周紀(jì)晨，郭 琴

(江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院，江西 南昌 330022 )

均勻薄膜的微小橫振動(dòng)是典型的波動(dòng)方程問(wèn)題，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，膜振動(dòng)理論被應(yīng)用于膜樂(lè)器的發(fā)聲仿真[1]、人體耳膜振動(dòng)的病理研究[2]以及植物細(xì)胞膜振動(dòng)的超聲育種[3]等．并且，由于工程結(jié)構(gòu)的輕型化，薄膜結(jié)構(gòu)在建筑、機(jī)械電子、航空航天等領(lǐng)域中也有著廣泛的用途，因此薄膜振動(dòng)的研究具有重要的意義．各類相關(guān)問(wèn)題的討論也十分豐富，如林文靜等人分析了圓形膜和扇形膜自由振動(dòng)問(wèn)題[4]，羅吉等人研究了圓環(huán)膜自由振動(dòng)模型[5]，章禮華等人構(gòu)造了等腰直角三角形膜振動(dòng)解析解[6]，以上有界薄膜的自由振動(dòng)問(wèn)題通常采用分離變量法[4-6]．對(duì)于更為復(fù)雜的薄膜受迫振動(dòng)問(wèn)題[7]，直接應(yīng)用分離變量法求解二階非齊次線性方程，需要用到非齊次線性方程解的定理，求解過(guò)程比較繁瑣．采用沖量定理法結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)法能使問(wèn)題的求解更加簡(jiǎn)潔.本文的研究有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)受迫振動(dòng)問(wèn)題的沖量定理解法的掌握，經(jīng)文獻(xiàn)調(diào)研本文的研究?jī)?nèi)容未見發(fā)表．?dāng)?shù)值模擬是進(jìn)一步探究膜振動(dòng)規(guī)律的有效途徑[8,9]，因此本文對(duì)示例結(jié)果進(jìn)行作圖分析，進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)果的合理性，完整體現(xiàn)了矩形膜振動(dòng)形態(tài)及其特點(diǎn)．

1 四周固定的矩形膜振動(dòng)的定解問(wèn)題

utt-c2Δ2u=0

(1)

圖1 二維薄膜受力與坐標(biāo)系建立

若膜上有橫向外力作用，記單位面積上橫向外力為F(x,y,t)，則單位質(zhì)量上的橫向外力f(x,y,t)=F(x,y,t)/ρ，薄膜受迫振動(dòng)方程為

utt-c2Δ2u=f(x,y,t)

(2)

若膜四周邊界固定(0≤x≤a,0≤y≤b)，則邊界條件為

u(x,y,t)|x=0=u(x,y,t)|x=a=0

(3)

u(x,y,t)|y=0=u(x,y,t)|y=b=0

(4)

假設(shè)初始時(shí)刻膜上有初始位移φ(x,y)和初始速度ψ(x,y)．綜上所述，本文研究的定解問(wèn)題(t≥0)為

(5)

利用疊加原理，可將以上問(wèn)題拆成兩個(gè)定解問(wèn)題，令u(x,y,t)=uⅠ(x,y,t)+uⅡ(x,y,t)，其中uⅠ滿足非零初始條件下齊次方程問(wèn)題(可采用傅里葉級(jí)數(shù)法求解)，uⅡ滿足零值初始條件下非齊次方程問(wèn)題(可運(yùn)用沖量定理法求解)．

(6)

(7)

為便于分析，借助如下例題詳細(xì)說(shuō)明本文解法．

2 具有初始條件的矩形膜受迫振動(dòng)問(wèn)題解法示例

均勻各向同性彈性薄膜，寬為a，長(zhǎng)為b，四周夾緊，初始位移為Axy(a-x)(b-y)，初始速度為0，單位面積所受的橫向外力為ρf(x,y,t)=ρxysinωt，求解此矩形膜的橫振動(dòng)．

分析：由題意此問(wèn)題適合采用薄膜受迫振動(dòng)方程進(jìn)行求解，邊界條件同式(3)、式(4)，該定解問(wèn)題可表達(dá)為

(8)

以上定解問(wèn)題可拆成非零值初始條件下的齊次方程問(wèn)題和零值初始條件下的非齊次方程問(wèn)題.

2.1 具有初始條件的矩形膜自由振動(dòng)下的解析解

接下來(lái)采用傅里葉級(jí)數(shù)法求解以下問(wèn)題:

(9)

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)法，由第一類齊次邊界條件可設(shè)其試探解為

(10)

將式(10)代入式(9)中的泛定方程，得

(11)

解得

Tmn(t)=Amncosωmnt+Bmnsinωmnt

(12)

其中，薄膜本征振動(dòng)的圓頻率為

(13)

故得

(14)

再代入初始條件得

Axy(a-x)(b-y)

(15)

(16)

由式(15)，可利用傅里葉系數(shù)公式求解Amn：

(17)

由式(16)，利用比較系數(shù)法易得

Bmn=0

(18)

故式(9)的解為

(19)

2.2 零值初始條件矩形膜受迫振動(dòng)下的解析解

下面采用沖量定理法求解以下問(wèn)題:

(20)

問(wèn)題式(20)表示矩形膜在受到單位質(zhì)量的橫向外力作用下作振動(dòng)．運(yùn)用沖量定理法的物理思想是，把持續(xù)作用引起的振動(dòng)，看作單位質(zhì)量薄膜所受“瞬時(shí)力”引起的振動(dòng)的疊加；而作用在(τ,τ+dτ)時(shí)間段上的“瞬時(shí)力”的沖量可以轉(zhuǎn)化為在τ+dτ時(shí)刻薄膜的初速度．故可轉(zhuǎn)為求解關(guān)于v(x,y,t;τ)在初始速度作用下的自由振動(dòng)問(wèn)題：

(21)

參照邊界條件，設(shè)其試探解為

(22)

將式(22)代入式(21)中的泛定方程，分離出Tmn的常微分方程并求解得

(23)

其中圓頻率ωmn同式(13)，代入初始條件

(24)

vt(x,y,τ)=

(25)

比較兩邊系數(shù)得

Amn(τ)=0

(26)

利用傅里葉系數(shù)公式得

(27)

至此，已求得式(22)的完整表達(dá)式:

(28)

因此式(20)的解為

(29)

綜上，已求得定解問(wèn)題(8)的解析解:

u(x,y,t)=uⅠ(x,y,t)+uⅡ(x,y,t)=

(30)

3 理論解的討論和可視化分析

下面對(duì)式(30)進(jìn)行作圖分析，展現(xiàn)四周固定矩形膜受迫振動(dòng)的物理圖像．

3.1 受迫矩形膜的振動(dòng)特點(diǎn)

為探究周期性橫向外力F=ρxysinωt的圓頻率ω對(duì)膜上各點(diǎn)振動(dòng)的影響，我們對(duì)式(29)作如下變換:

(31)

當(dāng)外力的圓頻率ω等于固有圓頻率ωmn時(shí)(ω=ωmn):

(32)

其中第一項(xiàng)振幅為t/2，隨著t增大而無(wú)限增大，直至達(dá)到薄膜振動(dòng)承受極限，最終膜破裂，因此這對(duì)于研究共振在生產(chǎn)實(shí)際中帶來(lái)的影響具有一定的指導(dǎo)意義．

為驗(yàn)證以上理論分析的合理性，考察長(zhǎng)寬分別為b=2π,a=π的矩形膜，取膜上點(diǎn)x=π/2,y=π，作其振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的圖像即u(x,y,t)-t圖，如圖2、圖3所示．其中式(29)中系數(shù)c=1．通過(guò)大量作圖(這里只呈現(xiàn)兩幅圖)得出結(jié)論：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力圓頻率與固有圓頻率相等時(shí)，薄膜將產(chǎn)生位移共振[11](如圖2)；當(dāng)兩者十分接近但不相等時(shí)，薄膜將出現(xiàn)“拍”的現(xiàn)象(如圖3)．

圖2 位移共振現(xiàn)象

圖3 “拍”現(xiàn)象

3.2 受迫矩形膜共振下的振動(dòng)形態(tài)

為進(jìn)一步了解矩形膜的整體振動(dòng)形態(tài)變化，設(shè)式(30)中系數(shù)A=1,c=1，作出不同共振圓頻率下u(x,y,t)的三維圖像，來(lái)觀察矩形膜(b=2π,a=π)隨位移共振圓頻率變化的三維動(dòng)態(tài)圖像．

圖4是同一時(shí)刻不同共振圓頻率的振動(dòng)圖像．可以得出結(jié)論：在同一時(shí)刻下，共振圓頻率越大，矩形膜的表面褶皺越多，因?yàn)橥饨缬绊戇^(guò)快導(dǎo)致膜的變化也更為顯著．

w(1,1)=1.118 03

圖5是不同時(shí)刻同一共振圓頻率的振動(dòng)圖像．可得出結(jié)論：在不同時(shí)刻下，由于外界驅(qū)動(dòng)力以及初始位移的存在，矩形膜將呈現(xiàn)出不同于本征振動(dòng)的一系列振動(dòng)形態(tài)．

t=1.4

4 結(jié)論

本文將一維受迫弦振動(dòng)定解問(wèn)題的解法有效推廣至二維矩形膜振動(dòng)問(wèn)題，充分運(yùn)用沖量定理法中的物理思想，得到了四周固定的均勻矩形薄膜在受迫振動(dòng)下的解析解．通過(guò)求解典型例題，使此類推廣解法的使用更加清晰易懂．同時(shí)，對(duì)受迫振動(dòng)的理論解進(jìn)行了作圖分析，使其蘊(yùn)含的物理意義更加具體形象，振動(dòng)特點(diǎn)更為直觀．希望本文的研究可以加深學(xué)生對(duì)二維矩形膜振動(dòng)問(wèn)題的理解以及加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)物理方法相關(guān)理論的掌握． 二維矩形膜非齊次振動(dòng)問(wèn)題的沖量定理解法還可推廣到二維有源(匯)輸運(yùn)問(wèn)題中去．