周 輝，王 文

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

常微分方程中的許多應(yīng)用問題來自自然界，人們常常通過數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或多個(gè)變量的變化率問題，再利用極限理論將其變?yōu)槌Ｎ⒎址匠踢M(jìn)行研究[1,6]。因此，常微分方程通常被用來研究對(duì)象的演化規(guī)律，是解決實(shí)際問題的重要理論工具，這就使得在師范專業(yè)認(rèn)證背景下，需要教師在開展教學(xué)過程中對(duì)課程的課堂教學(xué)做到有的放矢[2-5]。

1 挖掘課程思政元素

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)師范生選用王高雄等編著的《常微分方程》(第三版)作為教材，該教材在緒論部分的第一節(jié)介紹了大量源于實(shí)際的常微分方程模型。教師講授該部分內(nèi)容時(shí)融入恰當(dāng)?shù)乃颊?，不僅有助于提高學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣，而且還能幫助學(xué)生理解“遵守自然規(guī)律、愛護(hù)大自然”的意義，這對(duì)師范生道德情操的培養(yǎng)有著潛移默化的作用。

研究以緒論中的傳染病模型教學(xué)為例，探討融入課程思政的教學(xué)設(shè)計(jì)過程。教師先引入當(dāng)前在全球蔓延的新型冠狀病毒疫情，結(jié)合一些國(guó)內(nèi)抗擊疫情的生動(dòng)案例，讓學(xué)生感受到能在學(xué)校安心上課來之不易，要珍惜時(shí)光，刻苦學(xué)習(xí)。隨后向?qū)W生提出如何用數(shù)學(xué)知識(shí)較準(zhǔn)確地描述病毒的傳播問題，再介紹教材中的SI模型和SIR模型的建模過程并分析各變量的生物意義與適用條件。通過分析兩個(gè)模型的局限性，考慮感染者的康復(fù)因素，引入移除者變量R。教師板書模型的傳播示意圖，學(xué)生根據(jù)該示意圖，自主嘗試建立如式(1)的SIR模型：

(1)

最后，教師根據(jù)學(xué)生學(xué)過的導(dǎo)數(shù)定義，對(duì)模型進(jìn)行解釋，闡述模型在傳染病動(dòng)力學(xué)分析預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。同時(shí)，結(jié)合當(dāng)前新型冠狀病毒的傳播特點(diǎn)，指出此模型應(yīng)用的局限性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

2 建模思想融入課堂教學(xué)

“常微分方程”作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生完成“數(shù)學(xué)分析”課程學(xué)習(xí)后的分析類課程，其理論在其他學(xué)科領(lǐng)域具有很強(qiáng)的應(yīng)用性。而在師范認(rèn)證背景下，學(xué)科素養(yǎng)對(duì)應(yīng)于師范認(rèn)證畢業(yè)要求中的“指標(biāo)2”。該指標(biāo)突出了培養(yǎng)中學(xué)教師具有扎實(shí)的學(xué)識(shí)和創(chuàng)新精神在人才培養(yǎng)目標(biāo)中的重要性。因而，在“常微分方程”課堂教學(xué)中既要重視數(shù)學(xué)理論推理和計(jì)算能力的培養(yǎng)，也要重視教學(xué)過程中創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

建模思想是“常微分方程”課堂教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑之一。數(shù)學(xué)建模也是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)起著不可替代的作用。因此，教師要把建模思想融入數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)師范生的“常微分方程”教學(xué)活動(dòng)，并擺在突出位置。數(shù)學(xué)建模的目的主要是解決實(shí)際問題，教師應(yīng)結(jié)合理論教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境，設(shè)置模型條件，激發(fā)學(xué)生想象力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。通過對(duì)學(xué)生建模以及數(shù)值模擬的訓(xùn)練過程，有效促進(jìn)對(duì)學(xué)生相互協(xié)作與溝通能力的培養(yǎng)。

教師在選取建模問題時(shí)可結(jié)合應(yīng)用性與時(shí)效性，這有利于幫助學(xué)生感受學(xué)習(xí)“常微分方程”課程的重要價(jià)值，獲得成就感，提高學(xué)習(xí)動(dòng)力。如，當(dāng)下全球新型冠狀病毒傳播的顯著特點(diǎn)是病毒潛伏期長(zhǎng)、不易被醫(yī)學(xué)檢測(cè)，這給衛(wèi)生防疫部門的流行病學(xué)調(diào)查和疫情防控帶來很大困難。教師可在模型(1)的基礎(chǔ)上提出病毒的潛伏期問題：如何改進(jìn)模型(1)使之體現(xiàn)潛伏期特點(diǎn)。為了幫助學(xué)生完成建模，教師可給學(xué)生提供一些經(jīng)典的時(shí)滯模型(如Nicholson模型、Macky-Glass模型、時(shí)滯Logistic模型等)的相關(guān)文獻(xiàn)供學(xué)生課下閱讀。在實(shí)際應(yīng)用中，由于個(gè)體或群體在感染到康復(fù)的過程中可能會(huì)存在潛伏期、感染期或免疫期等不同的時(shí)滯，每個(gè)學(xué)生出發(fā)點(diǎn)不同，所建立模型也會(huì)有所差異。教師重點(diǎn)介紹幾個(gè)目前被公認(rèn)的帶時(shí)滯的傳染病模型，并對(duì)學(xué)生建立的模型加以比較分析。比如在分析考慮免疫期的SIR模型時(shí)，可講授Brauer等[6]所構(gòu)建的經(jīng)典時(shí)滯模型：

(2)

教師首先引導(dǎo)學(xué)生從形式上分析模型(1)與模型(2)的異同，隨后重點(diǎn)分析時(shí)滯τ代表的生物學(xué)意義，最后布置對(duì)模型(1)與模型(2)進(jìn)行數(shù)值模擬的作業(yè)，讓學(xué)生從直觀上理解時(shí)滯對(duì)SIR模型的動(dòng)力學(xué)影響。

3 搭建與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系

目前，一些師范高校只重視對(duì)課程內(nèi)容本身的教學(xué)，而忽略與中學(xué)教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。在師范專業(yè)認(rèn)證背景下，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)師范專業(yè)的“常微分方程”課程目標(biāo)應(yīng)遵循“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”的理念。這就要求教師在講授該課程的過程中，適當(dāng)建立與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。這也有助于學(xué)生以后承擔(dān)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的知識(shí)體系構(gòu)建。

比如在《常微分方程》第六章第三節(jié)關(guān)于奇點(diǎn)的內(nèi)容中，以二維的自治微分方程組為例，通過平移變換將此自治方程轉(zhuǎn)化為如下二維的線性微分方程：

(3)

得到模型(3)的特征方程：

λ2+pλ+q=0

(4)

其中：p=-(a+d)，q=ad-bc。

方程(4)是一個(gè)關(guān)于特征值λ的一元二次方程，而關(guān)于一元二次方程實(shí)根的存在性和個(gè)數(shù)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一。教師可在課堂中提出關(guān)于方程(4)根的分布情況，鑒于一些學(xué)生在面對(duì)方程(4)時(shí)容易忽略其具有復(fù)特征根的情況，教師要強(qiáng)調(diào)忽略復(fù)根對(duì)系統(tǒng)(3)帶來的影響。此節(jié)內(nèi)容突出了復(fù)特征根對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的關(guān)鍵作用。

同時(shí)，教師可以設(shè)置一些開放作業(yè)，如要求學(xué)生通過對(duì)模型(1)與模型(2)的比較，探討時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響；思考如何求出系統(tǒng)(5)[7]的特征方程；或要求學(xué)生根據(jù)中學(xué)三角函數(shù)知識(shí)與歐拉公式并參照方程(4)根分布，對(duì)系統(tǒng)(5)的特征方程根的分布情況做詳細(xì)討論等。

(5)

教師將學(xué)生作業(yè)的完成情況作為該課程成績(jī)考核的一部分，突出課程的過程性評(píng)價(jià)。同時(shí)，適當(dāng)開放線上課程資源，采取混合式教學(xué)等模式，將教材內(nèi)容以外的知識(shí)納入互動(dòng)式課堂教學(xué)過程，這更有利于提高課堂教學(xué)效果，拓寬學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

4 總結(jié)

研究基于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)師范認(rèn)證的背景，探析了“常微分方程”課程的課堂教學(xué)改革與實(shí)踐。通過課程思政、建模思想以及與中學(xué)聯(lián)系等三個(gè)方面，分析他們和師范專業(yè)認(rèn)證指標(biāo)的契合點(diǎn)與支撐度。結(jié)合具體教學(xué)過程案例，探討如何實(shí)施教學(xué)活動(dòng)。通過對(duì)課堂教學(xué)改革的探索，突出師范認(rèn)證背景下特殊指標(biāo)體系的要求，幫助教師改進(jìn)傳統(tǒng)的課堂教學(xué)，培養(yǎng)師范生中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的能力。