李 琛，徐麗佳，張小明，毛長榮，謝 芳

(1. 宜春學(xué)院 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,江西 宜春 336000；2. 宜春市第三中學(xué)， 江西 宜春 336000)

(1)

上式中q為廣義坐標(biāo)，t為時(shí)間參量.但是如果更一般地考慮非等時(shí)變分，并用廣義變分符號(hào)Δ代替等時(shí)變分符號(hào)δ，則上述關(guān)系變化為[1]

(2)

因?yàn)樽钚∽饔昧吭硎且粋€(gè)物理要求，而等時(shí)變分是一個(gè)數(shù)學(xué)處理方式，所以可以預(yù)期如果使用非等時(shí)變分應(yīng)該得到同樣的動(dòng)力學(xué)方程.下面我們通過計(jì)算驗(yàn)證這一點(diǎn).

1 非等時(shí)變分與微分關(guān)系

對(duì)一般函數(shù)q(p,t),當(dāng)取等時(shí)變分時(shí)，即δt=0，有

(3)

當(dāng)取非等時(shí)變分時(shí)，即δt≠0，對(duì)函數(shù)q(p,t)變分得到

(4)

式(4)兩邊分別對(duì)t求微商，得

(5)

(6)

(7)

如果q僅是時(shí)間t的函數(shù)，化簡(jiǎn)上式即得到式(2)的結(jié)果.

2 基于非等時(shí)變分的拉格朗日方程

由非等時(shí)變分下的最小作用量原理得到

(8)

將上式展開表示為

ΔS等時(shí)+ΔS非等時(shí)

(9)

上式計(jì)算中使用了非等時(shí)變分的式(2)中的關(guān)系，其倒數(shù)第二行中前兩項(xiàng)為等時(shí)變分部分，且有如下關(guān)系式：

Δq=δq, Δt=δt, dΔq=dδq

即

(10)

對(duì)式(9)中的非等時(shí)積分項(xiàng)做分部積分，并利用端點(diǎn)約束條件有

(11)

根據(jù)最小作用量原理ΔS=0，以及變分δq和δt的獨(dú)立任意性，可以推斷出式(10)和式(11)中的積分項(xiàng)分別為零，即通過等時(shí)變分項(xiàng)和非等時(shí)變分項(xiàng)一致性地得到了通常的拉格朗日方程.

3 非等時(shí)變分的物理含義

在等時(shí)變分中，其物理含義為固定分割的時(shí)間間隔，然后任意變動(dòng)每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的位移，再根據(jù)最小作用量原理確定粒子的真實(shí)軌道；而對(duì)于非等時(shí)變分，在ΔS非等時(shí)中，可以視為劃定粒子運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)間隔不變，即δq=0，而試探變動(dòng)每段位移使用的時(shí)間，同樣基于最小作用量原理得到粒子運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌跡.從結(jié)果看，兩種數(shù)學(xué)處理方式對(duì)應(yīng)著同樣的物理本質(zhì)(最小作用量原理)，從而得到同樣的動(dòng)力學(xué)方程.