劉洋 劉春紅

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。數(shù)學(xué)探究是圍繞具體數(shù)學(xué)問題開展自主探究、合作研究，并最終解決數(shù)學(xué)問題的過程。高中數(shù)學(xué)建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動與義務(wù)教育階段的“綜合與實踐”一脈相承，“綜合與實踐”作為一種學(xué)習(xí)活動，同樣以具體的問題為載體，需要學(xué)生主動參與和小組協(xié)作，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行綜合運(yùn)用。而高中數(shù)學(xué)建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動在此基礎(chǔ)上提升了學(xué)生自主研究的深度與廣度，為學(xué)生大學(xué)階段的科學(xué)研究奠定實踐基礎(chǔ)。

高中數(shù)學(xué)建模活動和數(shù)學(xué)探究活動不同于一般的課堂教學(xué)，在學(xué)習(xí)設(shè)計、實施、評價等方面均存在困難。從學(xué)習(xí)設(shè)計角度看，兩種活動不同于傳統(tǒng)的教學(xué)形式，更突出學(xué)生的主體地位，必須采用小組合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)，教師要做好充足的教學(xué)準(zhǔn)備，實現(xiàn)學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)。從實施過程角度看，既可以在實驗室、閱覽室、圖書館等功能教室進(jìn)行學(xué)習(xí)活動，也可以在校園或校外進(jìn)行考察、調(diào)研、實踐等活動，教師對學(xué)習(xí)過程的把控要求極高。從學(xué)習(xí)評價的角度看，兩種活動的成果均為研究報告或論文，內(nèi)容沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，鼓勵學(xué)生的奇思妙想，對評價者有較高的專業(yè)要求和科研水平要求。評價中既要有學(xué)習(xí)成果的具體評價，也要有學(xué)習(xí)的過程評價，要鼓勵學(xué)生反思實踐過程，提升科研實踐能力?；谏鲜鋈c，教師需對教學(xué)環(huán)境、學(xué)習(xí)過程、評價方式進(jìn)行整體設(shè)計，基于深度學(xué)習(xí)理論，在不同的學(xué)習(xí)階段進(jìn)行不同層次的教學(xué)實踐，實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的螺旋式上升。

一、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究的實踐原則

（一）整體謀劃，進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動貫穿于高中必修課程、選擇性必修課程和選修課程，學(xué)習(xí)活動要與學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，作為一種實踐活動課時不可能連續(xù)實施，需要教師進(jìn)行合理的單元教學(xué)設(shè)計，既可以把內(nèi)容分解到不同的課時逐步開展，也可以借助學(xué)生校本課程的課時集中進(jìn)行研究突出教學(xué)的整體性，做到循序漸進(jìn)。數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究中的課題研究是高中生較為陌生的實踐模式，不能一蹴而就，需要教師在不同學(xué)習(xí)階段，針對不同教學(xué)內(nèi)容，逐步培養(yǎng)學(xué)生的研究能力和水平。

（二）分步實施，體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)理念

數(shù)學(xué)建模的選題源于生活實際，數(shù)學(xué)探究的選題源于重要數(shù)學(xué)概念，它們對學(xué)生而言都具有挑戰(zhàn)性，需要教師精心設(shè)計，學(xué)生全心投入。研究小組根據(jù)選題分析數(shù)據(jù)、辨析數(shù)量關(guān)系，利用所學(xué)數(shù)學(xué)符號、概念等知識建立數(shù)學(xué)模型或進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理。合作過程中學(xué)生需協(xié)助、創(chuàng)見、爭論和統(tǒng)籌;對問題的解需要判斷和辨析是否符合生產(chǎn)生活實際，是否具有一般性;對不符合生活實際的解需要適度地調(diào)整，甚至可以提出其他不同的方案繼續(xù)進(jìn)行探索和嘗試，以上過程符合深度學(xué)習(xí)的特征，借鑒深度學(xué)習(xí)的教學(xué)原則恰如其分。

深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)建構(gòu)創(chuàng)新。建構(gòu)主義是深度學(xué)習(xí)的理論來源，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論主張的是教師是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)過程中的輔助者，學(xué)習(xí)者通過教師的引導(dǎo)、同伴的探討和已有的認(rèn)知經(jīng)驗建構(gòu)新的知識框架。建構(gòu)主義的三個要素：同化、順應(yīng)和平衡，具體到教學(xué)中，同化指數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識要合并整理到已有的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理模塊中，完善它的系統(tǒng)性;順應(yīng)通常是同化的后一個階段，學(xué)生對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的方式不了解、不熟悉，用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗不能解決問題，這就需要構(gòu)建新的認(rèn)知方式，這就是順應(yīng);建構(gòu)主義重點主張學(xué)生個體主動發(fā)現(xiàn)、主動探究、主動建構(gòu)，要鼓勵學(xué)生敢于突破平衡，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力、創(chuàng)造力，在突破平衡中尋求發(fā)展，質(zhì)疑和批判地看待問題，尋找不平衡的圖式，使思維最大限度地發(fā)散，將解決問題的過程變成不斷創(chuàng)新的過程。

（三）貼近生活，發(fā)揮學(xué)科育人功能

數(shù)學(xué)建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值、文化價值，是滲透數(shù)學(xué)文化和課程思政教育的重要方式。兩種活動的選題都與數(shù)學(xué)文化和實際生活緊密聯(lián)系，教師應(yīng)充分挖掘其育人功能，使課堂教學(xué)與思政課程同向同行。知識學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)主流價值引領(lǐng)，教師要提煉課程中蘊(yùn)涵的文化基因和價值范式以及德育元素，融入理想信念層面的精神指引。

例如，帶領(lǐng)學(xué)生到銀行營業(yè)廳，引導(dǎo)學(xué)生提出與數(shù)學(xué)知識有關(guān)的問題，并利用所學(xué)進(jìn)行解釋和解決。學(xué)生一進(jìn)門就能看到存款利率表，活期、一年期、三年期等，存不同年份就是指數(shù)函數(shù)問題;不同的用途推薦不同的存款方式就是策略問題——函數(shù)求最值;服務(wù)收費，不同的金額有不同的標(biāo)準(zhǔn)，就是一個分段函數(shù)問題;匯率表，體現(xiàn)了函數(shù)對應(yīng)的概念;匯率變化，體現(xiàn)了函數(shù)圖像性質(zhì);計算不同年份的平均利率，就是求幾何平均數(shù)問題。除了數(shù)學(xué)問題外，匯率的變化體現(xiàn)了國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和人民幣在國際的認(rèn)可度;電子銀行體現(xiàn)了科技的進(jìn)步和發(fā)展，也引出了網(wǎng)絡(luò)財產(chǎn)安全的新問題;自助服務(wù)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)算法密不可分等。將發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行深入研究就是一個不錯的數(shù)學(xué)建模活動，將其與社會發(fā)展相結(jié)合就是一個好的思政實踐活動。

二、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究的實施步驟

（一）確立目標(biāo)，明晰活動價值導(dǎo)向

數(shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)的語言，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。數(shù)學(xué)探究是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要研究方式，需要用已有的結(jié)論對未知問題的猜想、推理、論證，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的不斷完善和發(fā)展?；谏鲜稣J(rèn)識確立實踐目標(biāo)如下：

1.經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒?、數(shù)學(xué)探究活動過程，撰寫實踐報告、小論文等成果，利用報告會的形式在一定范圍內(nèi)進(jìn)行匯報、交流。

2.邀請校外專家、社會人士、家長等參與評價，通過評價促進(jìn)學(xué)生反思研究過程，熟悉研究方法，形成研究經(jīng)驗。

3.培養(yǎng)學(xué)生有意識地遵循學(xué)術(shù)規(guī)范和堅守誠信底線，在研究過程中體會科學(xué)研究的客觀性、驗證性、系統(tǒng)性，初步形成嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)、探索精神和創(chuàng)造能力，培養(yǎng)學(xué)生理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等素養(yǎng)。

4.提升學(xué)生發(fā)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

5.將研究報告或小論文及其評價存入學(xué)生個人學(xué)習(xí)檔案，為大學(xué)招生提供參考和依據(jù)。

（二）合理設(shè)計，構(gòu)建有效活動模式

數(shù)學(xué)建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動基本過程概括為六步：一看、二想、三動、四評、五論、六結(jié)。對應(yīng)三～六個課時，根據(jù)不同學(xué)情、不同內(nèi)容、不同學(xué)習(xí)階段進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。

1.“一看”，在活動的第一課時，讓學(xué)生學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)建?；蛱骄康膶嵗?。利用學(xué)科興趣小組，拍攝一個由學(xué)生演示活動過程的教學(xué)視頻，使全班學(xué)生對陌生的方法有直觀的印象。教師分析三個重點問題“問題的提出”“研究的主要過程”“基于哪些數(shù)學(xué)知識”，引導(dǎo)學(xué)生確定感興趣的主題，也可由教師提出問題列表，讓學(xué)生進(jìn)行自由選擇。

2.“二想”，交流學(xué)生基于情境提出的數(shù)學(xué)問題。選題是活動的關(guān)鍵一步，應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。確定研究小組（組長1人、活動記錄員1人、實踐主管1或2人），由組長負(fù)責(zé)小組協(xié)同。教學(xué)形式主要是學(xué)生介紹選題情況，同學(xué)之間進(jìn)行研究討論，教師進(jìn)行點評。

3.“三動”，學(xué)生分組活動。應(yīng)重點關(guān)注兩個問題，一是實踐報告的運(yùn)用，實踐報告引導(dǎo)學(xué)生分步研究，對內(nèi)容的填寫要嚴(yán)謹(jǐn)，注意科學(xué)性。二是小組成員的分工協(xié)作。組長負(fù)責(zé)全程的組織，問題的提出與分析，組織討論如何建立模型，問題的反思等;活動記錄員負(fù)責(zé)全程的研究記錄，文字整理并填寫表格;實踐主管負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)建模、參數(shù)確定、計算求解等環(huán)節(jié)?；顒蛹瓤梢栽谡n堂上進(jìn)行，也可作為課后作業(yè)，教師進(jìn)行跟蹤指導(dǎo)和幫助，保障學(xué)生的參與度。

4.“四評”，教師收取實踐報告進(jìn)行審閱并評價，對學(xué)生的完成情況進(jìn)行點評，回答學(xué)生提出的一些問題，同時提出一些新的建議。小組根據(jù)教師的建議完善活動記錄，也可以重新進(jìn)行實踐，最終提交修改的實踐報告。

5.“五論”，即小組展示會。由各組學(xué)生介紹研究情況，其他組成員提出疑問，小組成員進(jìn)行答辯，也可以邀請專家或家長參與展示會。

6.“六結(jié)”，教師根據(jù)學(xué)生的互評打分情況，綜合評定學(xué)生的表現(xiàn)。引導(dǎo)學(xué)生反思兩種活動的過程、小組的配合情況，初步體會科學(xué)研究的一般過程。將學(xué)生的研究記錄表納入學(xué)生的綜合素質(zhì)評價檔案。

（三）關(guān)注過程，實現(xiàn)預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)目標(biāo)

在數(shù)學(xué)建模活動和數(shù)學(xué)探究活動的過程中教師發(fā)揮至關(guān)重要的作用，而作用的方式要做到潤物細(xì)無聲，關(guān)注學(xué)生的實踐過程，提供關(guān)鍵支持、恰當(dāng)指導(dǎo)、適度糾正。

1.完善數(shù)學(xué)建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

（1）結(jié)合情境提出合理的數(shù)學(xué)問題，突出高中數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)的運(yùn)用，深刻體會背景和生成過程，合理運(yùn)用推理。

（2）活動的過程注意每個步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性，在最大限度上保證結(jié)論的科學(xué)性和實用性。

（3）對研究過程不斷反思和調(diào)整，并大膽提出設(shè)想。

（4）合理地運(yùn)用研究表格，確保過程清晰準(zhǔn)確。

（5）注重團(tuán)隊配合，在團(tuán)隊研究中發(fā)揮每一名學(xué)生的作用，做好溝通和交流。

2.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的興趣。構(gòu)建學(xué)生感興趣的實際情境，讓學(xué)生積極地參與、體驗，提供學(xué)生展示運(yùn)算成果的機(jī)會，鼓勵學(xué)生不斷創(chuàng)新研究方式，提升學(xué)生研究的收獲感。

3.培養(yǎng)學(xué)生堅強(qiáng)的意志品質(zhì)。選擇素材的難度要適合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，當(dāng)學(xué)生遇到研究困難時及時搭建“腳手架”，幫助學(xué)生克服研究困難問題時產(chǎn)生的緊張、膽怯、退縮的心理狀態(tài)，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的意志品質(zhì)。

（四）注重評價，發(fā)揮活動最大功效

活動應(yīng)該以過程評價為主，教師要為每個學(xué)生創(chuàng)造積極參加的環(huán)境，以小組評價為主兼顧個人評價。評價應(yīng)貫穿分析具體情境、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、完善數(shù)學(xué)模型、得到數(shù)學(xué)結(jié)論、說明結(jié)論意義的全過程。評價研究論文和報告時要注意提出問題的依據(jù)、解決問題的思路、得到結(jié)論的意義，遵循學(xué)術(shù)規(guī)范，堅守誠信底線等問題。

三、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究的實踐策略

1.突出學(xué)生主體地位。在具體的實施中讓學(xué)生動起來，自己做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)。教師要引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)、探究、建構(gòu)，讓學(xué)生在活動中能自主地學(xué)習(xí)知識、分析問題、解決問題，充分發(fā)揮想象力、創(chuàng)造力，使思維實現(xiàn)最大限度地發(fā)散，使學(xué)生真正成為書序建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動的主體。

更要引導(dǎo)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)問題，自主研究。比如，以蘇州園林為研究背景，從園林建筑中尋找數(shù)學(xué)問題?；?qū)⒔ㄖ亩饭皵M合為函數(shù)模型，將其實用性、藝術(shù)性用函數(shù)方式予以表達(dá);或探尋建筑結(jié)構(gòu)體現(xiàn)的幾何圖形與建筑耐用性、采光性之間的奧秘;或借游客游園時間、容量與預(yù)定人數(shù)的測定來傳導(dǎo)統(tǒng)計和概率知識等。這些問題的背后不僅反映了中國園林建筑的超然水平及文物保護(hù)的成果，還體現(xiàn)了中國古代文明與現(xiàn)代文化傳承與互鑒的文化命題。

2.實現(xiàn)與信息技術(shù)的融合。數(shù)學(xué)建模需為學(xué)生提供研究活動的設(shè)備，如計算器、實驗設(shè)備、統(tǒng)計工具等。但設(shè)備是為教學(xué)服務(wù)的，可以因陋就簡，多種手機(jī)軟件可以提供測量、統(tǒng)計、計算、作圖等技術(shù)支持;物理實驗室、生物實驗室的很多設(shè)備可以為教學(xué)提供實操基礎(chǔ);圖書館和電子閱覽室可以提供資料查詢的場所和工具等。數(shù)學(xué)探究活動同樣需要數(shù)學(xué)繪圖軟件的驗證，適當(dāng)培訓(xùn)學(xué)生運(yùn)用圖形計算器或代數(shù)幾何畫板工具也是必要的?；顒又行畔⒓夹g(shù)的深度融合必不可少，數(shù)學(xué)文化資料的查詢、物體的測量、函數(shù)的擬合、處理分析數(shù)據(jù)等都離不開網(wǎng)絡(luò)、圖形計算器、Geogebra畫板、R統(tǒng)計軟件的運(yùn)用，信息技術(shù)為學(xué)生的創(chuàng)意插上了翅膀。

3.設(shè)計學(xué)科整合項目。數(shù)學(xué)模型與物理、化學(xué)、生物、信息技術(shù)等學(xué)科有千絲萬縷的聯(lián)系，在社會、人文、藝術(shù)等領(lǐng)域的運(yùn)用也愈加廣泛，各學(xué)科的定量研究都離不開數(shù)學(xué)。概率與生物遺傳、物理學(xué)重心的變化規(guī)律探索、信息技術(shù)中的算法、社會學(xué)中的調(diào)查研究、文學(xué)作品充分率研究等都可設(shè)計為數(shù)學(xué)建?；顒印?/p>

四、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)建?；顒幽苡脭?shù)學(xué)解決實際生產(chǎn)、生活問題，數(shù)學(xué)探究活動可發(fā)展新的數(shù)學(xué)問題，它們都促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。教師應(yīng)在實踐中不斷積累經(jīng)驗，創(chuàng)新方法，用教學(xué)智慧發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（吳淑媛）

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