張錦林, 李 炯, 雷虎民, 李萬禮, 唐 驍

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051; 2. 空軍工程大學(xué)研究生院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

近年來,各國(guó)空天武器快速發(fā)展,高空目標(biāo)的威脅日益劇增,對(duì)攔截器性能也提出了更高的要求,為確保成功攔截目標(biāo),應(yīng)使攔截器完成中末交接班,并使得攔截器在中制導(dǎo)結(jié)束時(shí),處于有利的攔截狀態(tài),即末制導(dǎo)律的捕獲區(qū)域。

比例導(dǎo)引律(proportional navigation,PN)由于其魯棒性和工程易實(shí)現(xiàn)性,在制導(dǎo)武器領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。PN制導(dǎo)律一般分為兩大類。一類是指令加速度方向垂直于攔截器速度方向,主要包括純PN(pure PN, PPN)及其變式,通常用于大氣層內(nèi)的攔截制導(dǎo)。另一類是指令加速度方向與視線有關(guān)的方向,主要包括真PN(true PN, TPN)、現(xiàn)實(shí)TPN(realistic PN, RTPN)、廣義TPN(generalized TPN, GTPN)、理想PN(ideal PN, IPN)及其變式,更適合于高空攔截場(chǎng)景。其中,TPN和RTPN加速度的方向垂直于視線,大小與視線旋轉(zhuǎn)角速度成正比,能控制視線旋轉(zhuǎn)角速度不發(fā)散,使攔截器具有較小的脫靶量,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的直接碰撞。而GTPN和IPN都存在視線方向上的指令加速度,在工程中難以應(yīng)用,因此TPN和RTPN是更適合高空攔截的制導(dǎo)律。

RTPN是使用實(shí)時(shí)的視線接近速度來代替TPN中的初始接近速度。文獻(xiàn)[19]認(rèn)為RTPN具有與TPN相似的性能,但具有更大的數(shù)學(xué)可處理性,因此有許多學(xué)者對(duì)RTPN進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[20]研究了TPN對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的封閉解,得到了TPN的一個(gè)圓形捕獲區(qū)域。文獻(xiàn)[24]推導(dǎo)出二維TPN和RTPN針對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域的形式。文獻(xiàn)[19]研究了TPN和RTPN針對(duì)二維機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域,目標(biāo)的加速度垂直于視線,與垂直視線的相對(duì)速度成反比。文獻(xiàn)[21]提出了一種新的針對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)和機(jī)動(dòng)目標(biāo)的RTPN解析解的求解方法。文獻(xiàn)[22,25]基于三維非線性耦合相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程集,分析了三維TPN和RTPN對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)和機(jī)動(dòng)目標(biāo)的性能,但文獻(xiàn)[21]、文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[25]機(jī)動(dòng)目標(biāo)是由TPN、RTPN制導(dǎo)律來引導(dǎo)的。文獻(xiàn)[26]得到二維RTPN針對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)和垂直視線方向機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域,該捕獲區(qū)域以速度前置角作為約束。文獻(xiàn)[29-30]提出了一種相位平面方法來研究三維TPN對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)和機(jī)動(dòng)能力有限的機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域,但該機(jī)動(dòng)是已知目標(biāo)準(zhǔn)確加速度的情況的機(jī)動(dòng)。

與以前的工作不同,文獻(xiàn)[23]、文獻(xiàn)[27]、文獻(xiàn)[28]和文獻(xiàn)[34]利用Lyapunov第二方法分析了制導(dǎo)律的性能針對(duì)有上限并垂直于視線的目標(biāo)加速度,利用Lyapunov第二方法分析了二維RTPN和三維 TPN的性能,但對(duì)攔截器的機(jī)動(dòng)大小未限制。文獻(xiàn)[28]在文獻(xiàn)[27]的基礎(chǔ)上加入攔截器機(jī)動(dòng)大小的限制,針對(duì)目標(biāo)垂直視線方向上的機(jī)動(dòng),得到二維RTPN的捕獲區(qū)域。文獻(xiàn)[34]將該方法應(yīng)用到現(xiàn)代制導(dǎo)律中,說明該方法應(yīng)用前景廣闊,但針對(duì)不機(jī)動(dòng)目標(biāo),具有較大的局限性。

結(jié)合上述文獻(xiàn)可得,目前在高空攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域,還存在以下問題:

(1) 在實(shí)際的攔截過程中,目標(biāo)應(yīng)該是三維有限機(jī)動(dòng),且機(jī)動(dòng)幅值會(huì)在一定范圍內(nèi)變化,而攔截器的機(jī)動(dòng)過載同樣有限,目前針對(duì)該條件下捕獲區(qū)域的研究仍為空白。

(2) 哪些影響因素決定著能否成功捕獲目標(biāo),各因素的變化對(duì)于捕獲區(qū)域的影響又是怎樣的?

基于以上問題,本文針對(duì)三維有限機(jī)動(dòng)的高速目標(biāo),即加速度方向任意,但大小有限的高速目標(biāo),對(duì)采用動(dòng)能碰撞的有限過載的三維RTPN制導(dǎo)律的捕獲區(qū)域進(jìn)行分析。首先,介紹了視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系、三維RTPN及其對(duì)應(yīng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系和假設(shè)條件;其次,對(duì)捕獲進(jìn)行了定義,采用Lyapunov第二方法證明了視線旋轉(zhuǎn)角速度的漸近穩(wěn)定性,并得到了有限過載的RTPN攔截任意三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域;然后,對(duì)本文捕獲區(qū)域進(jìn)行仿真驗(yàn)證以及影響因素分析;最后,給出總結(jié)以及本文結(jié)論的意義。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系

圖1中,表示以為原點(diǎn),以、、為軸的慣性坐標(biāo)系;視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(line-of-sight rotation coordinate system, LRC)表示以攔截器的質(zhì)心為原點(diǎn),以、、為軸的視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系;表示視線方向上的單位矢量,表示沿視線角速度方向上的單位矢量,=×表示視線單位法向量;視線角(line-of-sight,LOS)表示視線,表示攔截器在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量,表示目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量,表示攔截器速度,表示目標(biāo)速度。

圖1 LRCFig.1 LRC

在LRC中建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組可以簡(jiǎn)化三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述的復(fù)雜性。LRC中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可分為兩個(gè)解耦子運(yùn)動(dòng):

(1) 攔截器與目標(biāo)在相對(duì)位置矢量和速度矢量所跨越的瞬時(shí)密切面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng),稱為視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面。

(2) 視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面的旋轉(zhuǎn)。

以攔截器的質(zhì)心為原點(diǎn),三軸(,,)組成的視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系滿足關(guān)系:

(1)

式中:=表示視線的角速度;=表示視線旋轉(zhuǎn)平面的旋轉(zhuǎn)角速度。

1.2 基本假設(shè)條件

為了研究高空中有限過載攔截器攔截任意三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲問題,首先根據(jù)實(shí)際攔截情形,確定攔截器與目標(biāo)加速度的方向與大小。攔截器加速度大小受飽和過載約束,方向有導(dǎo)引方法確定;目標(biāo)的加速度大小受空氣密度制約,方向任意。其次,三維攔截的幾何形狀如圖1所示。為簡(jiǎn)化三維RTPN的性能分析,假設(shè)如下。

將攔截器和目標(biāo)視為質(zhì)點(diǎn),并忽略重力以及空氣阻力對(duì)攔截器和目標(biāo)的影響。

當(dāng)攔截器與目標(biāo)之間的距離小于導(dǎo)引頭的最大作用距離時(shí),則認(rèn)為攔截器成功跟蹤目標(biāo),能夠獲取目標(biāo)信息。

不考慮制導(dǎo)和控制誤差。

在高空攔截高速目標(biāo),采用動(dòng)能碰撞攔截。

1.3 攔截器與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析

結(jié)合圖1和基本假設(shè)條件,攔截器與目標(biāo)相對(duì)位置矢量為

=-=r

(2)

式中:=/r是視線方向的單位矢量。

對(duì)式(2)進(jìn)行求導(dǎo)可得,攔截過程中兩者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系為

(3)

將式(1)代入式(3)得

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行求導(dǎo),可得

(5)

將式(1)代入式(5)得

(6)

式中:、 、分別表示目標(biāo)加速度分解到視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸、、上的分量大小;、 、分別表示攔截器加速度分解到視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸、、上的分量大小。

三維RTPN制導(dǎo)的指令加速度表達(dá)式:

(7)

將式(7)代入式(6)得

(8)

且由式(4)可得

=-=

(9)

分析式(9)得,目標(biāo)與攔截器在垂直視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面上,速度投影差值為零,如果目標(biāo)存在垂直視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面的加速度,那么視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面將發(fā)生旋轉(zhuǎn),以滿足式(9)所示條件。這也是采用視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的優(yōu)點(diǎn),能夠?qū)⑷S攔截問題轉(zhuǎn)化為視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的攔截問題。

假設(shè)目標(biāo)的加速度滿足:

(10)

式中:、、、是常數(shù)。在實(shí)際的攔截作戰(zhàn)中,目標(biāo)的加速度上限可以根據(jù)實(shí)際目標(biāo)情報(bào)以及當(dāng)前科技發(fā)展水平確定。

2 現(xiàn)實(shí)真比例導(dǎo)引律性能分析

使用三維RTPN制導(dǎo)進(jìn)行高空攔截時(shí),最重要的是能否對(duì)目標(biāo)進(jìn)行捕獲,首先確定高空碰撞殺傷捕獲的定義。然后對(duì)視線旋轉(zhuǎn)角速度進(jìn)行Lyapunov穩(wěn)定性分析,最后得到有限過載三維RTPN的捕獲能力。

2.1 捕獲目標(biāo)的定義

對(duì)目標(biāo)的捕獲的定義。

(11)

而一般的捕獲定義為

(12)

將根據(jù)高空攔截的實(shí)際特點(diǎn),即動(dòng)能攔截,分析式(11)和式(12)可知,式(11)的表達(dá)更加符合實(shí)際攔截目標(biāo)捕獲的定義。

2.2 穩(wěn)定性分析

在分析三維RTPN性能之前,首先對(duì)攔截器視線角速度進(jìn)行Lyapunov穩(wěn)定性判定,得到攔截器視線角速度漸近穩(wěn)定的,并且其變化邊界與初始視線角速度、目標(biāo)加速度、容許碰撞速度以及導(dǎo)航比有關(guān)。

由式(8)可得,采用三維RTPN制導(dǎo)的攔截器能夠?qū)M足式(10)的任意三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截,如果導(dǎo)航比滿足:

>2

(13)

并且視線接近速度滿足:

(14)

式中:∈(0,+∞)為常數(shù)。則

(15)

一定成立。

首先用反證法對(duì)式(15)的不等式進(jìn)行證明。如果式(15)不成立,從()的連續(xù)來看,必然存在一些常數(shù),∈[0,]使得

()=

(16)

()>,<≤

(17)

選取如下Lyapunov函數(shù):

(18)

對(duì)式(18)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并結(jié)合式(8)的第二式可得

(19)

將式(10)和式(14)代入式(19)中可得

(20)

當(dāng)∈(,]時(shí),的邊界值已經(jīng)在式(15)假設(shè)出,將式(17)代入式(20)中可以得到:

(21)

根據(jù)式(21)可得,在攔截過程中是符合Lyapunov穩(wěn)定的,即

()≤,<≤

(22)

式(22)的結(jié)果與式(17)相矛盾,因此式(15)得以證明。

證畢

2.3 捕獲區(qū)域的確定

捕獲區(qū)域可認(rèn)為是一個(gè)狀態(tài)空間,與攔截器和目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān),當(dāng)攔截器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入該狀態(tài)空間時(shí),式(11)成立,即攔截器最終能成功捕獲目標(biāo)。

當(dāng)攔截器與目標(biāo)之間符合式(8)中的制導(dǎo)關(guān)系,且目標(biāo)加速度滿足式(10)時(shí),那么視線接近速度在制導(dǎo)過程中就有了一定的約束,其視線接近速度滿足:

(23)

由式(8)第一式和式(10)可得

(24)

對(duì)等式兩邊進(jìn)行積分可得

(25)

在實(shí)際的攔截過程中應(yīng)滿足()≥0,為了保證()≥0,應(yīng)使()≥0,而當(dāng)()=0時(shí),滿足下列關(guān)系式:

(26)

由式(26)的第二式可證明式(23)成立。

證畢

確定導(dǎo)航比的取值范圍,如果攔截器飽和機(jī)動(dòng)加速度為 max,由式(8)可得,采用有限過載的三維真比例導(dǎo)引的攔截器能夠?qū)M足式(10)的任意三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截,如果攔截器與目標(biāo)狀態(tài)滿足式(14)。

(27)

(28)

則

| |≤ max

(29)

成立。

由式(27)可得

(30)

由于式(30)的推導(dǎo)結(jié)果不易直接得到,下面對(duì)關(guān)鍵步驟進(jìn)行說明。

(31)

對(duì)式(31)的兩邊同時(shí)加2,化簡(jiǎn)可得式(30)左邊的不等式。

(32)

對(duì)式(32)化簡(jiǎn)得式(30)右邊的不等式。

由式(30)可確定導(dǎo)航比的取值范圍:

(33)

或者

(34)

因?yàn)槭?33)和式(34)合并即為式(28),兩式又分別代表的兩種約束條件,且的取值均滿足定理1中的條件,所以可以利用定理1針對(duì)的兩種約束條件,對(duì)攔截器的飽和機(jī)動(dòng)加速度 max進(jìn)行分析。

由式(33)右邊不等式可得

(35)

通過式(7)和式(15)可得

(36)

同時(shí)由式(33)左邊的不等式可得

(37)

由式(34)左邊不等式可得

(38)

通過式(7)和式(15)可得

(39)

同時(shí)由式(34)右邊的不等式可得

(40)

最后通過式(39)和式(40)可以證明式(29)成立,此時(shí)=| 0|。

證畢

說明采用三維RTPN制導(dǎo)且導(dǎo)航比在一定區(qū)間內(nèi)時(shí),攔截器與目標(biāo)初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿足一定條件后,攔截器的加速度在攔截作戰(zhàn)過程中能始終滿足小于攔截器的飽和機(jī)動(dòng)加速度 max。

由式(8)可得,采用有限過載的三維RTPN制導(dǎo)的攔截器能夠?qū)M足式(10)的任意三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截時(shí),制導(dǎo)的過程中應(yīng)滿足:

()>

(41)

如果攔截器與目標(biāo)之間的初始相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿足:

(42)

同時(shí)其導(dǎo)航比滿足:

(43)

那么

(44)

一定成立。

不等式(44)意味著一定存在一個(gè)時(shí)間常數(shù)∈(0,+∞)使式(11)有效,從而保證對(duì)目標(biāo)的捕獲。

(45)

成立。同時(shí)存在:

(46)

即在視線距離到達(dá)容許脫靶量之前,視線接近速度先到達(dá)容許碰撞速度。

由式(8)的第一式可得

(47)

對(duì)式(47)進(jìn)行積分可得在∈[0,)時(shí):

(48)

令

即在=時(shí)

(49)

成立。

由式(46)可得,()>,代入式(49)可得

(50)

下面根據(jù)式(15),分兩種條件對(duì)式(50)進(jìn)行討論,條件如下:

條件1:

(51)

條件2:

(52)

(53)

式(51)與式(43)矛盾,證明式(44)成立。

此時(shí)由式(43)和式(51)可得到式(42)。

條件2成立時(shí),= 0成立,由(50)可得

(54)

式(54)與式(42)矛盾,證明式(44)成立。

此時(shí),由式(42)和式(52)可得到式(43)。

證畢

從該定理4可知,當(dāng)對(duì)攔截器的過載即加速度沒有限制時(shí),定理4為采用RTPN制導(dǎo)的攔截器追擊任意三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)提供了一個(gè)充分但非必要的捕獲條件,也對(duì)導(dǎo)航比取值進(jìn)行了一定的約束。與此同時(shí),定理1和定理4也說明了目標(biāo)各方向上加速度上限對(duì)于捕獲區(qū)域的影響,決定捕獲區(qū)域的面積,值越大相應(yīng)的捕獲區(qū)域面積越小,和共同決定了三維RTPN制導(dǎo)的指令加速度的上界,不影響目標(biāo)的捕獲。

為方便描述,對(duì)捕獲區(qū)域進(jìn)行總結(jié),由式(23)和式(27)可得

(55)

由式(42)可得

(56)

為了更加清晰地描述攔截器與目標(biāo)初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與捕獲區(qū)域之間的關(guān)系,引入初始航向誤差,表達(dá)式如下:

0= 0

(57)

式中: 0位于視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面內(nèi),表示攔截器與目標(biāo)的初始航向誤差。該速度是相對(duì)速度,方向垂直于視線方向,另一種表達(dá)形式為

0=0-0

(58)

將式(11)、式(14)和式(57)代入式(55)和式(56)得

(59)

(60)

由式(59)和式(60)中可得,對(duì)攔截器的過載有限制時(shí),該捕獲區(qū)域和下列參數(shù)有關(guān):攔截器捕獲目標(biāo)初始距離、初始視線接近速度、初始航向誤差以及容許碰撞速度和容許脫靶量;攔截器飽和機(jī)動(dòng)加速度;目標(biāo)加速度在、方向上的上限。

因?yàn)閿r截任意三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域問題是非線性問題,無法求取其充分必要條件,所以本文求取的捕獲區(qū)域?yàn)閿r截器成功捕獲目標(biāo)的充分不必要條件,即滿足式(59)和式(60)捕獲條件一定能夠成功攔截目標(biāo),但并不意味著不滿足捕獲條件一定不能捕獲目標(biāo)。

3 捕獲區(qū)域仿真分析

本節(jié)將對(duì)捕獲區(qū)域進(jìn)行分析和驗(yàn)證,由兩個(gè)小節(jié)組成。第31節(jié)針對(duì)高速目標(biāo)在捕獲區(qū)域內(nèi)外分別對(duì)目標(biāo)的攔截場(chǎng)景和低速目標(biāo)在捕獲區(qū)域內(nèi)的仿真,以驗(yàn)證本文所證捕獲區(qū)域的有效性。第32節(jié)中分析捕獲區(qū)域的影響因素對(duì)于捕獲區(qū)域面積的影響。

3.1 捕獲區(qū)域有效性驗(yàn)證

在表1條件下,高速目標(biāo)采用極限加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)的捕獲區(qū)域如圖2所示。仿真情形1與仿真情形2分別是在如圖2所示的捕獲區(qū)域上邊界內(nèi)外,來對(duì)捕獲區(qū)域的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。仿真情形3是針對(duì)低速目標(biāo)進(jìn)行的捕獲區(qū)域驗(yàn)證。3種仿真情形中攔截器的初始速度狀態(tài)相同。

表1 捕獲區(qū)域的6個(gè)影響因素

圖2 表1數(shù)據(jù)下的捕獲區(qū)域Fig.2 Capture area under the data in Table 1

由式(59)和式(60)可知,在攔截器最初捕獲目標(biāo)時(shí),其捕獲區(qū)域已經(jīng)由表1中6個(gè)影響因素確定,針對(duì)某高速目標(biāo) 6個(gè)影響因素?cái)?shù)據(jù)如表1所示,其中重力加速度取9.8 m/s。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)結(jié)合式(59)和式(60),得捕獲區(qū)域如圖2所示。

在圖2的捕獲區(qū)域內(nèi),當(dāng)初始視線接近速度小于容許碰撞速度時(shí),目標(biāo)與攔截器初始視線接近速度越小,兩者在視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的初始航向誤差范圍越大。

3.1.1 仿真情形1

攔截器與目標(biāo)的初始狀態(tài)在本文捕獲區(qū)域內(nèi)時(shí),當(dāng)目標(biāo)采用表1中的極限加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí),攔截器初始位置(0 km,18 km,0 km),目標(biāo)位置(69.9 km,33 km,69.9 km),攔截器與目標(biāo)在速度視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的速度分別為(1 500 m/s,200 m/s,-500 m/s),(-4 400 m/s,440 m/s,-500 m/s),其對(duì)應(yīng)在固定坐標(biāo)系中速度約為(716.3 m/s,27.3 m/s,1 423.4 m/s),(-3 383.5 m/s,-1 090.1 m/s,-2 676.4 m/s),此時(shí)初始攔截器與目標(biāo)初始相對(duì)速度為(0, 0,0)=(-5 900,235,0)m/s,并設(shè)定目標(biāo)在上的過載為1。

即導(dǎo)航比取值范圍為4043 0≤≤4115 8。

導(dǎo)航比分別取27、41、55時(shí)的仿真結(jié)果分別如表2、圖3和圖4所示。

表2 情形1下的終端脫靶量

圖3 情形1下的攔截軌跡Fig.3 Interception trajectory in case one

圖4 情形1下的攔截器加速度Fig.4 Interceptor acceleration in case one

從表2和圖3中能直接觀察到,取27時(shí),攔截器未成功捕獲目標(biāo),原因是攔截器在攔截后期過載受限,未能成功攔截;取4.1、5.5時(shí),攔截器成功捕獲目標(biāo),雖然后者在攔截前期過載達(dá)到飽和,但后期仍處于飽和過載以內(nèi),仍能夠成功捕獲目標(biāo)。

圖3、圖4是在仿真情形1條件下,導(dǎo)航比分別取2.7、4.1、5.5時(shí),攔截器攔截目標(biāo)的軌跡圖和加速度圖,目標(biāo)是在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上采用極限加速度來驗(yàn)證捕獲區(qū)域的有效性,而在攔截過程中,不同的導(dǎo)航比將導(dǎo)致攔截器不同的過載以及攔截軌跡,這就進(jìn)一步導(dǎo)致攔截過程中視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的差異,進(jìn)而導(dǎo)致了目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡存在一定的差異,是合理的。

圖5展現(xiàn)了在仿真情形1時(shí),攔截器與目標(biāo)的相對(duì)速度在捕獲區(qū)域內(nèi)的變化曲線,攔截器成功捕獲目標(biāo)時(shí),攔截器與目標(biāo)接近或處于零控?cái)r截流形狀態(tài)(即位于圖2中=0的橫軸上),這與文獻(xiàn)[3,19]中成功捕獲條件相符合;攔截器在取27時(shí),未能捕獲目標(biāo),在攔截后期遠(yuǎn)離零控?cái)r截流形狀態(tài),原因是持續(xù)機(jī)動(dòng)的目標(biāo)與攔截器接近,視線距離開始減小,而目標(biāo)與攔截器在此時(shí)仍未處于零控?cái)r截流形狀態(tài)。從式(8)的第3式可得,視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面的旋轉(zhuǎn)角速度開始增大,導(dǎo)致視線軸劇烈旋轉(zhuǎn),目標(biāo)與攔截器相對(duì)速度也變化劇烈,導(dǎo)致攔截器持續(xù)遠(yuǎn)離零控?cái)r截流形狀態(tài)。

圖5 情形1下捕獲區(qū)域曲線Fig.5 Capture area curve in case one

在仿真情形1下,成功的驗(yàn)證了在捕獲區(qū)域內(nèi),攔截器能對(duì)目標(biāo)進(jìn)行捕獲。

312 仿真情形2

攔截器與目標(biāo)的初始狀態(tài)不在本文捕獲區(qū)域內(nèi)時(shí),當(dāng)目標(biāo)采用表1中的極限加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí),攔截器初始位置(0 km,18 km,0 km),目標(biāo)位置(69.9 km,18 km,69.9 km),攔截器與目標(biāo)速度在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的速度分別為(1 500 m/s,200 m/s,-500 m/s),(-4 400 m/s,550 m/s,-500 m/s),其對(duì)應(yīng)在固定坐標(biāo)系中速度約為(716.3 m/s,27.3 m/s,1 423.4 m/s),(-3 371.3 m/s,-1 203.8 m/s,-2 664.2 m/s),此時(shí)兩者的相對(duì)速度為(0, 0,0)=(-5 900,350,0)m/s,并設(shè)定目標(biāo)在上的過載為1。

即對(duì)應(yīng)攔截器加速度始終小于飽和加速度時(shí),導(dǎo)航比為空集,這與攔截器與目標(biāo)的初始狀態(tài)不在本文捕獲區(qū)域內(nèi)假設(shè)相符合。

為了驗(yàn)證本文捕獲區(qū)域的正確性,導(dǎo)航比的取值與仿真情形一相同,分別取27、41、55進(jìn)行仿真。

表3是在仿真情形2下,目標(biāo)與攔截器的終端脫靶量。從表3、圖6和圖7中能直接觀察到,導(dǎo)航比分別取27、41、55時(shí),攔截器均未成功捕獲目標(biāo),原因是攔截器與目標(biāo)的初始航向誤差 0過大,導(dǎo)致攔截器在攔截過程中對(duì)過載的需求超過了攔截器的飽和機(jī)動(dòng)過載,最終導(dǎo)致捕獲失敗。

表3 情形2下的終端脫靶量

圖6～圖8是在仿真情形2條件下,導(dǎo)航比分別取2.7、4.1、5.5時(shí),攔截器攔截目標(biāo)的軌跡圖、加速度圖和相對(duì)速度在捕獲區(qū)域內(nèi)的變化曲線圖。從圖7可得,當(dāng)目標(biāo)取視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的極限加速度,導(dǎo)航比取4.1和5.5時(shí),兩者攔截器的加速度都始終處于飽和機(jī)動(dòng)加速度狀態(tài),這也導(dǎo)致兩種導(dǎo)航比下,攔截器的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同,這也解釋了在圖6和圖8中,兩者的圖像完全重合問題。

圖6 情形2下的攔截軌跡Fig.6 Interception trajectory in case two

圖7 情形2下的攔截器加速度Fig.7 Interceptor acceleration in case two

圖8 情形2下捕獲區(qū)域曲線Fig.8 Captures area curve in case two

在圖8中,攔截器與目標(biāo)初始狀態(tài)在捕獲區(qū)域外,最終都未能夠進(jìn)入零控?cái)r截流形狀態(tài),捕獲失敗,原因與仿真情形1中導(dǎo)航比為2.7時(shí)相同。

在仿真情形2下,成功的驗(yàn)證了在捕獲區(qū)域外,攔截器不能對(duì)目標(biāo)進(jìn)行捕獲。

3.1.3 仿真情形3

針對(duì)低速目標(biāo)特性,在表1的基礎(chǔ)上,修改捕獲區(qū)域的兩個(gè)影響因素的參數(shù)如表4。在表4條件下,低速目標(biāo)采用極限加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)的捕獲區(qū)域如圖11所示。仿真情形3是在如圖11所示的捕獲區(qū)域上邊界內(nèi),來對(duì)捕獲區(qū)域的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

表4 修改捕獲區(qū)域的影響因素

攔截器與目標(biāo)的初始狀態(tài)在本文捕獲區(qū)域內(nèi)時(shí),當(dāng)目標(biāo)采用表1中的極限加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí),攔截器初始位置(0 km,0 km,0 km),目標(biāo)位置(0 km,0 km,30 km),攔截器與目標(biāo)在速度視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的速度分別為(1 423.4 m/s,710.4 m/s,95.8 m/s),(-500 m/s,920 m/s,95.8 m/s),其對(duì)應(yīng)在固定坐標(biāo)系中速度約為(716.3 m/s,27.3 m/s,1 423.4 m/s),(924.9 m/s,7.2 m/s,-500.0 m/s),此時(shí)初始攔截器與目標(biāo)初始相對(duì)速度為(0, 0,0)=(-1 923.4,209.6,0)m/s,并設(shè)定目標(biāo)在上的過載為1。

即導(dǎo)航比取值范圍為3704 6≤≤4064 3。

導(dǎo)航比分別取27、39、51時(shí)的仿真結(jié)果分別如表5、圖9～圖11所示。表5是在各上述導(dǎo)航比下,目標(biāo)與攔截器的終端脫靶量。

表5 情形3下的終端脫靶量

圖9 情形3下的攔截軌跡Fig.9 Interception trajectory in case three

圖10 情形3下的攔截器加速度Fig.10 Interceptor acceleration in case three

圖11 情形3下捕獲區(qū)域曲線Fig.11 Capture area curve in case three

從表5、圖9和圖10可得,取27時(shí),攔截器未成功捕獲目標(biāo),原因是攔截器在攔截后期過載受限,未能成功攔截;取3.9、5.1時(shí),攔截器成功捕獲目標(biāo),雖然后者在攔截前期過載達(dá)到飽和,但后期仍處于飽和過載以內(nèi),仍能夠成功捕獲目標(biāo)。

對(duì)比圖11與圖5可得,在捕獲區(qū)域內(nèi)攔截低速目標(biāo)和高速目標(biāo),速度變化趨勢(shì)相似,即在選取合適的導(dǎo)航比時(shí),速度狀態(tài)總能趨近于零控?cái)r截流形。再根據(jù)表1和表4可得,攔截低速目標(biāo)和高速目標(biāo)最大的差異在于容許碰撞速度的不同,其他條件不變時(shí),攔截目標(biāo)的視線接近速度越大,其容許碰撞速度相對(duì)越大。而由攔截器捕獲目標(biāo)初始距離和容許碰撞速度引起的捕獲區(qū)域的變化也由第2節(jié)給出。

對(duì)比情形1和情形3可得,攔截低速目標(biāo)情形與攔截高速目標(biāo)在捕獲區(qū)域內(nèi)情形相似,從而證明了本文所推導(dǎo)的有限過載的三維現(xiàn)實(shí)真比例導(dǎo)引的捕獲區(qū)域,對(duì)不同類型目標(biāo)的適用性。

3.2 分析捕獲區(qū)域影響因素

由式(44)和式(45)可知,該捕獲區(qū)域的影響因素共8個(gè)參量,除去作為變量的初始視線接近速度、初始航向誤差,其余6個(gè)參量均可在攔截前進(jìn)行確定或者估計(jì)。下面將分析攔截器捕獲目標(biāo)初始距離、容許碰撞速度和容許脫靶量,攔截器飽和機(jī)動(dòng)加速度,目標(biāo)加速度在、方向上的機(jī)動(dòng)加速度上限對(duì)于捕獲區(qū)域面積的影響。

各影響因素對(duì)于捕獲區(qū)域的影響將采用控制變量法分析。以表1中的數(shù)據(jù)為原始對(duì)比數(shù)據(jù),以表6中的各行數(shù)據(jù)作為控制變量,來分別描述6個(gè)影響因素變化對(duì)于捕獲區(qū)域面積的影響。

表6 單一變量變化時(shí)的取值

攔截器捕獲目標(biāo)初始距離分別取80 km、100 km和120 km時(shí),捕獲區(qū)域變化如圖12所示,該距離的越大,攔截器與目標(biāo)碰撞所需要的時(shí)間越長(zhǎng),由于目標(biāo)在視線方向上存在朝向攔截器的加速度,造成捕獲區(qū)域整體向左移動(dòng),但對(duì)視線接近速度位于捕獲區(qū)域內(nèi)的攔截器,其在捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差范圍增大,即攔截器能在更大初始航向誤差范圍內(nèi)對(duì)目標(biāo)成功捕獲。容許碰撞速度由很多因素決定,是一個(gè)相對(duì)參考值,一般認(rèn)為碰撞速度超過了容許碰撞速度,攔截器碰撞目標(biāo)后,就能夠摧毀目標(biāo)。從圖13中可以得到,容許碰撞速度主要決定了捕獲區(qū)域的右邊界,即容許碰撞速度越小,對(duì)捕獲成功時(shí)視線接近速度的要求越小。從捕獲的角度出發(fā),容許碰撞速度在滿足成功摧毀目標(biāo)的前提下,被設(shè)計(jì)的越小越好。

圖12 攔截器捕獲目標(biāo)初始距離變化時(shí)捕獲區(qū)域Fig.12 Interceptor captures the region when initial distance of target changes

圖13 容許碰撞速度變化時(shí)捕獲區(qū)域Fig.13 Capture region when allowable collision velocity variation

容許脫靶量由攔截器的殺傷半徑?jīng)Q定,由于該值相對(duì)于攔截器捕獲目標(biāo)初始距離過小,對(duì)于捕獲區(qū)域的影響可忽略,所以在圖14中容許脫靶量為0.10 m、0.20 m被0.25 m的圖像所覆蓋,該量對(duì)于捕獲區(qū)域面積的影響可忽略不計(jì),但在實(shí)際的攔截過程中,該值越小,對(duì)攔截器的命中精度要求越高。

圖14 容許脫靶量變化時(shí)捕獲區(qū)域Fig.14 Capture region when allowable miss distance variation

從圖15可得,攔截器飽和機(jī)動(dòng)加速度對(duì)捕獲區(qū)域的右邊界沒影響,只影響捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差的范圍。從攔截器的角度出發(fā),對(duì)于相同初始視線接近速度,攔截器飽和機(jī)動(dòng)加速度越大,捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差取值的范圍越大,越有利于成功捕獲目標(biāo)。

圖15 攔截器飽和機(jī)動(dòng)加速度變化時(shí)捕獲區(qū)域Fig.15 Capture region when interceptor saturation maneuvering acceleration changes

目標(biāo)在上的加速度上限影響了捕獲區(qū)域的右邊界和捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差,由圖16可得,該加速度越大,目標(biāo)進(jìn)行的機(jī)動(dòng)對(duì)于視線接近速度影響越大,導(dǎo)致在捕獲區(qū)域內(nèi)初始視線接近速度的取值范圍越小,捕獲區(qū)域左移,進(jìn)一步導(dǎo)致捕獲區(qū)域的面積越小,對(duì)目標(biāo)的捕獲難度越大。

圖16 目標(biāo)在er上的加速度上限變化時(shí)捕獲區(qū)域Fig.16 Capture region when the upper limit of the target’s acceleration on the er varies

從圖17可得,目標(biāo)在上的加速度上限對(duì)捕獲區(qū)域的右邊界沒影響,只影響捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差的范圍。從捕獲的角度出發(fā),該值越大,捕獲區(qū)域內(nèi)初始航向誤差的范圍越小,越不利于成功捕獲目標(biāo)。對(duì)比圖15可知,其影響與攔截器飽和機(jī)動(dòng)加速度的影響相反。

從本小節(jié)分析可得,在攔截器與目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載受限,在初始視線接近速度相同時(shí),從攔截角度出發(fā),攔截器捕獲目標(biāo)初始距離越大、飽和機(jī)動(dòng)加速度越大、容許碰撞速度越小,攔截器越有利于成功捕獲目標(biāo);從目標(biāo)角度出發(fā),目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度越大、被攔截器捕獲的初始距離越小、越不易被破壞越有利于突防。

圖17 目標(biāo)在eθ上的加速度上限變化時(shí)捕獲區(qū)域Fig.17 Capture region when the upper limit of the target’s acceleration on the eθ varies

4 結(jié) 論

本文基于視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型,利用Lyapunov第二方法證明了視線旋轉(zhuǎn)角速度Lyapunov穩(wěn)定,然后通過反證法,得到了有限過載的三維RTPN攔截有限三維機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)域,為中末制導(dǎo)交接班時(shí)刻的條件約束設(shè)計(jì)提供了理論支撐。

本文提出的捕獲區(qū)域是以攔截器與目標(biāo)在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的相對(duì)速度差作為坐標(biāo)系,在二維平面內(nèi),本文結(jié)論在目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度任意且有界、方向垂直于彈目視線的假設(shè)條件下,與以前的結(jié)論一致,但本文結(jié)論適用于三維攔截,對(duì)于目標(biāo)的加速度的形式?jīng)]有特定要求,僅需預(yù)知目標(biāo)三維機(jī)動(dòng)加速度上界,若存在合適的導(dǎo)航比,就能保證在攔截器的飽和機(jī)動(dòng)過載范圍內(nèi)成功捕獲目標(biāo),能夠適用于現(xiàn)實(shí)的攔截場(chǎng)景。對(duì)于捕獲區(qū)域影響因素的分析,對(duì)攔截器的性能的設(shè)計(jì)以及目標(biāo)的攔截和突防提供理論指導(dǎo),具有一定的工程指導(dǎo)意義。