■福建省福清市南宵初級中學(xué) 何道泉

數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練主要是指適當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)問題認(rèn)識教學(xué)進(jìn)行變更或轉(zhuǎn)變，以便于凸顯數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)問題中所隱藏的本質(zhì)特征，以此引導(dǎo)學(xué)生在變式中發(fā)展自身創(chuàng)新思維，并且能在解題時(shí)實(shí)現(xiàn)知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用與融會貫通。在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，開展變式訓(xùn)練的根本目的在于引導(dǎo)學(xué)生通過不同的數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練掌握題目的本質(zhì)特征，從整體上總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識規(guī)律，達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”，最終促使學(xué)生自身數(shù)學(xué)解題能力提升。特別是在當(dāng)前新課程標(biāo)準(zhǔn)持續(xù)改革推進(jìn)的新形勢背景下，數(shù)學(xué)教師必須積極地轉(zhuǎn)變自身傳統(tǒng)教學(xué)觀念，秉承以生為本的教學(xué)理念開展變式教學(xué)，并借助該教學(xué)模式強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)與綜合素質(zhì)。

一、設(shè)計(jì)變式環(huán)節(jié)

變式教學(xué)可貫穿于學(xué)生的整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，結(jié)合具體的課程內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計(jì)變式教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量。首先，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可以從不同角度、多個(gè)層次指導(dǎo)學(xué)生理解分析數(shù)學(xué)概。一方面使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行更為深刻的理解與掌握，幫助學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)容；另一方面還有助于提升學(xué)生的認(rèn)知能力、應(yīng)變能力以及知識概括能力，增強(qiáng)其發(fā)散式數(shù)學(xué)思維。

例如，教師在教授“一次函數(shù)”相關(guān)概念時(shí)，可以將教材中的函數(shù)解析式“y=kx+b（k≠0，且k、b 是常數(shù)）”轉(zhuǎn)化成k=0 的式子，通過反向引導(dǎo)幫助學(xué)生明確為什么系數(shù)k 不能等于0，通過這樣的變式教學(xué)，學(xué)生會對一次函數(shù)的概念及其解析式形成更加深刻的印象，也有助于為其后續(xù)的一次函數(shù)應(yīng)用奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。除了課堂教學(xué)之外，在課后習(xí)題的設(shè)計(jì)上教師同樣可以運(yùn)用變式教學(xué)，將習(xí)題進(jìn)行多層次變式設(shè)計(jì)，有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，調(diào)動學(xué)生參與習(xí)題練習(xí)的積極性，進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識運(yùn)用能力。具體而言，在對課后習(xí)題進(jìn)行多層次變式設(shè)計(jì)時(shí)，主要是通過變化原題中的已知條件與結(jié)論上。為了增加學(xué)生數(shù)學(xué)解題過程中的趣味性，拓寬其數(shù)學(xué)解題思考范圍，教師在開展習(xí)題變式教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)一些出人意料的變式題，如“原題：班級中一共30 人，若每兩人握手一次，班級中30 人一共握手多少次？”變式一：班級中一共有n人，每兩人握手一次，班級中n人一共握手多少次，這一次變式還是基于原來的題目基礎(chǔ)，考查學(xué)生的解題思維與總結(jié)概括能力；變式二：如果將班級中的30 個(gè)人抽象為平面上不重合的點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間連一條線段，一共可以連接成多少線段？若換成n 個(gè)點(diǎn)，可以連接多少線段？從題目本質(zhì)上看，變式一與變式二考查的是相同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，但題目形式的變化會給學(xué)生帶來耳目一新之感，即使是在重復(fù)解題，學(xué)生也能做到樂在其中，不僅進(jìn)一步舒緩了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，還有助于提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

二、改變僵化思維

在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)課堂上，教師通常采用“定義與概念講解—例題講解—習(xí)題訓(xùn)練”這一相對固定的教學(xué)步驟與順序。但基于這種固定模板的教學(xué)方式，學(xué)生很有可能出現(xiàn)“教師一講就會、習(xí)題一做就廢”的現(xiàn)象。究其原因，學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的理解僅局限于定義與例題，其數(shù)學(xué)思維僵化，故而難以靈活地應(yīng)用所掌握的數(shù)學(xué)內(nèi)容。而實(shí)施變式教學(xué)則能直接打破學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維定式，改變其僵化的數(shù)學(xué)思維，并且在理解數(shù)學(xué)知識時(shí)學(xué)生也可以以更加立體化、直觀化的方式掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，教師在具體教學(xué)過程中可以適當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)例題中的已知條件或結(jié)論加以變換，幫助學(xué)生從不同的角度、不同層次全面地接受相關(guān)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。

例如，在為學(xué)生講解“完全平方公式”的相關(guān)知識點(diǎn)時(shí)，教材中所給出的完全平方公式為“（a+b）2=a2+2ab+b2”，當(dāng)習(xí)題中給出了完全平方公式的左邊部分要求學(xué)生計(jì)算出等式右邊時(shí)，大部分學(xué)生往往也能根據(jù)公式快速地得出答案，但若轉(zhuǎn)換題目形式，如（）2=4-12x+9x2中要求學(xué)生求解括號部分時(shí)，學(xué)生則可能需要更多的時(shí)間。此時(shí)，教師在開展數(shù)學(xué)練習(xí)教學(xué)時(shí)，則可以多運(yùn)用變示教學(xué)，打破學(xué)生從等式左邊計(jì)算至等式右邊的僵化思維，更多關(guān)注完全平方公式中的特征。此外，當(dāng)學(xué)生對教材中的完全平方公式能靈活應(yīng)用后，教師還可以對這部分內(nèi)容加以拓展延伸，如對完全平方公式加以拓展：①（a+b）2-（a-b）2=4ab；（a+b）2+（a-b）2=a2+b2；②a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2bc-2ac；③楊輝三角形：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；④立方與立方差：a3+b3=……綜上，充分地通過變式教學(xué)鍛煉學(xué)生的思考能力，可有效強(qiáng)化學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題過程中的思維能動性，有利于幫助學(xué)生發(fā)散自身數(shù)學(xué)思維，掌握更多數(shù)學(xué)變式方法與技巧。

三、把握變式時(shí)機(jī)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不少知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)概念等都可以通過變式教學(xué)為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識講解，那么在具體的教學(xué)課堂上，教師可以結(jié)合學(xué)生的表情、解題完成情況以及課堂討論的熱烈氛圍等科學(xué)地把握好開展變式教學(xué)的時(shí)機(jī)，實(shí)現(xiàn)變式教學(xué)“1+1＞2”的教學(xué)效果。在變式時(shí)，可以通過概念變式、條件變式、問題變式以及結(jié)論變式等不同變式教學(xué)技巧來保留原題中的本質(zhì)因素，從不同的練習(xí)角度促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的基本內(nèi)在屬性。

例如，教師在為學(xué)生講解“多邊形的內(nèi)角和”基本數(shù)學(xué)知識時(shí)，很多學(xué)生對直接將“四邊形的內(nèi)角和為360°”這一定理進(jìn)行直接記憶，但是很多學(xué)生對“為什么四邊形內(nèi)角和為360°”卻不甚理解，針對這一教學(xué)問題，教師可以在黑板上畫出任意的一個(gè)四邊形，并將四邊形對角以一條直線連接起來，此時(shí)四邊形就變成了兩個(gè)三角形，四邊形的內(nèi)角和即為兩個(gè)三角形內(nèi)角和之和，即180°+180°。當(dāng)學(xué)生流露出恍然大悟的表情時(shí)，教師在原來的四邊形中將另外一條對角線加上，此時(shí)四邊形中則形成了四個(gè)三角形，不等教師提出疑問，學(xué)生在直觀的四個(gè)三角形圖形中也不禁開始思考，為什么現(xiàn)在不能運(yùn)用三角形內(nèi)角和進(jìn)行四邊形內(nèi)角和推導(dǎo)了呢？接著，教師可以在課堂上為學(xué)生預(yù)留出充足的思考與討論時(shí)間，再對多邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)方法進(jìn)行統(tǒng)一的講解。與常規(guī)的公式記憶方法相比，教師變式教學(xué)讓學(xué)生對這部分的知識點(diǎn)形成更加深刻的印象。而除了課堂上學(xué)生的表現(xiàn)之外，在開展變式教學(xué)時(shí)教師也可以將教材中的知識與生活實(shí)際結(jié)合起來，通過生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象開展變式教學(xué)。例如，在為學(xué)生教學(xué)“拋物線”的相關(guān)知識時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，用同樣大的力氣，如何扔鉛球才能扔得更遠(yuǎn)？同一個(gè)人，站在地上扔鉛球和站在椅子上扔鉛球，距離會是一樣的嗎？會出現(xiàn)什么樣的變化？為什么會出現(xiàn)這樣的變化？在教師的問題變式下，學(xué)生對拋物線的認(rèn)識會有更加具體的途徑，并且以生活中的扔鉛球活動作為類比，也能適當(dāng)?shù)亟档蛿?shù)學(xué)知識點(diǎn)的理解難度。

四、引導(dǎo)多向變通

在變式教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理以及相關(guān)的數(shù)學(xué)公式推理推算同一數(shù)學(xué)問題中的多種解題思路，促使學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)其多向變通，最終牢牢鞏固所學(xué)知識，加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維能力的總體提升。例如，教師在為學(xué)生講解完“一元二次方程應(yīng)用”的相關(guān)知識點(diǎn)后，在具體的習(xí)題訓(xùn)練中則可以下意識地鼓勵學(xué)生尋找到同一數(shù)學(xué)問題的不同解題思路。如題：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)相乘的乘積為323，分別求解出這兩個(gè)奇數(shù)。在這一習(xí)題中，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面思考如何設(shè)置未知數(shù)x。方法一：可以設(shè)置較小的奇數(shù)為x，那么另一個(gè)奇數(shù)就是x+2，得出方程：x（x+2）；方法二：可以設(shè)置較大的奇數(shù)為x，根據(jù)等量關(guān)系，另一個(gè)奇數(shù)可以寫作323/x，得出方程x-323/x=2；方法三：設(shè)x 為任意整數(shù)，那么這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為2x-1與2x+1，列出方程為（2x-1）（2x+1）=323；方法四：設(shè)兩個(gè)聯(lián)系的奇數(shù)分別為x-1 與x+1，此時(shí)x2-1=323……或在三元一次方程組應(yīng)用題解題中，“買13 個(gè)雞蛋、五個(gè)鴨蛋、9 個(gè)鵝蛋，總共花費(fèi)9.25元，若買 2 個(gè)雞蛋，4 個(gè)鴨蛋，3 個(gè)鵝蛋，總共花費(fèi)為3.20 元，求解每種蛋各買一個(gè)所需要花費(fèi)的總價(jià)”，教師可以鼓勵學(xué)生通過不同的求解方式計(jì)算未知數(shù)的具體值。根據(jù)題意，可以得到如下方程組：①13x+5y+9z=9.25；②2x+4y+3z=3.20；而本題中主要求解的是x+y+z的值。問題拋出后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主思考，并將自己所能想到的解題方法都在草稿紙上羅列出來，包括湊整法（將原方程組湊成A(x+y+z）=B 的形式）、主元法（如以x、y 為主元，z 視為一個(gè)常數(shù)）、消元法（如設(shè)x=0，使原方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，依次求出3 個(gè)未知數(shù)的值）；參數(shù)法以及待定系數(shù)法……此后，為了推進(jìn)課堂進(jìn)度，教師也可要求學(xué)生通過小組合作的方式與其他同學(xué)一起分享自己的解法，交流互動期間，也可以實(shí)現(xiàn)取長補(bǔ)短、互幫互助、協(xié)同發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)目的。對同一數(shù)學(xué)問題嘗試運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，學(xué)生會更加真切地感受到數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的奧妙所在，并且在不同的解題方法中學(xué)生數(shù)學(xué)思維被很好地打開，有效地推動了學(xué)生綜合學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展。

五、增強(qiáng)聯(lián)想探索

在初中數(shù)學(xué)教材中存在著大量的習(xí)題，盡管不同的習(xí)題中所給出的已知條件有所不同，但是在解題方法上往往蘊(yùn)涵著相同的數(shù)學(xué)思想。因此，在變式教學(xué)中，教師可以針對具體數(shù)學(xué)解題思路或解題規(guī)律加以變式，增強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)想與探索能力，由淺入深地引導(dǎo)，幫助學(xué)生逐步形成求同存異的數(shù)學(xué)分析能力。具體來說，教師在解題教學(xué)中可以將同一類型的題目歸納起來，并引導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)嘗試采用通用的解法，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)解題方法與規(guī)律的掌握程度，最終養(yǎng)成成熟的解題思維。

例如，在“全等三角形判定”習(xí)題中，為了強(qiáng)化學(xué)生對全等三角形判定定理的綜合理解與應(yīng)用，教師可以先只給出一個(gè)已知條件，如“一組對應(yīng)邊相等”或“一組對應(yīng)角相等”的條件引導(dǎo)學(xué)生判斷，在這一個(gè)已知條件下所畫出的兩個(gè)三角形是否是全等三角形？在學(xué)生思考過程中，教師則可以接著給出學(xué)生兩個(gè)條件，鼓勵其分析在不同的條件下能出現(xiàn)幾種可能的情況，并且在不同的情況下所得到的兩個(gè)三角形又是否是全等三角形，如“三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為 30°和 50°”“三角形一個(gè)內(nèi)角為 30°，一條邊為3cm”“三角形的兩條邊分別為4cm和6cm”……對同一類型的習(xí)題開展變式教學(xué)，學(xué)生在解題的過程中則能始終保持著知識遷移訓(xùn)練，在不同形式的習(xí)題下會更加清晰地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識本質(zhì)所在，從另一角度上看，學(xué)生思維定式被打破后也會將變式訓(xùn)練中所掌握的數(shù)學(xué)規(guī)律與解題思想運(yùn)用到后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中，也進(jìn)一步地降低了學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識的畏難心理，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)自信。

六、強(qiáng)化知識辨析

為了幫助學(xué)生搭建完整的數(shù)學(xué)知識框架，在后續(xù)的數(shù)學(xué)解題中能正確地判斷不同題目中所考查的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式教學(xué)時(shí)要立足于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，根據(jù)實(shí)際教學(xué)目標(biāo)設(shè)定變式訓(xùn)練題目之間的關(guān)聯(lián)性，強(qiáng)化知識辨析，進(jìn)而提升學(xué)生在變式教學(xué)模式中的學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量。

以“一元一次不等式”變式教學(xué)為例，在課堂上，教師可以先在黑板上為學(xué)生展示出四個(gè)簡單的不等式，啟發(fā)學(xué)生通過觀察探索觀察一元一次不等式與之前所學(xué)習(xí)過的一元一次方程之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，進(jìn)而促使學(xué)生能運(yùn)用自己的理解概括一元一次不等式的基本概念，強(qiáng)化學(xué)生對不等式相關(guān)數(shù)學(xué)特征的理解與記憶。當(dāng)學(xué)生掌握不等式計(jì)算技巧后，教師可繼續(xù)為學(xué)生出示幾道較為簡單的計(jì)算題，以此考查學(xué)生對一元一次不等式概念的掌握情況。當(dāng)學(xué)生完成習(xí)題后，為了加深學(xué)生對不等式知識的辨析能力，進(jìn)而引出不等式的解集概念，教師也可以將具體的不等式內(nèi)容進(jìn)行變式，如在不等式：3x＜18中，將x=5帶入其中，不等式是否成立？帶入x=6、x=7時(shí)會出現(xiàn)什么情況？為了確保不等式成立，未知數(shù)x應(yīng)該滿足哪些條件？通過這樣的數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，學(xué)生能自然而然地發(fā)現(xiàn)使不等式成立的值有很多，只需要在滿足未知數(shù)x條件以內(nèi)，不等式都是成立的。從這一教學(xué)過程也可以看出，教師利用變式訓(xùn)練可以幫助學(xué)生很好地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)中較為相近的數(shù)學(xué)內(nèi)容與知識點(diǎn)，并且在變式教學(xué)過程中學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)所在，由此提高了學(xué)生做題的正確率。

七、結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變自身教學(xué)思路，應(yīng)用變式教學(xué)幫助學(xué)生打破固有思維定式，降低數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與理解難度，促使學(xué)生靈活地改變僵化思維，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的多向變通，使學(xué)生能全面地掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，發(fā)展數(shù)學(xué)解題思維的靈活性與創(chuàng)新性，由此提升分析問題和解決問題的綜合能力。