肖家全

（武漢市洪山高級中學(xué)，湖北 武漢 430000）

2020年浙江省1月高考物理試卷第22題如下.

例題.通過測量質(zhì)子在磁場中的運動軌跡和打到探測板上的計數(shù)率（即打到探測板上質(zhì)子數(shù)與衰變產(chǎn)生總質(zhì)子數(shù)N的比值），可研究中子的β衰變.中子衰變后轉(zhuǎn)化成質(zhì)子和電子，同時放出質(zhì)量可視為0的反中微子.如圖1所示，位于P點的靜止中子經(jīng)衰變可形成一個質(zhì)子源，該質(zhì)子源在紙面內(nèi)各向均勻地發(fā)射N個質(zhì)子.在P點下方放置有長度L＝1.2m以O(shè)為中點的探測板P點離探測板的垂直距離OP為a.在探測板的上方存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場.

圖1

已知 電 子 質(zhì) 量me＝9.1×10－31kg＝0.51MeV/c2，中子質(zhì)量mn＝939.57MeV/c2，質(zhì)子質(zhì)量mp＝938.27MeV/c2（c為光速，不考慮粒子之間的相互作用）.若質(zhì)子的動量p＝4.8×10－21kg·m·s－1＝3×10－8MeV·s·m－1，電荷量e＝1.6×10－19C.

（1）寫出中子衰變的核反應(yīng)式，求電子和反中微子的總動能（以MeV為能量單位）；

（2）當(dāng)a＝0.15m，B＝0.1T時，求計數(shù)率；

（3）若a取不同的值，可通過調(diào)節(jié)B的大小獲得與（2）問中同樣的計數(shù)率，求B與a的關(guān)系并給出B的取值范圍.

命題組給出的參考答案如下.

（1）略.

（3）在確保計數(shù)率為2/3的情況下，R′＝2a，即如圖2（乙）所示，恰好能打在探測板左端的條件為解得因此滿足條件的

圖2

筆者研究后發(fā)現(xiàn)，第（3）問答案存在以下兩個問題.

（1）答案沒有指明a的取值范圍.設(shè)想a非常大，肯定達不到的計數(shù)率.

（2）經(jīng)計算，若L保持一定，依據(jù)a的取值不同，B與a的關(guān)系可能有3種.

事實上，若粒子圓半徑在此基礎(chǔ)上有所增大，v1和v2的方向都會變化，原從v2逆時針旋轉(zhuǎn)至v1對應(yīng)的240°角會有所增大，所以即便是有部分粒子從A點左側(cè)漏出，計數(shù)率仍有可能達到原值，如圖3（乙）所示.

圖3

下面通過定量計算來判斷這種情況是否有解.

設(shè)4個圓對應(yīng)的臨界速度分別為v1、v2、v3、v4.沿逆時針方向觀察，v1與v2之間、v3與v4之間的粒子打不到板上.設(shè)圓O1中圓心角為γ，菱形PO3AO4中∠APO4＝θ，滿足360°－2γ－2θ＝240°有同樣的計數(shù)率，即

由幾何關(guān)系可知

顯然應(yīng)該有0＜θ＜60°，且0＜γ＜60°，即

（1）式兩邊取余弦，得

由（2）、（3）式得

代入（6）式

解此方程得

另一根為

經(jīng)檢驗，解方程的過程中兩邊平方導(dǎo)致了此增根，舍去.

下面繼續(xù)探究（8）成立的條件.

將（8）式代入（2）式，并注意到（4）式，得

解此不等式得

將（8）式代入（3）式，并注意到（5）式，得

解此不等式得

綜上所述，

是獲得與（2）問中同樣的計數(shù)率另一解，其前提條件由式（10）、（12）的交集給出，即若板長L可變，a與L仍應(yīng)滿足此關(guān)系，代入（8）式則可求出相應(yīng)a與L下符合要求的粒子圓半徑.本題中L＝1.2m一定，代入得B應(yīng)滿足的條件

以上代數(shù)運算過程經(jīng)Mathematica7.0驗算無誤，所對應(yīng)幾何情景由GeoGebra5.0作圖，各角度度量結(jié)果如圖4所示，此時γ＋θ＝33.73°＋25.87°≈60°，證明此解是存在的.

圖4

本題很好地考查了帶電粒子在磁場中的運動，需要同時考慮到軌跡圓的旋轉(zhuǎn)和縮放，是一道頗具難度和區(qū)分度的好題.但在分秒必爭的考場上，即便考生想到了獲得同樣的計數(shù)率有兩種可能，恐怕也無法完整寫出后一個答案.作為高考壓軸題最后一問，重要的功能是區(qū)別優(yōu)生，但恰恰是思維最嚴謹?shù)膶W(xué)生才會想到可能有多解，頂尖學(xué)生在此困擾，耗費時間而難有作為，不嚴謹?shù)娜朔炊p松跳過，這應(yīng)該不是我們設(shè)計此問的初衷，不能不說略有遺憾.