探究弦球鏈系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞?/h1>
2022-03-18 01:27林織星王志元楊天驊
大學(xué)物理 2022年3期
林織星，王志元，楊天驊
(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)
自1980年代起，一系列特殊的材料——拓?fù)浣^緣體得到了持久而廣泛的關(guān)注，這些材料的邊緣態(tài)是“拓?fù)浔Ｗo(hù)”的，其性質(zhì)取決于體能帶本身的拓?fù)浞瞧接剐裕蚨茈s質(zhì)的影響較小，同時(shí)其輸運(yùn)系數(shù)也可以通過(guò)拓?fù)洳蛔兞康挠?jì)算來(lái)定量地衡量[1].
一維弦球鏈體系作為一個(gè)簡(jiǎn)單、直觀、典型的用于模擬晶體中電子系統(tǒng)的力學(xué)聲子系統(tǒng)，其能譜和本征態(tài)已經(jīng)得到了較為深入而全面的研究[2].而在弦球鏈的一系列本征態(tài)中，邊緣態(tài)(帶隙態(tài))的性質(zhì)較為特殊，邊緣態(tài)的存在具有一定的魯棒性，不受體系參數(shù)變化的影響，其局域位置會(huì)隨著體系參量發(fā)生改變，且呈現(xiàn)出一定的規(guī)律.近年來(lái)，一些利用拓?fù)浣^緣體的能帶拓?fù)淅碚搧?lái)研究力學(xué)聲子體系的邊緣態(tài)和拓?fù)湫再|(zhì)的工作，印證了能帶拓?fù)淅碚撏瑯舆m用于聲子體系[3].弦球鏈體系邊緣態(tài)與拓?fù)浣^緣體邊緣態(tài)在性質(zhì)上的相似性，以及能帶拓?fù)淅碚搹V泛的適用性，啟發(fā)筆者從能帶拓?fù)涞慕嵌忍接戇吘墤B(tài)的物理意義與性質(zhì).
本文利用解析與數(shù)值相結(jié)合的手段，計(jì)算體系的拓?fù)洳蛔兞?，從而證明體系拓?fù)浞瞧接剐裕M(jìn)而討論體系的拓?fù)湎嘧凕c(diǎn)與相變前后體系的拓?fù)湫再|(zhì)，最后利用輸運(yùn)理論解釋實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的體系邊緣態(tài)局域位置的變化.
1 實(shí)驗(yàn)背景
實(shí)驗(yàn)中采用的弦球鏈系統(tǒng)如圖1所示[4]，在光學(xué)導(dǎo)軌的一端用固定架F將弦的一頭夾緊，弦的另一頭跨過(guò)位于光學(xué)導(dǎo)軌另一端的定滑輪后，由砝碼加一固定張力T.張緊的弦與導(dǎo)軌保持平行，其上等間距地固定有質(zhì)量為mb的小球，小球間距為a.S1和S2是兩個(gè)可以在導(dǎo)軌上滑動(dòng)的滑塊，記S1到第一個(gè)小球的距離為τ，S2到最后一個(gè)小球的距離為a-τ，可以通過(guò)挪動(dòng)滑塊的位置調(diào)節(jié)τ的大小.當(dāng)用壓塊將弦緊壓在S1和S2的刀口上時(shí)，刀口處弦的振幅被限制為零，但弦中張力并不會(huì)改變.
圖1 弦球鏈系統(tǒng)振動(dòng)模研究實(shí)驗(yàn)裝置示意圖
實(shí)驗(yàn)中所用的鋼弦的線密度μ0=0.549 g/m，小球質(zhì)量mb=0.127 g，兩小球的間距為a=200 mm，弦張力T=9.01 N.
實(shí)驗(yàn)中采用PASCO公司的利用WA-9613驅(qū)動(dòng)器和探測(cè)器來(lái)激勵(lì)和探測(cè)弦鏈的振動(dòng)，利用SR785動(dòng)態(tài)信號(hào)分析器的正弦掃頻工作模式來(lái)獲取弦鏈系統(tǒng)的本征頻譜.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中可以改變弦鏈體系包含的總周期數(shù)N與S1到小球的距離τ，測(cè)得周期弦鏈系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的頻譜圖，測(cè)量結(jié)果如圖2所示.
圖2 弦球鏈系統(tǒng)頻譜圖
從圖2中可以看出，體系的能譜存在帶狀結(jié)構(gòu)，同時(shí)，在每一個(gè)能隙之間或能隙的邊緣(k=0，π/a處)存在一個(gè)邊緣態(tài)能量.數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)表明，隨著刀口S1位置的變化，即τ值的改變，邊緣態(tài)的能量會(huì)在能隙之間移動(dòng).在特殊參數(shù)條件下，邊緣態(tài)的能量會(huì)處在帶頂或帶底的位置，即能隙的邊緣處.但在這整個(gè)過(guò)程中，邊緣態(tài)始終存在.表1展示了在N=6的條件下，第二級(jí)帶隙中的邊緣態(tài)能量對(duì)應(yīng)的共振頻率隨τ變化的理論值與實(shí)驗(yàn)值.
表1 N=6第二帶隙態(tài)頻率與τ/a的關(guān)系
同時(shí)，可以解析求解邊緣態(tài)波函數(shù)在不同τ值下的函數(shù)形式，其具有e-i(k1+ik2)x的普適形式.因此，k2為正值時(shí)，代表體系局域在右邊緣，反之代表體系局域在左邊緣.在圖3中畫(huà)出了第1級(jí)帶隙中k2隨τ的變化，可以看到τ的變化會(huì)改變k2的正負(fù)，由此改變體系邊緣態(tài)波函數(shù)的局域位置，對(duì)其他級(jí)的能隙亦是如此.
圖3 第一級(jí)帶隙中k2關(guān)于τ的變化曲線
規(guī)定波函數(shù)局域位置從左端變到右端再回到左端為一次來(lái)回，數(shù)值計(jì)算不同級(jí)帶隙中邊緣態(tài)波函數(shù)在τ從0增加到a時(shí)的來(lái)回次數(shù)nt，結(jié)果如表2所示.筆者發(fā)現(xiàn)，nt恰好等于邊緣態(tài)所處能隙的級(jí)次(即ntj=j).
表2 來(lái)回次數(shù)nt與所處能隙級(jí)次的關(guān)系
為了更深入地解釋上述實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬的結(jié)果，本文利用能帶拓?fù)涞恼Z(yǔ)言來(lái)處理這個(gè)體系.
2 拓?fù)洳蛔兞康挠?jì)算
為了在弦球鏈體系上定義并計(jì)算拓?fù)洳蛔兞浚葟捏w系的動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，設(shè)體系的本征頻率為ω，同時(shí)以刀口S1處為坐標(biāo)原點(diǎn)，有
(1)
這是一個(gè)廣義本征值問(wèn)題，其中
(2)
弦球鏈體系具有x方向上的周期性，根據(jù)Bloch定理，波函數(shù)y(x)可以表示為Bloch解ψk(x)=eikxuk(x)的形式.
2.1 一維情況
弦球鏈體系在實(shí)驗(yàn)上是一個(gè)一維體系，故本文從一維情況下的拓?fù)浞诸惱碚揫5]出發(fā)，來(lái)討論體系可能具有的拓?fù)洳蛔兞?
體系的Bloch解所滿足的方程為
(3)
從式(3)可以看出，體系在時(shí)間反演操作(x→x，i→-i，k→-k)下保持不變.同時(shí)，體系是無(wú)自旋的連續(xù)體系，故不存在粒子-空穴對(duì)稱性與手征對(duì)稱性.利用Altland-Zirnbauer分類法[5]，弦球鏈體系應(yīng)當(dāng)從屬于AI類，而AI類在一維情況下沒(méi)有非平庸的拓?fù)洳蛔兞?因此，在一維情況下討論，弦球鏈體系是一個(gè)拓?fù)淦接沟捏w系.
2.2 準(zhǔn)二維情況
而弦球鏈體系還可以做準(zhǔn)二維等價(jià)，從準(zhǔn)二維等價(jià)出發(fā)，同樣利用拓?fù)浞诸惱碚摚w系就具有非平庸的拓?fù)洳蛔兞?，從而可以從能帶拓?fù)涞慕嵌冉忉寣?shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的現(xiàn)象.
由式(1)、(2)可知，波函數(shù)y(x)是關(guān)于τ的函數(shù)，可記為ψk，τ(x)=eikxuk，τ(x)，同時(shí)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置保證了τ也是體系的一個(gè)周期性參量，即當(dāng)τ改變一個(gè)周期長(zhǎng)度a時(shí)，體系復(fù)原，這與波矢在改變一個(gè)布里淵區(qū)之后復(fù)原的性質(zhì)相同.因此通過(guò)將τ視為另一個(gè)維度的準(zhǔn)波矢，可以將弦球鏈體系中的周期性參量(k，τ)映射為二維體系中的(kx，ky).上述準(zhǔn)二維等價(jià)的做法也被應(yīng)用在探究一維光子晶體[6]與一維準(zhǔn)晶[7]的拓?fù)湫再|(zhì)中.
準(zhǔn)二維體系中的Bloch解也滿足式(3)，但區(qū)別在于，由于τ被映射為準(zhǔn)二維體系的波矢，在做時(shí)間反演變換時(shí)，對(duì)應(yīng)的變換應(yīng)當(dāng)為：x→x，i→-i，k→-k，τ→-τ.式(3)在上述變換下，不再具有時(shí)間反演對(duì)稱性.同樣利用Altland-Zirnbauer分類法[5]，準(zhǔn)二維等價(jià)下的弦球鏈體系應(yīng)當(dāng)從屬于A類，而A類在二維情況下對(duì)應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞考礊殛悢?shù).
在弦球鏈體系中，第n條能帶的Berry曲率Ωn與陳數(shù)Cn的具體定義如下[8]：
Ωn=i[?k×]
(4)
其中|ψn，k(r)>=eikx|un，k(r)>為第n條能帶的Bloch波函數(shù)，且 (k，τ)映射為k=(kx，ky).
值得注意的是，式(4)是建立在周期性邊界條件上的，而真實(shí)的體系是開(kāi)邊界條件.而B(niǎo)ulk-edge correspondence[9]使得周期性邊界條件下定義并計(jì)算的拓?fù)洳蛔兞磕軌蚪o出開(kāi)邊界條件下的邊緣態(tài)的物理性質(zhì)(例如電導(dǎo)).
利用解析與數(shù)值相結(jié)合的方式，求解了第1—4條能帶的陳數(shù)，結(jié)果如圖4所示.可以看出，每一條能帶的陳數(shù)均為-1，因此準(zhǔn)二維體系的能帶是拓?fù)浞瞧接沟?，?shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的帶隙態(tài)在準(zhǔn)二維拓?fù)涞囊饬x下，是拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài).
圖4 第1-4條能帶的陳數(shù)
3 拓?fù)湎嗯c拓?fù)湎嘧?/h2>
陳數(shù)作為一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?，不?huì)隨著參數(shù)的連續(xù)微小變化而發(fā)生改變.因此，連續(xù)的變化實(shí)驗(yàn)體系的其他參數(shù)，應(yīng)當(dāng)不改變體系的拓?fù)浞瞧接剐?然而，當(dāng)參數(shù)變化到引起體系的能隙閉合時(shí)，絕熱定理失效[10]，陳數(shù)不再是良定義的拓?fù)洳蛔兞?，此時(shí)繼續(xù)變化參數(shù)讓能隙重新打開(kāi)后，體系的拓?fù)洳蛔兞烤陀锌赡馨l(fā)生變化，由此導(dǎo)致拓?fù)湫再|(zhì)的變化.這樣的變化過(guò)程稱為拓?fù)湎嘧儯芟堕]合的參數(shù)點(diǎn)稱為拓?fù)湎嘧凕c(diǎn).
選取小球質(zhì)量mb為體系的可變參量，來(lái)探討體系可能發(fā)生的拓?fù)湎嘧?首先，利用數(shù)值方法求解出不同mb下的能譜，結(jié)果如圖5所示.可以看出mb=0時(shí)能隙閉合，是體系的相變點(diǎn).
mb=0.5 g
在3中已經(jīng)驗(yàn)證了mb=0.127 g的時(shí)候，體系處于拓?fù)浞瞧接鬼?xiàng)，每條能帶的陳數(shù)為-1.因此，利用拓?fù)洳蛔兞康男再|(zhì)，所有正小球質(zhì)量的體系，其每條能帶的陳數(shù)應(yīng)與mb=0.127 g的情況相同.為此本文做了數(shù)值上的驗(yàn)證，結(jié)果見(jiàn)圖6.
圖6 正質(zhì)量區(qū)域第1—4條能帶的陳數(shù)
可以看出數(shù)值的結(jié)果與理論上的預(yù)測(cè)是相吻合的，在實(shí)驗(yàn)的意義上，更換不同的小球質(zhì)量，都應(yīng)當(dāng)能測(cè)量到邊緣態(tài)的存在，本文在4中會(huì)說(shuō)明，這些邊緣態(tài)都有同樣的準(zhǔn)二維輸運(yùn)性質(zhì).
在相變點(diǎn)mb=0，同樣計(jì)算了對(duì)應(yīng)的陳數(shù)，得到的結(jié)果為0，說(shuō)明體系是一個(gè)拓?fù)淦接箲B(tài)，不再有拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài)出現(xiàn)，這與筆者的物理直覺(jué)是吻合的.
在經(jīng)過(guò)相變點(diǎn)之后的負(fù)質(zhì)量區(qū)域，利用同樣的方法計(jì)算陳數(shù)，結(jié)果如圖7所示.
圖7 負(fù)質(zhì)量區(qū)域第1—4條能帶的陳數(shù)
可以看出，在經(jīng)過(guò)相變點(diǎn)到達(dá)負(fù)質(zhì)量區(qū)域之后，體系仍然是一個(gè)拓?fù)浞瞧接鬼?xiàng).也就是說(shuō)，如果可以實(shí)現(xiàn)一種“缺陷”型的弦鏈體系，一樣可以探測(cè)到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài)的存在.基于上述的討論，可以給出體系的相圖.
圖8 弦球鏈體系相圖(以mb為參數(shù))
4 輸運(yùn)性質(zhì)
在本小節(jié)中，將利用準(zhǔn)二維的輸運(yùn)理論來(lái)解釋邊緣態(tài)局域位置隨τ的變動(dòng).
準(zhǔn)二維弦球鏈體系滿足的方程為
(5)
由于cos勢(shì)與δ函數(shù)勢(shì)的同倫等價(jià)性，可以將弦球鏈體系類比二維整數(shù)量子霍爾效應(yīng)體系在緊束縛模型下的一維等效方程[11]：
(6)
在整數(shù)量子霍爾效應(yīng)中，外場(chǎng)對(duì)體系的驅(qū)動(dòng)可以等效為相位ky-2mφ進(jìn)行一個(gè)周期的平移，對(duì)應(yīng)到弦球鏈體系中，即τ變化一個(gè)周期長(zhǎng)度.該過(guò)程對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)可利用Kubo公式[8]進(jìn)行計(jì)算，即
(7)
其中σn為第n條能帶貢獻(xiàn)的電導(dǎo)，因此，當(dāng)體系的能量處在第j級(jí)帶隙中時(shí)，總電導(dǎo)為
(8)
(9)
利用2中陳數(shù)的計(jì)算結(jié)果，nj=j.
準(zhǔn)二維空間的輸運(yùn)體現(xiàn)在一維的實(shí)驗(yàn)體系中，就對(duì)應(yīng)邊緣態(tài)局域位置的變化，因此當(dāng)τ改變一個(gè)周期時(shí)，第j級(jí)的邊緣態(tài)局域位置的來(lái)回次數(shù)ntj=nj=j.這與1中基于求解波函數(shù)方法得到的來(lái)回次數(shù)的結(jié)果是一致的.因此邊緣態(tài)局域位置的變化，可以利用準(zhǔn)二維體系的輸運(yùn)理論來(lái)解釋.
5 總結(jié)與展望
本文將能帶拓?fù)涞睦碚撏卣沟搅讼仪蜴滙w系中，先通過(guò)拓?fù)浞诸惱碚摯_定了一維與準(zhǔn)二維情況下體系對(duì)應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞?，而后?jì)算得到了準(zhǔn)二維體系不同能帶的陳數(shù)，由此論證了邊緣態(tài)的拓?fù)浔Ｗo(hù)性質(zhì).并以小球的質(zhì)量為參數(shù)，討論了體系的拓?fù)湎嘧凕c(diǎn)，用數(shù)值的方法確定了相變點(diǎn)前后的拓?fù)湎?，得到了體系的相圖.值得說(shuō)明的是，雖然負(fù)質(zhì)量區(qū)域是“非物理”的，但這一部分的討論使得本文的結(jié)果在理論上更具完整性.最后通過(guò)準(zhǔn)二維輸運(yùn)理論定量解釋了邊緣態(tài)局域位置的變化，而該現(xiàn)象利用經(jīng)典方法無(wú)法給出直觀且定量的解釋.
同時(shí)，在研究過(guò)程中，仍遇到了一些尚未解決的問(wèn)題，例如，體系的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)應(yīng)的是一個(gè)廣義本征值問(wèn)題，無(wú)法從中提取等效的哈密頓量.
能帶拓?fù)淅碚摰年U釋賦予了弦球鏈體系更深刻的物理內(nèi)涵，揭示了看似簡(jiǎn)單的經(jīng)典體系其實(shí)蘊(yùn)含著非平庸的能帶拓?fù)?基于能帶拓?fù)淅碚?，還可以討論更多的體系，例如雜質(zhì)摻雜的弦球鏈體系、非整數(shù)周期的弦球鏈體系，這些都有待進(jìn)一步的研究.
致謝：在本工作的研究過(guò)程中，得到了北京大學(xué)物理學(xué)院荀坤老師、吳宜家學(xué)長(zhǎng)的支持和幫助，在此特致謝意！
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1 實(shí)驗(yàn)背景
實(shí)驗(yàn)中采用的弦球鏈系統(tǒng)如圖1所示[4]，在光學(xué)導(dǎo)軌的一端用固定架F將弦的一頭夾緊，弦的另一頭跨過(guò)位于光學(xué)導(dǎo)軌另一端的定滑輪后，由砝碼加一固定張力T.張緊的弦與導(dǎo)軌保持平行，其上等間距地固定有質(zhì)量為mb的小球，小球間距為a.S1和S2是兩個(gè)可以在導(dǎo)軌上滑動(dòng)的滑塊，記S1到第一個(gè)小球的距離為τ，S2到最后一個(gè)小球的距離為a-τ，可以通過(guò)挪動(dòng)滑塊的位置調(diào)節(jié)τ的大小.當(dāng)用壓塊將弦緊壓在S1和S2的刀口上時(shí)，刀口處弦的振幅被限制為零，但弦中張力并不會(huì)改變.
圖1 弦球鏈系統(tǒng)振動(dòng)模研究實(shí)驗(yàn)裝置示意圖
實(shí)驗(yàn)中所用的鋼弦的線密度μ0=0.549 g/m，小球質(zhì)量mb=0.127 g，兩小球的間距為a=200 mm，弦張力T=9.01 N.
實(shí)驗(yàn)中采用PASCO公司的利用WA-9613驅(qū)動(dòng)器和探測(cè)器來(lái)激勵(lì)和探測(cè)弦鏈的振動(dòng)，利用SR785動(dòng)態(tài)信號(hào)分析器的正弦掃頻工作模式來(lái)獲取弦鏈系統(tǒng)的本征頻譜.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中可以改變弦鏈體系包含的總周期數(shù)N與S1到小球的距離τ，測(cè)得周期弦鏈系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的頻譜圖，測(cè)量結(jié)果如圖2所示.
圖2 弦球鏈系統(tǒng)頻譜圖
從圖2中可以看出，體系的能譜存在帶狀結(jié)構(gòu)，同時(shí)，在每一個(gè)能隙之間或能隙的邊緣(k=0，π/a處)存在一個(gè)邊緣態(tài)能量.數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)表明，隨著刀口S1位置的變化，即τ值的改變，邊緣態(tài)的能量會(huì)在能隙之間移動(dòng).在特殊參數(shù)條件下，邊緣態(tài)的能量會(huì)處在帶頂或帶底的位置，即能隙的邊緣處.但在這整個(gè)過(guò)程中，邊緣態(tài)始終存在.表1展示了在N=6的條件下，第二級(jí)帶隙中的邊緣態(tài)能量對(duì)應(yīng)的共振頻率隨τ變化的理論值與實(shí)驗(yàn)值.
表1 N=6第二帶隙態(tài)頻率與τ/a的關(guān)系
同時(shí)，可以解析求解邊緣態(tài)波函數(shù)在不同τ值下的函數(shù)形式，其具有e-i(k1+ik2)x的普適形式.因此，k2為正值時(shí)，代表體系局域在右邊緣，反之代表體系局域在左邊緣.在圖3中畫(huà)出了第1級(jí)帶隙中k2隨τ的變化，可以看到τ的變化會(huì)改變k2的正負(fù)，由此改變體系邊緣態(tài)波函數(shù)的局域位置，對(duì)其他級(jí)的能隙亦是如此.
圖3 第一級(jí)帶隙中k2關(guān)于τ的變化曲線
規(guī)定波函數(shù)局域位置從左端變到右端再回到左端為一次來(lái)回，數(shù)值計(jì)算不同級(jí)帶隙中邊緣態(tài)波函數(shù)在τ從0增加到a時(shí)的來(lái)回次數(shù)nt，結(jié)果如表2所示.筆者發(fā)現(xiàn)，nt恰好等于邊緣態(tài)所處能隙的級(jí)次(即ntj=j).
表2 來(lái)回次數(shù)nt與所處能隙級(jí)次的關(guān)系
為了更深入地解釋上述實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬的結(jié)果，本文利用能帶拓?fù)涞恼Z(yǔ)言來(lái)處理這個(gè)體系.
2 拓?fù)洳蛔兞康挠?jì)算
為了在弦球鏈體系上定義并計(jì)算拓?fù)洳蛔兞浚葟捏w系的動(dòng)力學(xué)方程出發(fā)，設(shè)體系的本征頻率為ω，同時(shí)以刀口S1處為坐標(biāo)原點(diǎn)，有
(1)
這是一個(gè)廣義本征值問(wèn)題，其中
(2)
弦球鏈體系具有x方向上的周期性，根據(jù)Bloch定理，波函數(shù)y(x)可以表示為Bloch解ψk(x)=eikxuk(x)的形式.
2.1 一維情況
弦球鏈體系在實(shí)驗(yàn)上是一個(gè)一維體系，故本文從一維情況下的拓?fù)浞诸惱碚揫5]出發(fā)，來(lái)討論體系可能具有的拓?fù)洳蛔兞?
體系的Bloch解所滿足的方程為
(3)
從式(3)可以看出，體系在時(shí)間反演操作(x→x，i→-i，k→-k)下保持不變.同時(shí)，體系是無(wú)自旋的連續(xù)體系，故不存在粒子-空穴對(duì)稱性與手征對(duì)稱性.利用Altland-Zirnbauer分類法[5]，弦球鏈體系應(yīng)當(dāng)從屬于AI類，而AI類在一維情況下沒(méi)有非平庸的拓?fù)洳蛔兞?因此，在一維情況下討論，弦球鏈體系是一個(gè)拓?fù)淦接沟捏w系.
2.2 準(zhǔn)二維情況
而弦球鏈體系還可以做準(zhǔn)二維等價(jià)，從準(zhǔn)二維等價(jià)出發(fā)，同樣利用拓?fù)浞诸惱碚摚w系就具有非平庸的拓?fù)洳蛔兞?，從而可以從能帶拓?fù)涞慕嵌冉忉寣?shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的現(xiàn)象.
由式(1)、(2)可知，波函數(shù)y(x)是關(guān)于τ的函數(shù)，可記為ψk，τ(x)=eikxuk，τ(x)，同時(shí)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置保證了τ也是體系的一個(gè)周期性參量，即當(dāng)τ改變一個(gè)周期長(zhǎng)度a時(shí)，體系復(fù)原，這與波矢在改變一個(gè)布里淵區(qū)之后復(fù)原的性質(zhì)相同.因此通過(guò)將τ視為另一個(gè)維度的準(zhǔn)波矢，可以將弦球鏈體系中的周期性參量(k，τ)映射為二維體系中的(kx，ky).上述準(zhǔn)二維等價(jià)的做法也被應(yīng)用在探究一維光子晶體[6]與一維準(zhǔn)晶[7]的拓?fù)湫再|(zhì)中.
準(zhǔn)二維體系中的Bloch解也滿足式(3)，但區(qū)別在于，由于τ被映射為準(zhǔn)二維體系的波矢，在做時(shí)間反演變換時(shí)，對(duì)應(yīng)的變換應(yīng)當(dāng)為：x→x，i→-i，k→-k，τ→-τ.式(3)在上述變換下，不再具有時(shí)間反演對(duì)稱性.同樣利用Altland-Zirnbauer分類法[5]，準(zhǔn)二維等價(jià)下的弦球鏈體系應(yīng)當(dāng)從屬于A類，而A類在二維情況下對(duì)應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞考礊殛悢?shù).
在弦球鏈體系中，第n條能帶的Berry曲率Ωn與陳數(shù)Cn的具體定義如下[8]：
Ωn=i[?k×
(4)
其中|ψn，k(r)>=eikx|un，k(r)>為第n條能帶的Bloch波函數(shù)，且 (k，τ)映射為k=(kx，ky).
值得注意的是，式(4)是建立在周期性邊界條件上的，而真實(shí)的體系是開(kāi)邊界條件.而B(niǎo)ulk-edge correspondence[9]使得周期性邊界條件下定義并計(jì)算的拓?fù)洳蛔兞磕軌蚪o出開(kāi)邊界條件下的邊緣態(tài)的物理性質(zhì)(例如電導(dǎo)).
利用解析與數(shù)值相結(jié)合的方式，求解了第1—4條能帶的陳數(shù)，結(jié)果如圖4所示.可以看出，每一條能帶的陳數(shù)均為-1，因此準(zhǔn)二維體系的能帶是拓?fù)浞瞧接沟?，?shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的帶隙態(tài)在準(zhǔn)二維拓?fù)涞囊饬x下，是拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài).
圖4 第1-4條能帶的陳數(shù)
3 拓?fù)湎嗯c拓?fù)湎嘧?/h2>
陳數(shù)作為一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?，不?huì)隨著參數(shù)的連續(xù)微小變化而發(fā)生改變.因此，連續(xù)的變化實(shí)驗(yàn)體系的其他參數(shù)，應(yīng)當(dāng)不改變體系的拓?fù)浞瞧接剐?然而，當(dāng)參數(shù)變化到引起體系的能隙閉合時(shí)，絕熱定理失效[10]，陳數(shù)不再是良定義的拓?fù)洳蛔兞?，此時(shí)繼續(xù)變化參數(shù)讓能隙重新打開(kāi)后，體系的拓?fù)洳蛔兞烤陀锌赡馨l(fā)生變化，由此導(dǎo)致拓?fù)湫再|(zhì)的變化.這樣的變化過(guò)程稱為拓?fù)湎嘧儯芟堕]合的參數(shù)點(diǎn)稱為拓?fù)湎嘧凕c(diǎn).
選取小球質(zhì)量mb為體系的可變參量，來(lái)探討體系可能發(fā)生的拓?fù)湎嘧?首先，利用數(shù)值方法求解出不同mb下的能譜，結(jié)果如圖5所示.可以看出mb=0時(shí)能隙閉合，是體系的相變點(diǎn).
mb=0.5 g
在3中已經(jīng)驗(yàn)證了mb=0.127 g的時(shí)候，體系處于拓?fù)浞瞧接鬼?xiàng)，每條能帶的陳數(shù)為-1.因此，利用拓?fù)洳蛔兞康男再|(zhì)，所有正小球質(zhì)量的體系，其每條能帶的陳數(shù)應(yīng)與mb=0.127 g的情況相同.為此本文做了數(shù)值上的驗(yàn)證，結(jié)果見(jiàn)圖6.
圖6 正質(zhì)量區(qū)域第1—4條能帶的陳數(shù)
可以看出數(shù)值的結(jié)果與理論上的預(yù)測(cè)是相吻合的，在實(shí)驗(yàn)的意義上，更換不同的小球質(zhì)量，都應(yīng)當(dāng)能測(cè)量到邊緣態(tài)的存在，本文在4中會(huì)說(shuō)明，這些邊緣態(tài)都有同樣的準(zhǔn)二維輸運(yùn)性質(zhì).
在相變點(diǎn)mb=0，同樣計(jì)算了對(duì)應(yīng)的陳數(shù)，得到的結(jié)果為0，說(shuō)明體系是一個(gè)拓?fù)淦接箲B(tài)，不再有拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài)出現(xiàn)，這與筆者的物理直覺(jué)是吻合的.
在經(jīng)過(guò)相變點(diǎn)之后的負(fù)質(zhì)量區(qū)域，利用同樣的方法計(jì)算陳數(shù)，結(jié)果如圖7所示.
圖7 負(fù)質(zhì)量區(qū)域第1—4條能帶的陳數(shù)
可以看出，在經(jīng)過(guò)相變點(diǎn)到達(dá)負(fù)質(zhì)量區(qū)域之后，體系仍然是一個(gè)拓?fù)浞瞧接鬼?xiàng).也就是說(shuō)，如果可以實(shí)現(xiàn)一種“缺陷”型的弦鏈體系，一樣可以探測(cè)到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài)的存在.基于上述的討論，可以給出體系的相圖.
圖8 弦球鏈體系相圖(以mb為參數(shù))
4 輸運(yùn)性質(zhì)
在本小節(jié)中，將利用準(zhǔn)二維的輸運(yùn)理論來(lái)解釋邊緣態(tài)局域位置隨τ的變動(dòng).
準(zhǔn)二維弦球鏈體系滿足的方程為
(5)
由于cos勢(shì)與δ函數(shù)勢(shì)的同倫等價(jià)性，可以將弦球鏈體系類比二維整數(shù)量子霍爾效應(yīng)體系在緊束縛模型下的一維等效方程[11]：
(6)
在整數(shù)量子霍爾效應(yīng)中，外場(chǎng)對(duì)體系的驅(qū)動(dòng)可以等效為相位ky-2mφ進(jìn)行一個(gè)周期的平移，對(duì)應(yīng)到弦球鏈體系中，即τ變化一個(gè)周期長(zhǎng)度.該過(guò)程對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)可利用Kubo公式[8]進(jìn)行計(jì)算，即
(7)
其中σn為第n條能帶貢獻(xiàn)的電導(dǎo)，因此，當(dāng)體系的能量處在第j級(jí)帶隙中時(shí)，總電導(dǎo)為
(8)
(9)
利用2中陳數(shù)的計(jì)算結(jié)果，nj=j.
準(zhǔn)二維空間的輸運(yùn)體現(xiàn)在一維的實(shí)驗(yàn)體系中，就對(duì)應(yīng)邊緣態(tài)局域位置的變化，因此當(dāng)τ改變一個(gè)周期時(shí)，第j級(jí)的邊緣態(tài)局域位置的來(lái)回次數(shù)ntj=nj=j.這與1中基于求解波函數(shù)方法得到的來(lái)回次數(shù)的結(jié)果是一致的.因此邊緣態(tài)局域位置的變化，可以利用準(zhǔn)二維體系的輸運(yùn)理論來(lái)解釋.
5 總結(jié)與展望
本文將能帶拓?fù)涞睦碚撏卣沟搅讼仪蜴滙w系中，先通過(guò)拓?fù)浞诸惱碚摯_定了一維與準(zhǔn)二維情況下體系對(duì)應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞?，而后?jì)算得到了準(zhǔn)二維體系不同能帶的陳數(shù)，由此論證了邊緣態(tài)的拓?fù)浔Ｗo(hù)性質(zhì).并以小球的質(zhì)量為參數(shù)，討論了體系的拓?fù)湎嘧凕c(diǎn)，用數(shù)值的方法確定了相變點(diǎn)前后的拓?fù)湎?，得到了體系的相圖.值得說(shuō)明的是，雖然負(fù)質(zhì)量區(qū)域是“非物理”的，但這一部分的討論使得本文的結(jié)果在理論上更具完整性.最后通過(guò)準(zhǔn)二維輸運(yùn)理論定量解釋了邊緣態(tài)局域位置的變化，而該現(xiàn)象利用經(jīng)典方法無(wú)法給出直觀且定量的解釋.
同時(shí)，在研究過(guò)程中，仍遇到了一些尚未解決的問(wèn)題，例如，體系的動(dòng)力學(xué)方程對(duì)應(yīng)的是一個(gè)廣義本征值問(wèn)題，無(wú)法從中提取等效的哈密頓量.
能帶拓?fù)淅碚摰年U釋賦予了弦球鏈體系更深刻的物理內(nèi)涵，揭示了看似簡(jiǎn)單的經(jīng)典體系其實(shí)蘊(yùn)含著非平庸的能帶拓?fù)?基于能帶拓?fù)淅碚?，還可以討論更多的體系，例如雜質(zhì)摻雜的弦球鏈體系、非整數(shù)周期的弦球鏈體系，這些都有待進(jìn)一步的研究.
致謝：在本工作的研究過(guò)程中，得到了北京大學(xué)物理學(xué)院荀坤老師、吳宜家學(xué)長(zhǎng)的支持和幫助，在此特致謝意！
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