具有重要影響。進一步說明了本文提出模型具有潛在的實際應用價值。

由于現(xiàn)有研究包括本文均在固定檢測周期下開展視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化,而在部件退化后期的檢測間隔內往往更易發(fā)生失效性更換,造成較大經(jīng)濟損失。因此,在下一步工作中,將研究如何利用部件剩余壽命信息確定合理的可變檢測周期,并對動態(tài)檢測周期視角下的視情維修與備件庫存聯(lián)合優(yōu)化問題深入探討。