杜永飛,孟 江 ,范 偉,劉 凱,蔣 童,安 坤

(1.中北大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051；2. 中北大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引言

目前在激光通信領(lǐng)域中，首要任務(wù)是實(shí)現(xiàn)精確控制光束偏轉(zhuǎn)角度，一維微鏡構(gòu)件已運(yùn)用到該領(lǐng)域中[1-2]，能實(shí)現(xiàn)在單方向上對光束的偏轉(zhuǎn)控制。為了實(shí)現(xiàn)同一結(jié)構(gòu)在兩個方向上同時進(jìn)行光束偏轉(zhuǎn)角度跟蹤控制的目標(biāo)，需要設(shè)計(jì)出二維微鏡結(jié)構(gòu)。婁利飛等[3]制成一種基于壓電薄膜逆壓電效應(yīng)的新型集成微鏡，并對其功耗問題及機(jī)械性能進(jìn)行了分析。隨著我國通信事業(yè)的不斷發(fā)展，激光通信技術(shù)覆蓋面越來越廣，研究矩形板問題也越來越有實(shí)際意義。20世紀(jì)，學(xué)者們廣泛開展了關(guān)于激光通信的研究，驗(yàn)證了激光通信的概念。在激光通信中，由于激光傳輸方向高度集中，故在激光通信中光束方向的精確控制極為重要[4]。在光束偏轉(zhuǎn)技術(shù)領(lǐng)域中，最重要的部分是能實(shí)現(xiàn)對光束的精確控制，如利用壓電驅(qū)動的微鏡使光束偏轉(zhuǎn)更快速與穩(wěn)定[5]，在該領(lǐng)域得到較廣泛的應(yīng)用。由于壓電陶瓷(PZT)材料的遲滯及蠕變、非線性等特性[6]，其偏轉(zhuǎn)角度的精度達(dá)不到預(yù)想值，目前通過遲滯建模及復(fù)合控制方案可消除材料的遲滯特性。本文以壓電微鏡薄板為研究對象[7-10]，通過力學(xué)推導(dǎo)得到微鏡撓度的一般表達(dá)式，其次運(yùn)用COMSOL仿真得到不同電壓條件下的數(shù)據(jù)，通過搭建壓電微鏡薄板的實(shí)驗(yàn)平臺采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并進(jìn)行對比，運(yùn)用Matlab軟件擬合仿真數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了本文所提出撓度表達(dá)式的正確性與有效性。

1 壓電薄板微鏡

壓電微鏡是一種應(yīng)用壓電效應(yīng)或逆壓電效應(yīng)來改變微晶的垂直距離，從而達(dá)到光束偏轉(zhuǎn)的一種微機(jī)電系統(tǒng)的微執(zhí)行器，目前應(yīng)用于很多領(lǐng)域。李慶燕等[11]通過控制微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)微鏡的驅(qū)動電壓對激光雷達(dá)進(jìn)行實(shí)時可變視場掃描。該二維微鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為3層薄板與4個梁的組合結(jié)構(gòu)，4個梁分別固定在薄板4條邊的頂點(diǎn)處，4個梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡單，與微懸臂梁相比，其性能更優(yōu)越，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固且不易斷裂。因?yàn)?個梁結(jié)構(gòu)具有良好的抗振能力，其端部固定，支撐壓電材料，該設(shè)計(jì)具有更好的抗應(yīng)變疲勞性能，如圖1所示。薄板結(jié)構(gòu)材料從上往下依次是Au、PZT-5A、Si，厚度分別為1 mm、3 mm、30 mm，取厚3 mm、長寬為10 mm×10 mm的壓電陶瓷薄板。Au層在光束偏轉(zhuǎn)中起光束反射作用，壓電陶瓷層是整個微鏡結(jié)構(gòu)的驅(qū)動層。圖2為材料示意圖。在外加電場作用下，壓電陶瓷發(fā)生逆壓電效應(yīng)，從而帶動整個微板產(chǎn)生位移。在固定4個梁的根部時，對4個梁沿其厚度方向施加電壓，仿真壓電微鏡薄板在此條件下的撓度變化。根據(jù)彈性力學(xué)相關(guān)知識，矩形薄板在上述邊界條件下施加均布力載荷時，滿足在自由邊界條件下的純彎曲條件。本文通過彈性力學(xué)知識推導(dǎo)計(jì)算薄板彎曲撓度表達(dá)式可知，薄板的邊界條件與四邊自由邊界條件相似，故運(yùn)用理論知識推導(dǎo)計(jì)算，并結(jié)合仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出相關(guān)驗(yàn)證與結(jié)論。

圖1 微鏡結(jié)構(gòu)俯視圖

圖2 微鏡結(jié)構(gòu)側(cè)視圖

2 彈性力學(xué)撓度解析

大撓度彎曲薄板，根據(jù)卡門方程(Kbrman equation)即薄板大撓度彎曲組求解：

(1)

(2)

對于該薄板大撓度彎曲問題，采用變分法進(jìn)行求解，其主要步驟如下：

1) 選取滿足邊界條件的撓度表達(dá)式。

2) 通過對該撓度函數(shù)的變分，求出適合所取撓度表達(dá)式的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式。

3) 用里茨法求解橫彎曲問題，最后確定撓度函數(shù)的表達(dá)式。

如圖3所示[12]，取矩形板邊長為a、b的中央為坐標(biāo)原點(diǎn)，x、y軸分別平行于薄板的兩邊，z軸向下為正方向。本文中微鏡結(jié)構(gòu)仿真是在梁的厚度方向施加壓電載荷，可將其等效為在板的4個邊上作用均布力矩，沿薄板的自由邊界x=±(a/2),y=±(b/2)分別作用有均布力矩M1,M2。 因?yàn)槠桨鍍蓪叺牧叵嗤虼?，沿坐?biāo)軸x與y的板內(nèi)各點(diǎn)彎矩?zé)o變化，即Mx=M1,My=M2。

圖3 矩形薄板的純彎曲

平板的撓曲面方程為

(3)

ω=d1x2+d2y2+d3xy+

d4x+d5y+d6

(4)

式中d1，d2，d3，d4，d5，d6均為未知系數(shù)。

繞y、x軸的力矩平衡條件為

∑Mx=0

(5)

∑My=0

(6)

由式(5)、(6)可得：

(7)

式中FSx、FSy為板的橫向剪力。

將式(3)代入式(7)可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

故可得該條件下薄板撓度為

(13)

將式(13)代入式(3)、(7)可得Mx=M2,My=M1,Mxy=0，F(xiàn)Sx=0，F(xiàn)Sy=0，驗(yàn)證了該撓度表達(dá)式滿足該邊界條件。

圖4 高斯曲率為正的曲面

圖5 高斯曲率為負(fù)的曲面

3 COMSOL仿真與Matlab擬合

3.1 COMSOL仿真

圖6為COMSOL仿真模型。與薄板微鏡相連的4個梁尺寸(10 mm×0.2 mm)相同，且厚度與薄板厚度一致。其邊界條件為在4個梁的上表面施加垂直向下的同向均布電壓載荷，4個梁的根部固定，并添加重力加速度，根據(jù)李法新等[13]對PZT材料的研究，得到PZT壓電材料的相變電場為180～200 kV/cm，根據(jù)U=E×d(其中，U為相變電壓，E為相變電場，d為材料的厚度)可得，PZT壓電材料的相變電壓約為60 V，故設(shè)置2個方向上的電壓為0～60 V，并間隔5 V電壓，對其進(jìn)行不同電壓下的仿真，其仿真條件如圖7所示，圖中h0，h1為在兩個方向上施加的電壓。仿真壓電微鏡薄板的材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖6 壓電微鏡薄板

圖7 仿真條件

表1 壓電微鏡薄板材料參數(shù)

由壓電理論可得，在機(jī)械自由和電學(xué)短路邊界條件下的應(yīng)力T、應(yīng)變S和電場強(qiáng)度G、電位移H之間的本構(gòu)方程為

(14)

由式(14)可知，在施加應(yīng)力或電壓時，壓電微鏡會產(chǎn)生電位移與應(yīng)變，其與所加應(yīng)力及電場強(qiáng)度的大小呈線性關(guān)系。

運(yùn)用COMSOL軟件進(jìn)行仿真，其網(wǎng)格為四邊形網(wǎng)格，單元數(shù)為392個。在確定上述尺寸參數(shù)及材料系數(shù)的前提下，仿真分析了在梁施加均布電壓載荷時，COMSOL中薄板位移變形圖如圖8所示。圖中，h0、h1分別為兩個方向上施加的電壓。仿真不同電壓下的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表2所示。

圖8 壓電陶瓷薄板變形云圖

表2 仿真數(shù)據(jù)

3.2 Matlab擬合

根據(jù)仿真得出不同電壓下的數(shù)據(jù)，并結(jié)合彈性力學(xué)可知，薄板在該四邊自由且施加電壓的邊界條件下，其撓曲面與高斯曲率為正的曲面相似，故將微鏡撓度表示為

ω=Ax2+By2+Cxy+D0x+

E0y+F

(15)

式中：A、B、C、D0、E0、F均為待定系數(shù)。

在該仿真條件下，兩個方向施加的電壓決定微鏡的位移，故式(15)中未知參數(shù)與電壓U、V有關(guān)。運(yùn)用Matlab軟件擬合兩個方向上電壓的關(guān)系，其擬合度R2=0.999 6，擬合式f(x,y)=ax+by+c(a，b，c為常數(shù))，均方根誤差為0.000 235 6，和方差為3.885×10-7，在4個梁上施加兩個方向上的電壓的關(guān)系為

U(x，y)=p0×Ux+p1×Uy+p2

(16)

式中：U(x，y)為在x、y方向上同時施加的電壓；p0、p1、p2為常數(shù);Ux為x方向上施加的電壓；Uy為y方向上施加的電壓。

結(jié)合式(15)、(16)微鏡撓度可表示為

ω=(l1U+l0)x2+(m1V+m0)y2+

(n1U+n2V+n0)xy+(o1U+o0)x+

(p1V+p0)y+(q1U+q2V+q0)

(17)

式(17)為電壓U=0、V=0時的邊界條件，其ω=0時可得l0=m0=n0=o0=p0=q0=0,則式(17)可變?yōu)?/p>

ω=l1(x2U)+m1(y2V)+n1(Uxy)+

n2(Vxy)+o1(Ux)+p1(Vy)+

q1U+q2V

(18)

式(18)適用于壓電微鏡薄板結(jié)構(gòu)在四邊自由的邊界條件及在兩個不同方向施加電壓的條件。

將式(18)看為ω=a1A1+b1B1+…，其中a1、b1、…是未知系數(shù)，a1、B1、…是電壓U、V及坐標(biāo)值x、y共同作用的結(jié)果。根據(jù)COMSOL軟件的數(shù)據(jù)，選取120組不同電壓下的撓度數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行多元一次線性擬合，其擬合計(jì)算框圖如圖9所示。

圖9 擬合計(jì)算框圖

其擬合值與實(shí)際值的最大誤差為0.000 5 mm，擬合度R2=0.999 7，其擬合曲線與實(shí)際曲線如圖10所示。

圖10 擬合曲線與實(shí)際曲線

運(yùn)用Matlab軟件擬合了在不同電壓下微鏡的撓度表達(dá)式(見式(18))與理論推導(dǎo)得出的撓度曲線表達(dá)式(見式(19))一致，驗(yàn)證了該撓度表達(dá)式的準(zhǔn)確性。

3.3 壓電微鏡的偏轉(zhuǎn)角

θx=2a1UX+a3UY+a4VY+a5U

(19)

θy=2a2VY+a3UX+a4VX+a6V

(20)

由式(19)、(20)可知，在四梁施加不同方向上的電壓時，壓電微鏡可優(yōu)先選出偏轉(zhuǎn)角較大的一個位置。運(yùn)用Matlab軟件對微鏡撓度進(jìn)行仿真分析，得出電壓U、V對微鏡撓度的影響權(quán)值為0.924 8，與理論結(jié)論符合；其次，在壓電微鏡薄板中，通過微鏡的ω可得微鏡最佳的工作區(qū)域及最大偏轉(zhuǎn)角位置，對于實(shí)現(xiàn)光束的精跟蹤控制有重大的意義。

4 實(shí)驗(yàn)測試

4.1 實(shí)驗(yàn)臺搭建與采樣

微鏡測試系統(tǒng)由開關(guān)電源、筆記本電腦、激光位移傳感器(LK-H022K)、直流電源(型號為UTP3315TFL-Ⅱ)及壓電微鏡及其支撐架構(gòu)成，實(shí)驗(yàn)平臺如圖11所示。通過筆記本電腦的軟件控制激光位移傳感器的采樣頻率，在該實(shí)驗(yàn)中設(shè)置時間為500 ms，將激光位移傳感器與電腦相連，用于記錄與儲存測試數(shù)據(jù)，該激光位移傳感器可適用于高頻率振動，其自帶數(shù)據(jù)采集裝置。然后可通過調(diào)節(jié)直流電源的電壓測試不同電壓下的數(shù)據(jù)。

圖11 實(shí)驗(yàn)測試平臺

4.2 測試數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)對比

測試中采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)為壓電微鏡薄板的中心點(diǎn)，其測試數(shù)據(jù)如表3所示。運(yùn)用COMSOL軟件仿真在相同電壓條件下得到的數(shù)據(jù)如表4所示。

表3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表4 仿真數(shù)據(jù)

通過對比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)，撓度值相差最大為0.006 7 mm，驗(yàn)證了仿真數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)的一致性。

5 結(jié)束語

利用COMSOL仿真軟件對壓電微鏡進(jìn)行了仿真，并結(jié)合彈性力學(xué)相關(guān)知識對其撓曲形式進(jìn)行了理論的假設(shè)與推導(dǎo)。通過搭建實(shí)驗(yàn)平臺，測得在相同電壓條件下仿真數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)基本相同，驗(yàn)證了仿真數(shù)據(jù)的真實(shí)性。通過Matlab軟件對其仿真得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性擬合，得出其擬合值與仿真值的最大誤差為0.000 5 mm，擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.999 7，得出壓電微鏡撓度的一般表達(dá)式，運(yùn)用Matlab仿真得到電壓對微鏡撓度影響的權(quán)值與理論值相符。最后通過偏轉(zhuǎn)角計(jì)算公式得出微鏡最佳工作區(qū)域，為實(shí)現(xiàn)光束的精跟蹤控制提供了理論基礎(chǔ)。