側(cè)滑打滑時(shí)的WMR抗飽和模糊超螺旋滑?？刂?/h1>
2022-03-15 09:45:32李振陽董方明佃松宜
計(jì)算機(jī)仿真 2022年2期
李振陽，董方明，佃松宜，趙 濤
(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川 成都 610065)
1 引言
輪式移動(dòng)機(jī)器人(Wheeled Mobile Robot，WMR)廣泛應(yīng)用于工業(yè)制造、航空航天以及服務(wù)業(yè)中，而軌跡跟蹤控制是WMR的核心控制問題，吸引了大量學(xué)者進(jìn)行相關(guān)方法的研究。目前，針對(duì)WMR的軌跡跟蹤控制方法，主要有反演控制[1]、自適應(yīng)控制[2]、模糊控制[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4]以及滑?？刂芠5]。上述文獻(xiàn)提出的方法，均假設(shè)WMR滿足理想的純滾動(dòng)非完整約束。但在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)WMR在濕滑地面運(yùn)動(dòng)或者急速轉(zhuǎn)彎時(shí)，可能出現(xiàn)側(cè)滑和縱向打滑現(xiàn)象，破壞理想非完整約束。
目前，針對(duì)理想非完整約束的WMR軌跡跟蹤問題已經(jīng)有大量的研究成果，然而針對(duì)具有側(cè)滑、縱向打滑干擾下的WMR軌跡跟蹤問題的研究還較少。文獻(xiàn)[6]考慮WMR輪子的縱向打滑，設(shè)計(jì)了基于滑模觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)學(xué)軌跡跟蹤控制器，但其僅在運(yùn)動(dòng)學(xué)層面進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，忽略了WMR的動(dòng)力學(xué)屬性。文獻(xiàn)[7]提出一種基于廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制方法，但其需要系統(tǒng)擾動(dòng)的上界信息。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)一種模糊干擾觀測(cè)器，對(duì)WMR的側(cè)滑和打滑干擾進(jìn)行觀測(cè)，但該方法對(duì)外界不確定擾動(dòng)考慮不足。文獻(xiàn)[9]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)側(cè)滑和打滑干擾進(jìn)行逼近，結(jié)合強(qiáng)化學(xué)習(xí)機(jī)制實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制，但該控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，難以用于實(shí)時(shí)控制。文獻(xiàn)[10-11]提出一種基于自抗擾思想的動(dòng)力學(xué)控制器，通過線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)WMR系統(tǒng)總體不確定性進(jìn)行估計(jì)，但其軌跡跟蹤初期具有較大的力矩跳變，對(duì)執(zhí)行器的損害較大。
上述文獻(xiàn)在理想非完整約束的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了WMR的側(cè)滑、打滑干擾，但均未考慮WMR執(zhí)行器的飽和約束問題。而在實(shí)際控制過程中，執(zhí)行器的飽和約束是不可忽略的。如果設(shè)計(jì)的控制器輸出量大于執(zhí)行器能夠承受的上界值，則容易造成執(zhí)行器的損壞，導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)失效[12]。綜合上述分析，本文設(shè)計(jì)一種抗飽和模糊超螺旋滑模控制方法，相較于文獻(xiàn)[6]-[11]，所提出的控制方法不僅考慮了WMR軌跡跟蹤過程中未知上界的側(cè)滑打滑干擾和外界擾動(dòng)，同時(shí)能夠處理WMR的執(zhí)行器飽和約束問題。
本文的貢獻(xiàn)及創(chuàng)新點(diǎn)主要有：1)建立具有側(cè)滑打滑干擾以及執(zhí)行器飽和約束的WMR模型，相較已有的研究，更貼近實(shí)際應(yīng)用；2)設(shè)計(jì)具有飽和約束系統(tǒng)的WMR動(dòng)力學(xué)控制器，實(shí)現(xiàn)WMR在執(zhí)行器飽和約束條件下的抗飽和控制；3)設(shè)計(jì)超螺旋滑?？刂坡桑瑴p小系統(tǒng)控制力矩中的抖振現(xiàn)象，并設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)對(duì)超螺旋控制律中的參數(shù)進(jìn)行在線自適應(yīng)調(diào)整，增強(qiáng)控制器在WMR系統(tǒng)擾動(dòng)上界未知時(shí)的抗擾能力。
2 模型分析
圖1為包含側(cè)滑、打滑干擾時(shí)的WMR示意圖。其中X-O-Y為全局坐標(biāo)系，XC-C-YC為WMR的局部坐標(biāo)系，b為輪子與質(zhì)心之間的距離，r為輪子的半徑，C為WMR的質(zhì)心，v和ω分別為線速度和角速度，vyc為側(cè)滑速度，ξr和ξl為輪子縱向打滑角速度擾動(dòng)。
圖1 WMR示意圖
設(shè)WMR在坐標(biāo)系X-O-Y中的位姿向量為q=[x，y，θ，θr，θl]T，存在側(cè)滑、縱向打滑時(shí)的非完整約束方程為
(1)
其中(x，y)為質(zhì)心C在坐標(biāo)系X-O-Y中的坐標(biāo)，θ為轉(zhuǎn)向角，θr和θl為驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度。
簡化式(1)，非完整約束方程可以表示為
(2)
其中
Λ=[vyc，-rξr，-rξl]T.
定義矩陣S(q)如下，其滿足A(q)S(q)=0。
(3)
由式(2)和(3)，得到側(cè)滑、縱向打滑時(shí)的WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)方程
(4)
其中
z=[v，ω]T，ζ=[ζv，ζw]T
其中z=[v，ω]T為WMR的線速度和角速度，ζv和ζω為縱向打滑擾動(dòng)，ψ(q，vyc)為側(cè)向滑動(dòng)造成的干擾。由文獻(xiàn)[11]可知，干擾ζv，ζω，ψ(q，vyc)均有界，并且其一階導(dǎo)數(shù)也有界。
根據(jù)拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，WMR動(dòng)力學(xué)模型可以表示為
(5)
其中M(q)∈5×5為慣性矩陣，5×5為科氏矩陣，G(q)∈5×1為重力項(xiàng)，B(q)∈5×2為變換矩陣，τ∈2×1為力矩項(xiàng)，η為拉格朗日算子。
對(duì)式(3)求導(dǎo)，代入式(5)，左乘S(q)T，考慮模型不確定性和外界干擾，則動(dòng)力學(xué)模型為
(6)
其中
m=mc+2mw，I=Ic+2Im+2mwb2
其中mc、mw、Ic、Im、Iw為WMR相關(guān)物理參數(shù)。D為系統(tǒng)總擾動(dòng)，與側(cè)滑打滑干擾、外界擾動(dòng)和模型不確定性有關(guān)，具體形式為：
(7)
飽和約束函數(shù)為
(8)
則考慮執(zhí)行器飽和約束條件時(shí)，式(6)所示的動(dòng)力學(xué)模型可以改寫為
(9)
3 控制器設(shè)計(jì)
為降低整個(gè)WMR系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)復(fù)雜度，本文采用反演法設(shè)計(jì)WMR軌跡跟蹤控制器，即把WMR分為運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩個(gè)子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器和動(dòng)力學(xué)控制器。
3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器設(shè)計(jì)
根據(jù)WMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(4)可知，WMR可以通過線速度和角速度調(diào)整，實(shí)現(xiàn)軌跡調(diào)整，因此運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器需輸出合適的速度控制律，使軌跡跟蹤誤差收斂于零。首先設(shè)WMR在坐標(biāo)系X-O-Y中跟蹤的參考軌跡qr=[xr，yr，θr]T為
(10)
其中vr、ωr分別為參考線速度和角速度，且有vr>0.
結(jié)合WMR的實(shí)際軌跡q和參考軌跡qr，可以推導(dǎo)出軌跡跟蹤誤差qe為：
(11)
對(duì)式(11)求導(dǎo)可得qe的動(dòng)態(tài)方程
(12)
根據(jù)qe的動(dòng)態(tài)方程，設(shè)計(jì)WMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器[1]
(13)
式(13)中，kx>0、ky>0、kθ>0為WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器參數(shù)。vc和ωc分別為運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器得到的虛擬線速度和角速度。
3.2 動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)
根據(jù)WMR的動(dòng)力學(xué)模型式(9)，本文設(shè)計(jì)的WMR動(dòng)力學(xué)控制器，以運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器的輸出zc作為參考輸入，得到力矩控制輸出，實(shí)現(xiàn)WMR的速度跟蹤。動(dòng)力學(xué)控制器的設(shè)計(jì)步驟為：1)抗飽和輔助系統(tǒng)設(shè)計(jì)；2)抗飽和超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)；3)抗飽和模糊超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)。
3.2.1 抗飽和輔助系統(tǒng)設(shè)計(jì)
根據(jù)式(7)-(9)可知，WMR的執(zhí)行器存在飽和約束，執(zhí)行器輸出不能超過最大輸出值τmax，因此需要設(shè)計(jì)抗飽和輔助系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)WMR的執(zhí)行器飽和補(bǔ)償?？癸柡洼o助系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下
(14)
式(14)中，λ=[λ1，λ2]T為輔助系統(tǒng)的狀態(tài)變量，H為式(9)中的參數(shù)矩陣，Δτ為式(7)所示的飽和約束誤差，矩陣A為
為保證WMR的抗飽和輔助系統(tǒng)(14)穩(wěn)定，矩陣A需滿足Hurwitz條件，即a1>0，a2>0[12].
3.2.2 抗飽和超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)
根據(jù)WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器輸出zc和抗飽和輔助系統(tǒng)狀態(tài)變量λ，定義WMR的速度跟蹤誤差ze
(15)
其中v和ω分別為WMR的實(shí)際線速度和角速度。根據(jù)WMR速度跟蹤誤差ze，構(gòu)建積分滑模面
(16)
其中β>0為滑模面參數(shù)。為了設(shè)計(jì)WMR動(dòng)力學(xué)控制器中的滑?？刂坡桑柰茖?dǎo)滑模面的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合式(7)、式(9)、式(14)和式(15)，有
WMR的滑模動(dòng)力學(xué)控制律分為等效控制律和切換控制律，設(shè)計(jì)如下
1)等效控制律
(18)
2)切換控制律
等效控制律τeq能在不考慮WMR系統(tǒng)總擾動(dòng)的條件下，使系統(tǒng)狀態(tài)保持在滑模面上。但WMR系統(tǒng)的總擾動(dòng)不可忽略，需要引入切換控制律，補(bǔ)償系統(tǒng)總擾動(dòng)D.為了克服傳統(tǒng)滑?？刂浦袕V泛存在的抖振現(xiàn)象，采用超螺旋滑?？刂坡蒣13]作為WMR的切換控制律
(19)
結(jié)合τeq和τsw，得到WMR的抗飽和超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器
(20)
3.2.3 抗飽和模糊自適應(yīng)超螺旋動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)
為解決控制器(20)在D未知時(shí)參數(shù)選擇困難的問題，設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)，估計(jì)WMR超螺旋滑?？刂坡傻膮?shù)K1和K2.以用于1估計(jì)的模糊系統(tǒng)為例，具體設(shè)計(jì)步驟為：
1)WMR滑模面模糊化
以式(16)構(gòu)建的WMR滑模面si作為模糊系統(tǒng)的輸入，通過如下的模糊規(guī)則進(jìn)行模糊化處理
2)解模糊輸出控制器參數(shù)
采用權(quán)值平均法解模糊，得到模糊系統(tǒng)的清晰化輸出，即WMR超螺旋控制律的參數(shù)k1i：
(21)
通過上述模糊系統(tǒng)對(duì)WMR超螺旋滑?？刂坡芍械目刂茀?shù)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)1和2分別為模糊系統(tǒng)對(duì)WMR超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器參數(shù)的估計(jì)值，表達(dá)式如下
(22)
(23)
由此可在式(20)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到WMR的抗飽和模糊超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器
(24)
(25)
(26)
式中：αi>0和βi>0為學(xué)習(xí)率參數(shù)。結(jié)合WMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器，整個(gè)控制框圖如圖2所示。
圖2 控制系統(tǒng)框圖
4 穩(wěn)定性分析
本節(jié)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，對(duì)設(shè)計(jì)的WMR軌跡跟蹤控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。
定理：采用運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制律式(13)、抗飽和模糊超螺旋滑?？刂坡墒?24)和模糊超螺旋自適應(yīng)律式(25)～(26)，可以保證WMR的軌跡跟蹤誤差qe和速度跟蹤誤差ze漸進(jìn)穩(wěn)定。
證明：設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為
V=V1+V2
(27)
其中V1用于分析WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器式(13)的穩(wěn)定性，V2用于分析WMR動(dòng)力學(xué)控制器式(24)的穩(wěn)定性，具體表達(dá)式為
(28)
(29)
1)WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器穩(wěn)定性分析
V1對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將式(12)～(13)代入，則
(30)
2)WMR動(dòng)力學(xué)控制器穩(wěn)定性分析
V2對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將式(22)～(24)代入，有
(31)
將式設(shè)計(jì)的模糊系統(tǒng)參數(shù)自適應(yīng)律(25)、(26)代入式(31)中，可以得到
≤0.
(32)
綜上，設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)可以保證WMR的軌跡跟蹤誤差qe和速度跟蹤誤差ze漸進(jìn)穩(wěn)定。證畢。
5 仿真研究
為驗(yàn)證本文所提出控制方法的有效性，通過Matlab進(jìn)行仿真研究。WMR模型參數(shù)為
mc=2kg，mw=0.5kg，b=0.15m，r=0.05m，Ic=0.0675kg·m2，Im=0.0125kg·m2，Iw=0.01125kg·m2.
運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器參數(shù)為：kx=8，ky=10，kθ=10.模糊系統(tǒng)采用三個(gè)三角隸屬度函數(shù)，如圖3所示。滑模面參數(shù)為β=7，模糊自適應(yīng)律學(xué)習(xí)率參數(shù)為：α1=15，α2=5，β1=80，β2=100.模糊系統(tǒng)的參數(shù)向量k1i、k2i初始值取0.01.抗飽和輔助系統(tǒng)的參數(shù)取a1=a2=10，λ1和λ2的初始值取0.01.執(zhí)行器的飽和約束取τmax=8N·m.
圖3 三角隸屬度函數(shù)
參考速度取vr=1m/s，ωr=0.5rad/s，初始位姿取qr=[1.2，0.8，0]T；實(shí)際初始位姿為取q=[0，0，0]T，初始速度取v=0m/s，ω=0rad/s.
為了驗(yàn)證所提出的模糊超螺旋滑?？刂品椒ú恍枰到y(tǒng)擾動(dòng)的上界信息，在仿真中加入不同上界值的擾動(dòng)：當(dāng)t<15s時(shí)，不考慮側(cè)滑和打滑，僅?。害砫=[Td1，Td2]T=[2sin(t)，2sin(t)]T.
當(dāng)t≥15s時(shí)，加入側(cè)滑和打滑，取橫向滑移速度為vyc=1m/s，縱向打滑角速度擾動(dòng)取為：ξr=sin(t)、ξl=sin(2t)+0.5.并且取較大的擾動(dòng)：Τd=[Td1，Td2]T=[12sin(t)，15sin(t)]T.
與固定增益的等速趨近律滑?？刂破骱统菪？刂破鬟M(jìn)行對(duì)比。固定增益等速滑?？刂破鲄?shù)選取Γ=diag{5，5}，固定增益超螺旋控制器參數(shù)選取為：K1=diag{5，5}，K2=diag{5，5}.
圖4 軌跡跟蹤曲線
圖5 X軸誤差
圖6 Y軸誤差
圖7 線速度誤差
圖8 角速度誤差
圖9～圖10分別為WMR的左、右輪力矩曲線，可以看出，通過設(shè)計(jì)的抗飽和輔助系統(tǒng)，能夠?qū)?zhí)行器的輸出力矩約束在[-τmax，τmax]以內(nèi)。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，超螺旋滑?？刂坡蔀檎倚瓦B續(xù)控制量，相比于等速滑模，有效的削減了控制量中的抖振。
圖9 右輪驅(qū)動(dòng)力矩
圖10 左輪驅(qū)動(dòng)力矩
采用平方誤差積分(ISE)、絕對(duì)誤差積分(IAE)和時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分(ITAE)對(duì)軌跡、速度跟蹤性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，表達(dá)式如下。表1～4分別給出了三種控制方法的指標(biāo)對(duì)比，可看出，相較于其它兩種控制方法，本文提出的方法具有最優(yōu)的性能指標(biāo)，跟蹤性能更好。
表1 X軸跟蹤性能指標(biāo)
表2 Y軸跟蹤性能指標(biāo)
表3 線速度跟蹤性能指標(biāo)
表4 角速度跟蹤性能指標(biāo)
6 結(jié)論
本文針對(duì)WMR在側(cè)滑、打滑干擾和執(zhí)行器飽和約束條件下的軌跡跟蹤問題，提出一種抗飽和模糊超螺旋控制策略，通過仿真研究與分析，主要有以下結(jié)論：
1)設(shè)計(jì)的飽和約束輔助系統(tǒng)，能將力矩控制量限制在執(zhí)行器最大輸出值以內(nèi)，避免WMR軌跡跟蹤初期出現(xiàn)較大的力矩跳變，實(shí)現(xiàn)WMR的抗飽和控制；
2)設(shè)計(jì)的模糊超螺旋滑?？刂坡?，能克服上界未知的WMR系統(tǒng)擾動(dòng)，當(dāng)軌跡跟蹤過程中擾動(dòng)發(fā)生突變、上界改變時(shí)，模糊參數(shù)自適應(yīng)律能使軌跡跟蹤誤差和速度跟蹤誤差始終收斂；控制量連續(xù)且無抖振；
3)在對(duì)比仿真研究中，通過誤差性能指標(biāo)定量分析三種不同控制策略的跟蹤控制性能，可以得出，所提出的控制策略具有更高的跟蹤精度。
后續(xù)工作的重點(diǎn)是結(jié)合實(shí)際的WMR和嵌入式控制平臺(tái)，對(duì)本文提出的控制策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
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1 引言
輪式移動(dòng)機(jī)器人(Wheeled Mobile Robot，WMR)廣泛應(yīng)用于工業(yè)制造、航空航天以及服務(wù)業(yè)中，而軌跡跟蹤控制是WMR的核心控制問題，吸引了大量學(xué)者進(jìn)行相關(guān)方法的研究。目前，針對(duì)WMR的軌跡跟蹤控制方法，主要有反演控制[1]、自適應(yīng)控制[2]、模糊控制[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4]以及滑?？刂芠5]。上述文獻(xiàn)提出的方法，均假設(shè)WMR滿足理想的純滾動(dòng)非完整約束。但在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)WMR在濕滑地面運(yùn)動(dòng)或者急速轉(zhuǎn)彎時(shí)，可能出現(xiàn)側(cè)滑和縱向打滑現(xiàn)象，破壞理想非完整約束。
目前，針對(duì)理想非完整約束的WMR軌跡跟蹤問題已經(jīng)有大量的研究成果，然而針對(duì)具有側(cè)滑、縱向打滑干擾下的WMR軌跡跟蹤問題的研究還較少。文獻(xiàn)[6]考慮WMR輪子的縱向打滑，設(shè)計(jì)了基于滑模觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)學(xué)軌跡跟蹤控制器，但其僅在運(yùn)動(dòng)學(xué)層面進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，忽略了WMR的動(dòng)力學(xué)屬性。文獻(xiàn)[7]提出一種基于廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制方法，但其需要系統(tǒng)擾動(dòng)的上界信息。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)一種模糊干擾觀測(cè)器，對(duì)WMR的側(cè)滑和打滑干擾進(jìn)行觀測(cè)，但該方法對(duì)外界不確定擾動(dòng)考慮不足。文獻(xiàn)[9]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)側(cè)滑和打滑干擾進(jìn)行逼近，結(jié)合強(qiáng)化學(xué)習(xí)機(jī)制實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制，但該控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，難以用于實(shí)時(shí)控制。文獻(xiàn)[10-11]提出一種基于自抗擾思想的動(dòng)力學(xué)控制器，通過線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)WMR系統(tǒng)總體不確定性進(jìn)行估計(jì)，但其軌跡跟蹤初期具有較大的力矩跳變，對(duì)執(zhí)行器的損害較大。
上述文獻(xiàn)在理想非完整約束的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了WMR的側(cè)滑、打滑干擾，但均未考慮WMR執(zhí)行器的飽和約束問題。而在實(shí)際控制過程中，執(zhí)行器的飽和約束是不可忽略的。如果設(shè)計(jì)的控制器輸出量大于執(zhí)行器能夠承受的上界值，則容易造成執(zhí)行器的損壞，導(dǎo)致整個(gè)控制系統(tǒng)失效[12]。綜合上述分析，本文設(shè)計(jì)一種抗飽和模糊超螺旋滑模控制方法，相較于文獻(xiàn)[6]-[11]，所提出的控制方法不僅考慮了WMR軌跡跟蹤過程中未知上界的側(cè)滑打滑干擾和外界擾動(dòng)，同時(shí)能夠處理WMR的執(zhí)行器飽和約束問題。
本文的貢獻(xiàn)及創(chuàng)新點(diǎn)主要有：1)建立具有側(cè)滑打滑干擾以及執(zhí)行器飽和約束的WMR模型，相較已有的研究，更貼近實(shí)際應(yīng)用；2)設(shè)計(jì)具有飽和約束系統(tǒng)的WMR動(dòng)力學(xué)控制器，實(shí)現(xiàn)WMR在執(zhí)行器飽和約束條件下的抗飽和控制；3)設(shè)計(jì)超螺旋滑?？刂坡桑瑴p小系統(tǒng)控制力矩中的抖振現(xiàn)象，并設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)對(duì)超螺旋控制律中的參數(shù)進(jìn)行在線自適應(yīng)調(diào)整，增強(qiáng)控制器在WMR系統(tǒng)擾動(dòng)上界未知時(shí)的抗擾能力。
2 模型分析
圖1為包含側(cè)滑、打滑干擾時(shí)的WMR示意圖。其中X-O-Y為全局坐標(biāo)系，XC-C-YC為WMR的局部坐標(biāo)系，b為輪子與質(zhì)心之間的距離，r為輪子的半徑，C為WMR的質(zhì)心，v和ω分別為線速度和角速度，vyc為側(cè)滑速度，ξr和ξl為輪子縱向打滑角速度擾動(dòng)。
圖1 WMR示意圖
設(shè)WMR在坐標(biāo)系X-O-Y中的位姿向量為q=[x，y，θ，θr，θl]T，存在側(cè)滑、縱向打滑時(shí)的非完整約束方程為
(1)
其中(x，y)為質(zhì)心C在坐標(biāo)系X-O-Y中的坐標(biāo)，θ為轉(zhuǎn)向角，θr和θl為驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度。
簡化式(1)，非完整約束方程可以表示為
(2)
其中
Λ=[vyc，-rξr，-rξl]T.
定義矩陣S(q)如下，其滿足A(q)S(q)=0。
(3)
由式(2)和(3)，得到側(cè)滑、縱向打滑時(shí)的WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)方程
(4)
其中
z=[v，ω]T，ζ=[ζv，ζw]T
其中z=[v，ω]T為WMR的線速度和角速度，ζv和ζω為縱向打滑擾動(dòng)，ψ(q，vyc)為側(cè)向滑動(dòng)造成的干擾。由文獻(xiàn)[11]可知，干擾ζv，ζω，ψ(q，vyc)均有界，并且其一階導(dǎo)數(shù)也有界。
根據(jù)拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，WMR動(dòng)力學(xué)模型可以表示為
(5)
其中M(q)∈5×5為慣性矩陣，5×5為科氏矩陣，G(q)∈5×1為重力項(xiàng)，B(q)∈5×2為變換矩陣，τ∈2×1為力矩項(xiàng)，η為拉格朗日算子。
對(duì)式(3)求導(dǎo)，代入式(5)，左乘S(q)T，考慮模型不確定性和外界干擾，則動(dòng)力學(xué)模型為
(6)
其中
m=mc+2mw，I=Ic+2Im+2mwb2
其中mc、mw、Ic、Im、Iw為WMR相關(guān)物理參數(shù)。D為系統(tǒng)總擾動(dòng)，與側(cè)滑打滑干擾、外界擾動(dòng)和模型不確定性有關(guān)，具體形式為：
(7)
飽和約束函數(shù)為
(8)
則考慮執(zhí)行器飽和約束條件時(shí)，式(6)所示的動(dòng)力學(xué)模型可以改寫為
(9)
3 控制器設(shè)計(jì)
為降低整個(gè)WMR系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)復(fù)雜度，本文采用反演法設(shè)計(jì)WMR軌跡跟蹤控制器，即把WMR分為運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩個(gè)子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器和動(dòng)力學(xué)控制器。
3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器設(shè)計(jì)
根據(jù)WMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(4)可知，WMR可以通過線速度和角速度調(diào)整，實(shí)現(xiàn)軌跡調(diào)整，因此運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器需輸出合適的速度控制律，使軌跡跟蹤誤差收斂于零。首先設(shè)WMR在坐標(biāo)系X-O-Y中跟蹤的參考軌跡qr=[xr，yr，θr]T為
(10)
其中vr、ωr分別為參考線速度和角速度，且有vr>0.
結(jié)合WMR的實(shí)際軌跡q和參考軌跡qr，可以推導(dǎo)出軌跡跟蹤誤差qe為：
(11)
對(duì)式(11)求導(dǎo)可得qe的動(dòng)態(tài)方程
(12)
根據(jù)qe的動(dòng)態(tài)方程，設(shè)計(jì)WMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器[1]
(13)
式(13)中，kx>0、ky>0、kθ>0為WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器參數(shù)。vc和ωc分別為運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器得到的虛擬線速度和角速度。
3.2 動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)
根據(jù)WMR的動(dòng)力學(xué)模型式(9)，本文設(shè)計(jì)的WMR動(dòng)力學(xué)控制器，以運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器的輸出zc作為參考輸入，得到力矩控制輸出，實(shí)現(xiàn)WMR的速度跟蹤。動(dòng)力學(xué)控制器的設(shè)計(jì)步驟為：1)抗飽和輔助系統(tǒng)設(shè)計(jì)；2)抗飽和超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)；3)抗飽和模糊超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)。
3.2.1 抗飽和輔助系統(tǒng)設(shè)計(jì)
根據(jù)式(7)-(9)可知，WMR的執(zhí)行器存在飽和約束，執(zhí)行器輸出不能超過最大輸出值τmax，因此需要設(shè)計(jì)抗飽和輔助系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)WMR的執(zhí)行器飽和補(bǔ)償?？癸柡洼o助系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下
(14)
式(14)中，λ=[λ1，λ2]T為輔助系統(tǒng)的狀態(tài)變量，H為式(9)中的參數(shù)矩陣，Δτ為式(7)所示的飽和約束誤差，矩陣A為
為保證WMR的抗飽和輔助系統(tǒng)(14)穩(wěn)定，矩陣A需滿足Hurwitz條件，即a1>0，a2>0[12].
3.2.2 抗飽和超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)
根據(jù)WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器輸出zc和抗飽和輔助系統(tǒng)狀態(tài)變量λ，定義WMR的速度跟蹤誤差ze
(15)
其中v和ω分別為WMR的實(shí)際線速度和角速度。根據(jù)WMR速度跟蹤誤差ze，構(gòu)建積分滑模面
(16)
其中β>0為滑模面參數(shù)。為了設(shè)計(jì)WMR動(dòng)力學(xué)控制器中的滑?？刂坡桑柰茖?dǎo)滑模面的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合式(7)、式(9)、式(14)和式(15)，有
WMR的滑模動(dòng)力學(xué)控制律分為等效控制律和切換控制律，設(shè)計(jì)如下
1)等效控制律
(18)
2)切換控制律
等效控制律τeq能在不考慮WMR系統(tǒng)總擾動(dòng)的條件下，使系統(tǒng)狀態(tài)保持在滑模面上。但WMR系統(tǒng)的總擾動(dòng)不可忽略，需要引入切換控制律，補(bǔ)償系統(tǒng)總擾動(dòng)D.為了克服傳統(tǒng)滑?？刂浦袕V泛存在的抖振現(xiàn)象，采用超螺旋滑?？刂坡蒣13]作為WMR的切換控制律
(19)
結(jié)合τeq和τsw，得到WMR的抗飽和超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器
(20)
3.2.3 抗飽和模糊自適應(yīng)超螺旋動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)
為解決控制器(20)在D未知時(shí)參數(shù)選擇困難的問題，設(shè)計(jì)模糊系統(tǒng)，估計(jì)WMR超螺旋滑?？刂坡傻膮?shù)K1和K2.以用于1估計(jì)的模糊系統(tǒng)為例，具體設(shè)計(jì)步驟為：
1)WMR滑模面模糊化
以式(16)構(gòu)建的WMR滑模面si作為模糊系統(tǒng)的輸入，通過如下的模糊規(guī)則進(jìn)行模糊化處理
2)解模糊輸出控制器參數(shù)
采用權(quán)值平均法解模糊，得到模糊系統(tǒng)的清晰化輸出，即WMR超螺旋控制律的參數(shù)k1i：
(21)
通過上述模糊系統(tǒng)對(duì)WMR超螺旋滑?？刂坡芍械目刂茀?shù)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)1和2分別為模糊系統(tǒng)對(duì)WMR超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器參數(shù)的估計(jì)值，表達(dá)式如下
(22)
(23)
由此可在式(20)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到WMR的抗飽和模糊超螺旋滑模動(dòng)力學(xué)控制器
(24)
(25)
(26)
式中：αi>0和βi>0為學(xué)習(xí)率參數(shù)。結(jié)合WMR的運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器，整個(gè)控制框圖如圖2所示。
圖2 控制系統(tǒng)框圖
4 穩(wěn)定性分析
本節(jié)基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，對(duì)設(shè)計(jì)的WMR軌跡跟蹤控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析。
定理：采用運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制律式(13)、抗飽和模糊超螺旋滑?？刂坡墒?24)和模糊超螺旋自適應(yīng)律式(25)～(26)，可以保證WMR的軌跡跟蹤誤差qe和速度跟蹤誤差ze漸進(jìn)穩(wěn)定。
證明：設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為
V=V1+V2
(27)
其中V1用于分析WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器式(13)的穩(wěn)定性，V2用于分析WMR動(dòng)力學(xué)控制器式(24)的穩(wěn)定性，具體表達(dá)式為
(28)
(29)
1)WMR運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器穩(wěn)定性分析
V1對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將式(12)～(13)代入，則
(30)
2)WMR動(dòng)力學(xué)控制器穩(wěn)定性分析
V2對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將式(22)～(24)代入，有
(31)
將式設(shè)計(jì)的模糊系統(tǒng)參數(shù)自適應(yīng)律(25)、(26)代入式(31)中，可以得到
≤0.
(32)
綜上，設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)可以保證WMR的軌跡跟蹤誤差qe和速度跟蹤誤差ze漸進(jìn)穩(wěn)定。證畢。
5 仿真研究
為驗(yàn)證本文所提出控制方法的有效性，通過Matlab進(jìn)行仿真研究。WMR模型參數(shù)為
mc=2kg，mw=0.5kg，b=0.15m，r=0.05m，Ic=0.0675kg·m2，Im=0.0125kg·m2，Iw=0.01125kg·m2.
運(yùn)動(dòng)學(xué)輔助控制器參數(shù)為：kx=8，ky=10，kθ=10.模糊系統(tǒng)采用三個(gè)三角隸屬度函數(shù)，如圖3所示。滑模面參數(shù)為β=7，模糊自適應(yīng)律學(xué)習(xí)率參數(shù)為：α1=15，α2=5，β1=80，β2=100.模糊系統(tǒng)的參數(shù)向量k1i、k2i初始值取0.01.抗飽和輔助系統(tǒng)的參數(shù)取a1=a2=10，λ1和λ2的初始值取0.01.執(zhí)行器的飽和約束取τmax=8N·m.
圖3 三角隸屬度函數(shù)
參考速度取vr=1m/s，ωr=0.5rad/s，初始位姿取qr=[1.2，0.8，0]T；實(shí)際初始位姿為取q=[0，0，0]T，初始速度取v=0m/s，ω=0rad/s.
為了驗(yàn)證所提出的模糊超螺旋滑?？刂品椒ú恍枰到y(tǒng)擾動(dòng)的上界信息，在仿真中加入不同上界值的擾動(dòng)：當(dāng)t<15s時(shí)，不考慮側(cè)滑和打滑，僅?。害砫=[Td1，Td2]T=[2sin(t)，2sin(t)]T.
當(dāng)t≥15s時(shí)，加入側(cè)滑和打滑，取橫向滑移速度為vyc=1m/s，縱向打滑角速度擾動(dòng)取為：ξr=sin(t)、ξl=sin(2t)+0.5.并且取較大的擾動(dòng)：Τd=[Td1，Td2]T=[12sin(t)，15sin(t)]T.
與固定增益的等速趨近律滑?？刂破骱统菪？刂破鬟M(jìn)行對(duì)比。固定增益等速滑?？刂破鲄?shù)選取Γ=diag{5，5}，固定增益超螺旋控制器參數(shù)選取為：K1=diag{5，5}，K2=diag{5，5}.
圖4 軌跡跟蹤曲線
圖5 X軸誤差
圖6 Y軸誤差
圖7 線速度誤差
圖8 角速度誤差
圖9～圖10分別為WMR的左、右輪力矩曲線，可以看出，通過設(shè)計(jì)的抗飽和輔助系統(tǒng)，能夠?qū)?zhí)行器的輸出力矩約束在[-τmax，τmax]以內(nèi)。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，超螺旋滑?？刂坡蔀檎倚瓦B續(xù)控制量，相比于等速滑模，有效的削減了控制量中的抖振。
圖9 右輪驅(qū)動(dòng)力矩
圖10 左輪驅(qū)動(dòng)力矩
采用平方誤差積分(ISE)、絕對(duì)誤差積分(IAE)和時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分(ITAE)對(duì)軌跡、速度跟蹤性能進(jìn)行評(píng)價(jià)，表達(dá)式如下。表1～4分別給出了三種控制方法的指標(biāo)對(duì)比，可看出，相較于其它兩種控制方法，本文提出的方法具有最優(yōu)的性能指標(biāo)，跟蹤性能更好。
表1 X軸跟蹤性能指標(biāo)
表2 Y軸跟蹤性能指標(biāo)
表3 線速度跟蹤性能指標(biāo)
表4 角速度跟蹤性能指標(biāo)
6 結(jié)論
本文針對(duì)WMR在側(cè)滑、打滑干擾和執(zhí)行器飽和約束條件下的軌跡跟蹤問題，提出一種抗飽和模糊超螺旋控制策略，通過仿真研究與分析，主要有以下結(jié)論：
1)設(shè)計(jì)的飽和約束輔助系統(tǒng)，能將力矩控制量限制在執(zhí)行器最大輸出值以內(nèi)，避免WMR軌跡跟蹤初期出現(xiàn)較大的力矩跳變，實(shí)現(xiàn)WMR的抗飽和控制；
2)設(shè)計(jì)的模糊超螺旋滑?？刂坡?，能克服上界未知的WMR系統(tǒng)擾動(dòng)，當(dāng)軌跡跟蹤過程中擾動(dòng)發(fā)生突變、上界改變時(shí)，模糊參數(shù)自適應(yīng)律能使軌跡跟蹤誤差和速度跟蹤誤差始終收斂；控制量連續(xù)且無抖振；
3)在對(duì)比仿真研究中，通過誤差性能指標(biāo)定量分析三種不同控制策略的跟蹤控制性能，可以得出，所提出的控制策略具有更高的跟蹤精度。
后續(xù)工作的重點(diǎn)是結(jié)合實(shí)際的WMR和嵌入式控制平臺(tái)，對(duì)本文提出的控制策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。
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