潘霞

一、緣起

2021年10月13日至15日，江蘇省中小學教學研究室在鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)茅以升實驗學校舉辦了“2021年江蘇省初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動”，筆者參加了“蘇科版數(shù)學教材七年級（上）‘角（2）’”這節(jié)課的評比，榮獲佳績。在這節(jié)課的設計過程中，用尺規(guī)作一個角等于已知角是本節(jié)課的教學重點，也是教學難點。如何創(chuàng)設探索活動，幫助學生搭建思維階梯，在用量角器畫一個角等于已知角的基礎上思考并遷移作圖方法呢？下面呈現(xiàn)此片段的教學實錄與評析。

二、教學片段實錄與評析

活動（一）用量角器畫一個角等于已知角。

師：同學們，你會畫一個40°的角嗎？怎么畫？

生：用量角器畫40°的角。

師：量角器可以畫一個大于0°小于180°的角。請大家動手畫一下，并回顧一下用量角器畫一個角等于已知角的作圖步驟。

生：量角（對心、對線、讀數(shù)）——畫一邊（畫射線）——定關鍵點（對心、對線、描點）——畫另一邊（畫射線）。

設計意圖：通過回憶已有經(jīng)驗，讓學生理解用量角器畫等角的關鍵步驟是要找到關鍵點，而關鍵點的位置是根據(jù)度量已知角時的讀數(shù)來確定的，從而啟發(fā)學生思考如何用特殊的量角器畫等角。

活動（二）用特殊的量角器畫一個角等于已知角。

層次1：用沒有刻度的量角器畫一個角等于已知角。

師：（拿出一個半圓形紙片。）老師也帶來一個量角器，同學們觀察一下，老師的量角器跟你們的有什么區(qū)別？

生：沒有刻度線。

師：沒有刻度線的量角器，用它怎么畫一個角等于已知角？

生：可以先標記號，再復制記號。

師：怎么標記號？

生：用半圓形紙片對心對線，找到已知角的另一邊與量角器邊緣弧的交點，做標記。

師：怎么復制記號？

生：作一條射線為角的一邊，將半圓形紙片與這條邊對心對線，描出記號，確定關鍵點，畫出角的另一邊。

層次2：用沒有零刻度線且沒有刻度的量角器畫一個角等于已知角。

師：（拿出一個兩邊都破損的半圓形紙片。）老師這里還有一個量角器，這跟剛才相比又有什么不一樣的地方？

生：沒有零刻度線。

師：用它怎么畫一個角等于已知角？怎么標記號？

生：兩邊破損，沒有零刻度線，先任意折出一條零刻度線，接下來和剛才的方法一樣。

師：折零刻度線，相當于找到了零刻度線與量角器邊緣弧的交點，也就是零刻度點。實際上作了幾個記號？

生：兩個，一個零刻度點，一個讀數(shù)的點。

師：零刻度線的位置固定嗎？

生：不固定。

師：那說明這兩個標記號的位置不唯一。

（也有同學直接找兩個標記點，再復制標記點，視課堂生成靈活處理。）

層次3：用幾何畫板觀察兩個標記點之間的距離隨著角的大小的變化而變化。

師：（打開幾何畫板。）同學們，這兩個標記點都標在哪里？

生：量角器的邊緣弧上。

師：標記點的位置不唯一（拖動其中一個標記點，引導觀察。），其中一個點的位置發(fā)生變化，另一個點也跟著發(fā)生變化，但不變的是什么？

生：兩個點之間的距離。

師：（幾何畫板顯示兩點之間的距離，驗證學生的猜想。）如果角度改變，兩點之間的距離會發(fā)生變化嗎？（用幾何畫板演示，學生觀察。）

生：會，這兩個點之間的距離隨著角的大小的確定而確定，隨著角的大小的變化而變化。

師：依據(jù)上面問題的解決，用特殊量角器畫等角的步驟有哪些？

生：畫一邊——標記號——復制記號——畫另一邊。

設計意圖：從用量角器到用沒有刻度的量角器，再到用破損的量角器畫一個角等于已知角，經(jīng)歷從有刻度的量角器（讀數(shù)），到?jīng)]有刻度的特殊量角器（標記）的過程，借助幾何畫板的演示讓學生感受到兩個標記點的位置與角的大小的關系，從而歸納出用特殊量角器畫等角步驟：畫一邊——標記號——復制記號——畫另一邊，而這個步驟與用尺規(guī)作等角的步驟是一脈相承的。

活動（三）學生嘗試用尺規(guī)畫一個角等于已知角。

師：如果將作圖工具換成沒有刻度的直尺和圓規(guī)，如何標記號并復制記號，從而作出一個角等于已知角？請小組合作思考并嘗試解決問題。

（小組合作：先獨立思考，再小組交流，最后派代表展示交流。）

（如果學生沒有思路，可以適當引導。）

師：記號標在量角器的邊緣弧上，量角器的邊緣弧是什么形狀？

生：半圓。

師：記號是角的兩邊與半圓的交點，半圓怎么畫？用什么工具？

生：用圓規(guī)畫半圓。

師：半圓的半徑是否有要求？

生：沒有，任意半徑的半圓。

師：記號找到了，接下來如何復制記號？先復制哪個記號？

生：先復制角的一邊與半圓的交點，再復制角的另一邊與半圓的交點，復制后的兩點與之前的兩點在相同半徑的半圓上。

設計意圖：類比用特殊量角器畫等角的步驟，用復制的觀點思考如何借助尺規(guī)標記號、復制記號來畫一個角等于已知角。讓學生經(jīng)歷從數(shù)（刻度）到形（標記），從有形（量角器）到（用圓規(guī)）造“形”，從特殊到一般，從簡單到復雜，從具象到抽象，架設通往用尺規(guī)畫一個角等于已知角的梯子，逐步引導學生突破學習的重難點。

活動（四）歸納用尺規(guī)作等角的步驟。

（教師總結(jié)步驟：畫一邊——作弧——定點——作另一邊。隨后引導學生用三角形的穩(wěn)定性檢驗兩角是否相等，并美化過程。學生獨立完善作圖過程。）

設計意圖：讓學生在觀察、探索、交流的基礎上，嘗試歸納出“作一個角等于已知角”的方法，給出規(guī)范的作圖步驟，完善作圖過程，并美化作圖過程。

活動（五）感受用尺規(guī)作圖的必要性。

（教師介紹用尺規(guī)作圖的數(shù)學史，播放生活中用尺規(guī)作圖應用的小視頻。）

設計意圖：適時引入數(shù)學史，讓學生了解用尺規(guī)作圖的由來并感受學習用尺規(guī)作圖的必要性，感受學習數(shù)學知識是為了更好地服務生活。

三、教學思考

學生在小學已經(jīng)初步地認識了角，會用量角器畫一個角等于已知角，但學生對如何用尺規(guī)作一個角等于已知角既缺乏知識基礎也缺乏經(jīng)驗基礎。本節(jié)課的難點是如何在已有的知識經(jīng)驗基礎上想到用尺規(guī)作一個角等于已知角。

為了化解學生的學習難點，需要給學生搭建合適的梯子讓學生逐級攀爬，達到會用尺規(guī)作一個角等于已知角的目的。筆者通過四個思維遞進的活動，創(chuàng)設畫一個角等于已知角的操作流程：（1）如何用一副三角尺畫出一個特殊角;（2）如何用量角器畫出一個角等于已知角;（3）如何用特殊的量角器畫出一個角等于已知角;（4）如何用尺規(guī)畫等角。這四個活動讓學生經(jīng)歷了從特殊到一般，從簡單到復雜，從具象到抽象的思維過程，讓學生在做的過程中通過前后活動操作的關系分析，體驗和感悟畫一個角等于已知角的實質(zhì)，從而內(nèi)化知識，提高數(shù)學思維品質(zhì)。

筆者在用量角器畫等角的基礎上，啟發(fā)學生思考用尺規(guī)畫等角。從讀“數(shù)”到標“形”，從“有形”到“造形”，摒棄了傳統(tǒng)的按部就班根據(jù)步驟畫圖的教學模式，一步一步引導、啟發(fā)學生。

數(shù)學學習的過程是一個知識生長和思維發(fā)展的過程，在學生已有的知識經(jīng)驗基礎上，通過從特殊到一般的研究思路，類比量角器畫一個角等于已知角，思考如何用尺規(guī)作一個角等于已知角。通過動手實踐操作，幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提高他們解決問題的能力， 讓他們充分感受“做”數(shù)學的魅力。

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