劉明霞，唐利明，熊點華，吳 亮，王佳佳

(湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 恩施 445000)

圖像處理是計算機(jī)視覺的重要組成部分.圖像在拍攝、壓縮和傳輸?shù)冗^程中通常會受到噪聲的干擾，進(jìn)而影響圖像的質(zhì)量.圖像去噪的一個重要任務(wù)是在保留圖像細(xì)節(jié)特征的基礎(chǔ)上降低噪聲的干擾，即從一幅觀測圖像f中恢復(fù)真實圖像u.在圖像去噪過程中，常用的方法有空域濾波方法[1]、變換域濾波方法[2]、正則化方法[3]、偏微分方程方法[4]、形態(tài)學(xué)去噪方法[5]和小波變換方法[6]等，其中正則化方法受到研究者的廣泛關(guān)注和研究.

最初，Rafael等[7]提出運(yùn)用傳統(tǒng)的線性濾波器處理圖像中的噪聲，但濾波器的線性性質(zhì)使圖像的邊緣變得模糊.后來，一些學(xué)者提出利用非線性偏微分方程來保留圖像的邊緣等重要結(jié)構(gòu).例如：Perona和Malik[8]引入一個非線性算子以保護(hù)圖像邊緣.基于此，Rudin等[9]在1992年提出全變分(nonlinear total variation based noise removal algorithms,TV)模型.TV模型在保留圖像邊緣的基礎(chǔ)上可以很好地去除噪聲.但是TV模型在BV空間中有分段常數(shù)解，從而產(chǎn)生階梯效應(yīng).高階變分模型在消除階梯效應(yīng)方面起著重要作用.例如，Lysaker等[10]提出了四階偏微分方程模型；Chan等[11]提出了高階全變分正則化方法；Lysaker和Tai[12]提出了結(jié)合全變分和二階泛函模型；Florian等[13]提出了全廣義變分(second order total generalized variation for MRI,TGV)模型.雖然高階變分方法在消除階梯效應(yīng)方面有顯著效果，但通常導(dǎo)致散斑效應(yīng).由于全變分正則化和高階變分正則化的缺點，一些學(xué)者開始研究分?jǐn)?shù)階微積分[14].分?jǐn)?shù)階變分正則化已廣泛應(yīng)用于邊緣檢測[15]、圖像去噪[16-22]、圖像去模糊[23]和圖像分割[24]等.用于圖像去噪的基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的變分框架[25]的實驗結(jié)果表明只要選擇合適的參數(shù)，分?jǐn)?shù)階變分模型就可以消除階梯效應(yīng)和散斑效應(yīng)，而且在保留紋理細(xì)節(jié)方面優(yōu)于TV模型.

分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型在去噪過程中，由于分?jǐn)?shù)階正則化的階數(shù)是不確定的，所以需要在實驗中多次調(diào)整階數(shù)值或者通過多幅圖像的平均去噪效果來確定最優(yōu)階數(shù)值.這兩種尋找最優(yōu)階數(shù)方法的缺陷是：① 多次調(diào)整參數(shù)，耗費時間長；② 通過平均去噪效果來取階數(shù)值，有些圖像并沒有達(dá)到最優(yōu)的去噪效果.為解決這一問題，在基于自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分的醫(yī)學(xué)圖像增強(qiáng)算法[26]的啟發(fā)下，提出了一種基于圖像的梯度、信息熵和方差三種圖像信息的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分算子，從而實現(xiàn)每幅圖像所對應(yīng)階數(shù)的自動選擇.最后分別使用光滑圖像和紋理圖像作對比實驗，并依據(jù)峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(Structural Similarity,SSIM)兩個評定標(biāo)準(zhǔn)，對去噪后的圖像作比較分析.實驗結(jié)果表明，自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型不僅在去除噪聲方面有較好的效果，而且最大程度上保留圖像的紋理細(xì)節(jié)和邊緣.

1 相關(guān)背景

主要介紹已經(jīng)廣泛應(yīng)用的3種各向異性擴(kuò)散模型，分別是：PM(scale-space and edge detection using anisotropic diffusion)模型、TV模型和分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型.

1.1 PM模型

PM模型是Perona和Malik于1990年提出的各向異性擴(kuò)散模型.該模型的各向異性擴(kuò)散方程為

(1)

1.2 TV模型

TV模型是1992年Rudin等提出的依靠梯度下降流對圖像進(jìn)行平滑的各向異性擴(kuò)散模型.該模型在圖像內(nèi)部盡可能對圖像進(jìn)行平滑，而在圖像邊緣盡可能不去平滑.模型的最小化能量泛函是：

(2)

該模型的解存在且唯一.TV模型是擴(kuò)散系數(shù)為1/|?u|的各向異性擴(kuò)散模型，該算子僅沿梯度的正交方向擴(kuò)散，因此它不但可以去除圖像中的噪聲，而且可以有效地保留圖像的邊緣紋理等細(xì)節(jié)信息.但是在實際處理圖像的過程中，圖像的平坦區(qū)域并不存在邊緣，因此TV模型處理圖像時，仍沿著邊緣方向擴(kuò)散就會出現(xiàn)階梯效應(yīng).

1.3 分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型

由于全變分在圖像去噪過程中容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)，分?jǐn)?shù)階變分正則化引起了許多研究者的關(guān)注.2007年白健等提出的分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型[16]如下：

(3)

雖然該模型去除噪聲效果較好，且能夠保留圖像紋理結(jié)構(gòu)等，但其分?jǐn)?shù)階變分正則化的階數(shù)值通常需要大量的實驗來確定，某些實驗圖像無法取到最優(yōu)階數(shù)值，從而導(dǎo)致一些圖像沒有達(dá)到最好的去噪效果.

2 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型

2.1 自適應(yīng)函數(shù)的構(gòu)造

利用圖像的梯度、信息熵和方差自適應(yīng)地確定分?jǐn)?shù)階變分正則化的階數(shù)，這三種圖像信息及表達(dá)式如下所述.

(4)

(5)

(6)

(7)

通過實驗可知，在圖像去噪過程中，分?jǐn)?shù)階變分正則化階數(shù)的取值與圖像的梯度、信息熵和方差有關(guān).因此，本節(jié)的重點是尋求階數(shù)與梯度、信息熵和方差三者之間的函數(shù)映射關(guān)系，以更好地根據(jù)這三種信息自適應(yīng)地確定階數(shù)α.對圖像的梯度、信息熵和方差進(jìn)行線性組合：

f=k1r+k2H+(1-k1-k2)s,

(8)

(9)

表1 不同階數(shù)下的平均峰值信噪比Tab.1 The average peak signal-to-noise ratio at different orders

2.2 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型

(10)

(11)

(12)

3 基于自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散的圖像增強(qiáng)模型算法

分?jǐn)?shù)階微積分[28]在基礎(chǔ)研究和工程應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用.Leibnizz和L’Hospital于1695年提出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它可看作是整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣.頻率域定義容易實現(xiàn)且耗費低，故本文使用頻率域定義實現(xiàn)去噪過程.其定義如下所述：對任意函數(shù)f(t)∈L2(R)，它的Fourier變換是：

(13)

(14)

(15)

(16)

其中，F(xiàn)-1是2維連續(xù)Fourier逆變換算子.

在處理圖像時，圖像函數(shù)是定義在有界域上的.但利用Fourier變換得到的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是定義在R2上的.故當(dāng)輸入圖像u定義在Ω?R2上時，需將圖像函數(shù)延拓到R2上并保持其正則性[16].

結(jié)合離散Fourier變換容易實現(xiàn)的特點，本文使用2維離散Fourier變換(Two Dimension Discrete Fourier transform,2-D DFT)計算分?jǐn)?shù)階微分.設(shè)圖像u(x,y)的像素大小是m×m，則u(x,y)的2-D DFT是：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

算法步驟如下：

4 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文算法的有效性，將提出的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散(adaptive fractional-order anisotropic diffusion,AFOAD)模型與全變分(TV)模型[9]、全廣義變分(TGV)模型[13]、非凸高階結(jié)合重疊群稀疏(combined higher order non-convex total variation with overlapping group sparsity for impulse noise removal,HNHOTVOGS)模型[29]和分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散(fractional-order anisotropic diffusion for image denoising,FOAD)模型[16]進(jìn)行對比實驗且用峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)為評價標(biāo)準(zhǔn)對去噪圖像進(jìn)行評價.分別選取3幅光滑圖像和3幅紋理圖像做去噪處理，并與上文中提到的4種模型作對比實驗，以此驗證本文模型對光滑圖像和紋理圖像的去噪能力.圖像的尺寸大小是512×512，給原始圖像添加標(biāo)準(zhǔn)差分別為10、15和20的高斯白噪聲.原始圖像如圖1所示.實驗在MS-20191029UOWV Pentium(R) Dual-Core CPU E5500 @2.80 GHz 2.79 GHz RAM 2.00 G matlab2014a環(huán)境下進(jìn)行.

(a) 人物 (b) CT (c) 辣椒 (d) 墻面 (e) 松樹 (f) 斑馬圖1 原始圖像Fig.1 Original images

4.1 信息比例

為確定梯度、信息熵和方差所占比例，選取40幅圖像進(jìn)行實驗.在去噪過程中，設(shè)定梯度所占比例大于信息熵、方差所占比例，并以平均峰值信噪比作為評價標(biāo)準(zhǔn)，最終確定三者所占比例.每種比例及平均峰值信噪比(APSNR)結(jié)果如表2所示.

表2 三種信息不同權(quán)重下的平均峰值信噪比 (單位：dB)Tab.2 Average peak signal-to-noise ratio under different weights of three kinds of information (unit:dB)

4.2 光滑圖像去噪

光滑圖像的去噪實驗結(jié)果如下圖2～4所示.由圖2～4可看出全變分(TV)模型、全廣義變分(TGV)模型、非凸高階結(jié)合重疊群稀疏(HNHOTVOGS)模型、分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散(FOAD)模型和本文(AFOAD)模型都可以去除一定的噪聲.這五種模型對于添加標(biāo)準(zhǔn)差為10和15的噪聲圖像的去噪效果優(yōu)于對標(biāo)準(zhǔn)差為20的噪聲圖像的去噪效果，標(biāo)準(zhǔn)差為20的噪聲圖像經(jīng)過五種模型去噪以后依然受噪聲影響較明顯.由表3可知，TV模型、TGV模型和HNHOTVOGS模型對標(biāo)準(zhǔn)差為10和15的光滑圖像去噪后的PSNR值普遍大于30 dB，且本文所提出模型的去噪效果普遍優(yōu)于對比模型的去噪效果.同時，5種模型對標(biāo)準(zhǔn)差為10和15的光滑噪聲圖像去噪后的SSIM值整體保持在0.85以上，去噪后的圖像結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)依然完整，且AFOAD模型對去噪CT圖像的SSIM值始終保持在0.85以上，這在醫(yī)學(xué)診療疾病方面是極有用的.綜合表3可以看出，本文模型去噪結(jié)果的評價指標(biāo)數(shù)值整體優(yōu)于其他模型，說明了本文模型對光滑圖像去噪的有效性.

(a) 噪聲圖像 (b) TV (c) TGV (d) HNHOTVOGS (e) FOAD (f) AFOAD 注：1至3行自左至右分別是添加標(biāo)準(zhǔn)差為10、15和20的高斯噪聲圖像及5種模型去噪圖像.圖2 人物圖像實驗對比Fig.2 The experimental comparison of character image

(a) 噪聲圖像 (b) TV (c) TGV (d) HNHOTVOGS (e) FOAD (f) AFOAD 注：1至3行自左至右分別是添加標(biāo)準(zhǔn)差為10、15和20的高斯噪聲圖像及5種模型去噪圖像.圖3 CT圖像實驗對比Fig.3 The experimental comparison of CT image

(a) 噪聲圖像 (b) TV (c) TGV (d) HNHOTVOGS (e) FOAD (f) AFOAD 注：1至3行自左至右分別是添加標(biāo)準(zhǔn)差為10、15和20的高斯噪聲圖像及5種模型去噪圖像.圖4 辣椒圖像實驗對比Fig.4 The experimental comparison of peppers image

圖5 本文算法的收斂性分析Fig.5 The convergence analysis of the proposed algorithm

(a) 噪聲圖像 (b) TV (c) TGV (d) HNHOTVOGS (e) FOAD (f) AFOAD 注：1至3行自左至右分別是添加標(biāo)準(zhǔn)差為10、15和20的高斯噪聲圖像及5種模型去噪圖像.圖6 墻面圖像實驗對比Fig.6 The experimental comparison of wall image

4.3 收斂性分析

4.4 紋理圖像去噪

選取紋理圖像作為實驗對象來驗證所提出模型的去噪能力，圖6～8給出了紋理圖像的去噪結(jié)果.由圖6～8看出，AFOAD模型對紋理圖像去噪后,圖像細(xì)節(jié)保留完整.TV模型、TGV模型、HNHOTVOGS模型和FOAD模型均可以去除圖像中一部分噪聲，但是斑馬圖像經(jīng)過HNHOTVOGS模型和FOAD模型去噪后變得模糊.由表4可知，5種模型對紋理圖像的去噪效果差于對光滑圖像的去噪效果，這5種模型對3幅紋理圖像去噪的PSNR值整體上小于30 dB，AFOAD模型的PSNR值總體上優(yōu)于TV模型.同時，TGV模型、FOAD模型和AFOAD模型對3幅圖像去噪后的SSIM值總體保持在0.8以上，而HNHOTVOGS模型對3幅圖像去噪的SSIM值整體保持在0.7以上， TV模型和AFOAD模型對紋理圖像去噪的SSIM值平均在0.85以上.綜合表4可知，本文模型對紋理圖像的去噪效果優(yōu)于對比的模型，進(jìn)一步說明本文模型對紋理圖像的適用性.

(a) 噪聲圖像 (b) TV (c) TGV (d) HNHOTVOGS (e) FOAD (f) AFOAD 注：1至3行自左至右分別是添加標(biāo)準(zhǔn)差為10、15和20的高斯噪聲圖像及5種模型去噪圖像.圖7 松樹圖像實驗對比Fig.7 The experimental comparison of pine tree image

(a) 噪聲圖像 (b) TV (c) TGV (d) HNHOTVOGS (e) FOAD (f) AFOAD 注：1至3行自左至右分別是添加標(biāo)準(zhǔn)差為10、15和20的高斯噪聲圖像及5種模型去噪圖像.圖8 斑馬圖像實驗對比Fig.8 The experimental comparison of zebra image

表4 紋理圖像去噪結(jié)果的PSNR和SSIM Tab.4 PSNR and SSIM of texture image denoised results

5 結(jié)論

針對傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型需要手動調(diào)整最優(yōu)階數(shù)的問題，從自適應(yīng)確定階數(shù)的角度優(yōu)化了模型.該模型通過圖像的梯度、信息熵和方差構(gòu)造有關(guān)階數(shù)α的函數(shù)，并依據(jù)峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似度評定標(biāo)準(zhǔn)，對去噪后的圖像作了比較分析.實驗結(jié)果表明，相較于全變分模型、全廣義變分模型、非凸高階結(jié)合重疊群稀疏模型和分?jǐn)?shù)階各向異性擴(kuò)散模型，本文所提出的模型不僅能夠平滑噪聲，而且在去除噪聲的同時更大程度上保留了圖像的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)特征；相對于手動調(diào)整階數(shù)的模型，本文模型為實驗調(diào)整參數(shù)節(jié)省了大量時間.即本文模型有如下優(yōu)勢：① 依據(jù)圖像信息自適應(yīng)地確定每幅圖像的最優(yōu)階數(shù)值；② 最大程度上保留圖像的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)；③ 為調(diào)整參數(shù)節(jié)省時間.本文模型對于圖像去噪有較好的應(yīng)用前景.下一步工作將考慮對紋理圖像的去噪效果作進(jìn)一步改進(jìn)，提高對紋理圖像的去噪能力.