張曉建

(安徽省滁州中學 239000)

1 題目呈現(xiàn)

題目(2021年全國乙卷理科第18題)如圖1，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點，且PB⊥AM．

圖1

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值．

1.1 試題情境分析

本題命制情境的幾何體是一個四棱錐，其滿足底面是一個矩形，有一條側棱垂直于底面，其原型是“陽馬”模型．

1.2 學科核心素養(yǎng)與學業(yè)質量水平

學科核心素養(yǎng)學業(yè)質量水平(一、二、三)數(shù)學思想邏輯推理能夠對與學過的知識有關聯(lián)的數(shù)學命題的條件與結論的分析,探索論證的思路,選擇合適的論證方法予以證明,并能用準確的數(shù)學語言表述論證過程(水平二)直觀想象能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關系的基本方法,能夠借助圖形性質探索數(shù)學規(guī)律,解決實際問題或數(shù)學問題(水平二)數(shù)學運算能夠針對運算問題,合理選擇運算方法、設計運算程序,解決問題.能夠理解運算是一種演繹推理;能夠在綜合運用運算方法解決問題的過程中,體會程序思想的意義和作用(水平二)轉化與化歸

1.3 基礎知識與基本技能

二面角的定義以及二面角的平面角求解；運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異；運用向量方法解決簡單的數(shù)學問題和實際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具；能用向量方法解決點到直線、點到平面、平行直線、平行平面間的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

解析由題知，PD⊥底面ABCD,PD⊥AM.

又PB⊥AM，所以AM⊥平面PDB.

所以AM⊥DB.

2.2 第(2)問解析

圖2

故平面APM與平面EBCP所成銳二面角即為所求．

連接AF交BE于點H，則由長方體性質可得AH⊥平面EBCP.

過點H作HI⊥PM于點I，連接AI，則∠AIH即為二面角A-PM-B的平面角．

圖3

故平面APM與平面EBCP所成銳二面角即為所求．

連接AF交BE于點H，則由長方體性質可得AH⊥平面EBCP.

過點H作HI⊥PM于點I，連接AI，則∠AIH即為二面角A-PM-B的平面角．

二是建立考核獎勵機制。要進一步健全考核獎勵機制，在檢查評比的基礎上，每年對工作成績突出、群眾認可的協(xié)會進行表彰獎勵；對工作不力、群眾意見大的協(xié)會進行整頓、改選，確保農(nóng)民用水戶協(xié)會長期發(fā)揮效益。

圖4

作BN⊥PM于點N，則

圖5

由等體積變換VP-ABC=VA-PBC，

解法5 如圖6，由題意，PD⊥底面ABCD,PD⊥AM.

圖6

又PB⊥AM，所以AM⊥平面PDB.

所以平面ABCD⊥平面PDB,且交線為PO.

過點O作OS⊥PO交PB于點S，過點O作OT⊥PM交PM于點T,連接ST，則∠OTS即為二面角A-PM-B的平面角.

解法6建立如圖7所示空間坐標系D-xyz．

圖7

同理可求得平面PMB的一個法向量為m=(0,1,1).

筆者從不同的角度分析、解決二面角的求解問題，當然對于不同的立體幾何模型而言常需要不同的方法，希望能夠借此文章和各位讀者共同探討.為更好地掌握本題，特改編兩道練習如下：

圖8