孔令昊，李嘉琪，曾天佑，曾育鋒,2

(1. 華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006；2. 華南師范大學 物理國家級實驗教學示范中心，廣東 廣州 510006)

超聲相控陣技術(shù)在聲懸浮中有重要的應用價值，2018年鄧雙[1]實現(xiàn)了二維平面內(nèi)的聲場移動控制及多微構(gòu)件的自動化聲操作，2019年李文斌[2]運用相控聚焦原理實現(xiàn)了單凹球殼裝置內(nèi)的聲場構(gòu)建及顆粒穩(wěn)定懸浮，2019年王英偉[3]提出了凹球面陣列聚焦的計算方法并實現(xiàn)了雙凹球面裝置內(nèi)聲場及顆粒的軸線運動. 2013年Takayuki Hoshi等人[4]利用相對的平面陣列,通過相控陣聚焦技術(shù)進行三維聲學操縱. 2020年Spyros Polychronopoulos[5]等人利用了相對的平面陣列實現(xiàn)了空間中多個顆粒懸浮. 然而，眾多實現(xiàn)聲場三維移動的聲懸裝置均采用平面陣列，而凹球面的駐波聲場特性均優(yōu)于平面[3]，目前對于雙凹球面陣列的研究又局限于軸線移動. 故本實驗吸收兩者優(yōu)點，首創(chuàng)在雙凹球面陣列上通過相控聚焦算法實現(xiàn)聲場三維移動，并使用COMSOL Multiphysics多物理場仿真軟件進行聲場的數(shù)值模擬.

為了進一步檢驗相控聚焦理論在聲場三維移動應用中的正確性，使用紋影法觀測聲場. 紋影法最早被實驗物理學家羅伯特?胡克使用一個透鏡和濾光器(觀察者眼睛虹膜)來觀察蠟燭煙霧中的熱氣流. 隨后，人們對紋影系統(tǒng)中的光路、濾光器、觀察設(shè)備、透鏡等參數(shù)進行了不斷改進，逐漸發(fā)展成Z型、直線型和反射式等不同特點的紋影系統(tǒng)，根據(jù)研究需要被應用于各種領(lǐng)域，其中在流體特性觀察與測量以及晶體結(jié)晶時周圍濃度的觀測等領(lǐng)域被廣泛應用[6,7].

DirkM?ller等人[8]在2013年提出了紋影可視化在研究超聲粒子操縱裝置方面存在巨大潛力,胡斌等人[9]在2018年利用紋影系統(tǒng)觀察聲光介質(zhì)內(nèi)部的超聲波圖像,并測量了超聲波在晶體內(nèi)的傳播速度，紋影法在超聲波場中一般用來進行聲場測量、聲場特性觀察以及聲場校準等. 由于紋影法得到的聲場圖是三維聲壓強度的積分，在聲場呈現(xiàn)的精度方面會有限制，但與一般的流體測量系統(tǒng)相比，因為它利用的是光學原理，可以實現(xiàn)快速成像，且不會對已存在的聲場造成創(chuàng)傷，與此同時，其配合相機還可實現(xiàn)聲場的瞬態(tài)成像或動態(tài)影像拍攝，故紋影法是復雜聲場分析的一個簡便有效的工具.

1 裝置設(shè)計及相控聚焦駐波懸浮理論

1.1 凹球面雙發(fā)射極聲懸浮裝置

該裝置由雙凹球殼支架(如圖1所示)，以及用于超聲發(fā)射的72個超聲換能器(上下各36個)組成.

圖1 雙凹球殼支架

雙凹球殼支架上下兩球面為同一球體的一部分(非半圓)，為了使聲場可三維移動的范圍更廣，本文設(shè)計的球體半徑為109.12 mm，球殼內(nèi)徑為218.24 mm，球殼外徑為227.79 mm，上下球殼邊緣相距180.07 mm.上下球殼分別設(shè)計了36個圓形凹槽(包括引腳孔)，用以放置超聲換能器，超聲換能器型號為TCT40-16T,外徑為16.0 mm.球殼分為三層，從球殼頂點往下，以每層6、12、18個換能器槽孔依次遞增. 中間與底部都設(shè)計了支撐柱，用以保持支架的穩(wěn)定.

1.2 相控聚焦原理

相控聚焦的基本原理為：通過控制每個陣元聲源信號與基準聲源信號的相對時延t，進而控制每個陣元聲源信號的初相位，使得陣列中各陣元聲源發(fā)出的超聲波的傳播在聚焦點區(qū)域處于同一相位，實現(xiàn)聲壓的疊加,聲波在聚焦點附近形成類似駐波的聲場. 相對時延t的計算方法如下.

圖2 相控聚焦原理圖

如圖2所示，選取凹球殼上某一個超聲波換能器A的信號作為基準信號，該超聲波換能器的幾何中心的坐標為A(x0，y0，z0)，其到聚焦點Q(x2，y2，z2)的距離為L0，凹球殼上某一超聲波換能器B的幾何中心的坐標為B(x1，y1，z1),其到聚焦點Q(x2，y2，z2)的距離為L1，有

(1)

(2)

當裝置所處空間的聲速為v時，超聲波換能器B的信號要相對于A的信號提前或延遲時間t，t<0則B的信號要相對A的信號延遲，t>0則B的信號要相對A的信號提前，其中

(3)

當超聲波的頻率為f時，超聲波的單個周期時間為T，由于t可能會超過超聲波的單個周期時間T，同時因為B相對A的信號提前t與延遲T-t的效果是一樣的，為方便數(shù)據(jù)存儲和信號控制，修正t使其始終在一個周期T之內(nèi)，即使0

(4)

綜上，有

(5)

其中n取合適的自然數(shù)使得|t|<1/f，通過控制每個換能器的時間t，就能使得換能器的超聲波信號到達所設(shè)聚焦點時處于同一相位，進而實現(xiàn)聚焦點附近聲場疊加，即相控聚焦.

圖3 相控聚焦算法示意圖

1.3 超聲駐波懸浮理論

超聲懸浮技術(shù)基本原理為:超聲波傳播過程中產(chǎn)生的聲輻射力可以抗衡懸浮物體重力，使物體懸浮.在本文中，微粒懸浮的主要原理為超聲駐波懸浮機理.超聲駐波聲場為兩列振幅相同、頻率相同、沿反方向傳播的超聲波相互疊加形成的具有一定空間能量分布的聲場，由波腹和波節(jié)構(gòu)成，總的波呈現(xiàn)駐留狀態(tài)，故稱為駐波.

假設(shè)在駐波聲場中初始入射波和反射波的波動方程為余弦變化:

(6)

(7)

則疊加產(chǎn)生的駐波聲場的波動方程為

(8)

式中，z1′為入射波中質(zhì)點的振動位移，z2′為反射波中質(zhì)點的振動位移，A0為超聲波振動振幅，z為質(zhì)點與入射面的距離，ω=2πf為超聲波振動角頻率(f為振動頻率)，k=ω/c0為波數(shù)(c0為聲速).

駐波波腹(波峰)是對應聲壓的最大幅值，波節(jié)(波谷)對應聲壓的最小幅值(如圖4所示).

圖4 駐波圖

超聲駐波場中超聲波的疊加會引起介質(zhì)的疏密程度發(fā)生變化，產(chǎn)生聲壓.懸浮微粒一般懸浮于兩波腹之間，即波節(jié)處.這是因為在波節(jié)處聲壓為0，當懸浮微粒受到重力的作用時，會相對于波節(jié)位置有微小的偏移，發(fā)生偏移時，由于波腹中聲壓的作用，懸浮微粒將會受到一個指向聲壓節(jié)點的回復力，使微?；氐皆瓉淼钠胶馕恢?若懸浮微粒質(zhì)量較大時，懸浮位置將會在波節(jié)處往下偏移一段微小距離，故懸浮微粒的懸浮位置取決于駐波波節(jié)位置.

2 聲學理論

2.1 聲壓

聲波是一種由物體振動產(chǎn)生的在介質(zhì)中傳播的疏密波，聲波的傳播實際上是介質(zhì)中稠密和稀疏相互交替的過程，這樣的變化過程一般可以用壓強、密度、溫度以及質(zhì)點速度等變化量來描述.在流體介質(zhì)中，聲波的傳播會引起流體壓強的變化，就任一個體積元來講，若體積元受到聲擾動后壓強由p0變?yōu)閜1，則由聲擾動產(chǎn)生的逾量壓強為

p=p1-p0

(9)

稱為聲壓[10]，即聲場中實際壓強與環(huán)境背景壓強的差值.

小幅度振動的介質(zhì)所帶動的微粒微小振動可近似看作簡諧運動，聲壓的時間平均結(jié)果為0，無法使微粒起到“懸浮”作用[11].當超聲波在流體介質(zhì)中傳播時，由于流體介質(zhì)的非線性效應，使得聲壓的時間平均體現(xiàn)為對介質(zhì)中的微粒產(chǎn)生持續(xù)的壓力，使微粒“懸浮”.

2.2 聲波波動方程

建立波動方程可以更好地描述聲擾動過程中聲壓p、質(zhì)點速度v以及介質(zhì)密度ρ等物理量之間的聯(lián)系.為了簡化運算，對空氣介質(zhì)進行近似，認為其是理想流體(沒有黏性，絕熱).一維的波動方程中包含運動方程、連續(xù)性方程與物態(tài)方程[10].運動方程描述p與v之間的關(guān)系為

(10)

連續(xù)性方程描述v與ρ之間的關(guān)系為

(11)

物態(tài)方程描述p與ρ之間的關(guān)系為

(12)

在這些方程中各聲學量之間的關(guān)系是非線性的，為了得到用單一參量表示的聲波方程，假設(shè)聲波振幅較小，聲波各參量以及其平方項以上的微量都可以在忽略的前提下對以上3個方程進行化簡.

(13)

其中c0表示平衡態(tài)的波速.將式(5)擴展到三維的情況，得到三維的聲波波動方程為

(14)

2.3 聲輻射力

聲波入射到障礙物上產(chǎn)生一個與傳播方向相同的平均壓力稱為聲輻射力，這是描述聲波在流體介質(zhì)中傳播規(guī)律時的一種二階效應，是被忽略的聲波的二階小量.在聲場中，物體表面的聲輻射壓力為

(15)

式中，p為聲壓,ρ0為懸浮介質(zhì)密度,c0為聲波在懸浮介質(zhì)中的傳播速率,v為聲波傳播時介質(zhì)粒子的運動速率,<·>表示時間平均值.可以看出，聲輻射壓力與懸浮介質(zhì)密度成正相關(guān)關(guān)系.

而科學家Gor’kov[12]從能量的角度著手，用聲場平均勢研究了懸浮介質(zhì)與聲場的相互作用. 在該理論中將懸浮微?？醋饕粋€小球面體，得出懸浮小球在任意聲場中的勢能為

U=K1(|p|2)-K2(|px|2+|py|2+|pz|2)

(16)

(17)

(18)

其中V表示懸浮小球的體積，ω表示超聲發(fā)射頻率，ρ0表示介質(zhì)密度，ρp表示微粒密度，c0表示空氣中的超聲波速，cp表示微粒中的聲速.聲輻射力在Gor’kov聲場平均勢能中表示為

F=-U

(19)

在z軸上，可表示為

(20)

3 COMSOL 聲場仿真

相控聚焦超聲波場的分布，具有肉眼很難直接觀察的限制，為了更好的了解其聲場的特性，引入COMSOL軟件進行有限元分析，運用數(shù)值模擬的方式，獲得相控聚焦聲場的理論分布[13].

3.1 COMSOL理論模型[2]

本模型采用COMSOL中的壓力聲學模塊的頻域接口進行建模，求解聲場的亥姆霍茲方程并進行數(shù)值計算. 超聲換能器的單極域源Qn可以表示為

Qn=

(21)

式中pt為總聲壓場，ρc為空氣密度，ω=2πf為聲波的角頻率，c為聲速，qd為偶極域源，但由于本模型中未設(shè)置偶極域源，因此此項為0.每個單極域源可以用三維狄拉克δ函數(shù)表示：

Qn(z)=ωanδ(z-zn)

(22)

式中zn是超聲波換能器n的所在位置，z是空間中某一點的坐標，an表示單極域源流出的強度.把G設(shè)為亥姆霍茲方程的格林函數(shù)，及以下方程的解：

(2+k2)G(x)=-δ(z)

(23)

k為由ω/c決定的波數(shù)，于是可獲得方程的球面波的解為

(24)

凹球面雙發(fā)射極超聲陣列為多陣列結(jié)構(gòu)，其任意點源r的聲壓p為

(25)

其中Pn為超聲傳感器輸出功率，LN是每個延遲線的損耗因子，Df是遠場方向性函數(shù)，dn是在自由空間中的傳播距離，φn+kΔn表示在任意點源r處非線性超聲波的相位，Δn是超聲波傳感器與聚焦點處的傳播距離，φn是發(fā)射器相位，k是波數(shù).式(25)的解由ρG和∑Qn的卷積得出

(26)

3.2 COMSOL幾何模型建立

本研究的聲壓分布具有面對稱性，因此，為了簡化模型，降低計算量，提高計算速度和降低計算所需的內(nèi)存要求，對實物模型進行降維處理，進行二維聲場的數(shù)值模擬.

圖5為根據(jù)本實驗的實物裝置所建立的二維模型，其中模型主體為兩個半徑為109.12 mm的凹球殼，各個獨立的超聲波換能器呈對稱分布. 經(jīng)過拆解本實驗采用的TCT40-16T超聲換能器，發(fā)現(xiàn)該超聲換能器所用的振子表面并不是平的，而是中心比四周偏低的凹形，因此為了簡便建立幾何模型和符合超聲波換能器振子表面的形狀特點，設(shè)置換能器陣元形狀貼合凹球形底座.

圖5 COMSOL模型設(shè)置圖

3.3 COMSOL邊界條件設(shè)置

在COMSOL軟件中，可以采用平面波輻射邊界條件模擬無限邊界或被完全吸收的情況，本模型四周為無限廣闊的空間，由于超聲波具有衰減快、易被吸收的特點，并且本裝置超聲波功率較小，裝置空間較大，換能器緊密排列后形成多縫隙的空間，因此超聲波反射的影響可忽略不計，所以本模型將所有邊界都設(shè)置為平面波輻射邊界條件，模擬無限邊界或超聲波在邊界處被完全吸收.

圖6 COMSOL邊界條件設(shè)置圖

3.4 COMSOL有限元分析

為模擬聚焦聲場的聲場分布，采用COMSOL中基于振動有限元(FEM)的接口進行有限元分析. 如圖7所示，為了得到較為精確的聲場分布和運算速度，網(wǎng)格尺寸定為波長λ的1/6.

圖7 COMSOL網(wǎng)格設(shè)置圖

3.5 COMSOL超聲波陣元信號設(shè)置

如圖5所示,上凹球殼中從左到右分別是陣元1到陣元6，下凹球殼中從左到右分別是陣元7到陣元12. 設(shè)坐標原點為球殼中心，球殼半徑為109.12 mm，則各陣元坐標見表1.

表1 COMSOL仿真陣元坐標設(shè)置

根據(jù)實驗裝置所處的環(huán)境設(shè)置聲速參數(shù)為343 m/s.以陣元1信號作為基準信號，基于各陣元相對時延t的計算，在COMSOL仿真過程中超聲波陣元信號設(shè)置需要用到各陣元的相對相位Δφ，當超聲波頻率為f時，各陣元相對時延t與相對相位Δφ有如下?lián)Q算關(guān)系：

(27)

其中T=1/f，本文中f=40 kHz，故可計算得到各陣元的相對時延和相對相位如表2所示.

表2 各陣元的相對相位和相對時延

4 紋影法觀察超聲波聲場

紋影系統(tǒng)用到的光學器件一般是透鏡或反射鏡.對于本文所要研究的聲場，其區(qū)域較大，若使用透鏡紋影系統(tǒng)，需要使得透鏡表面r/2直徑范圍內(nèi)有高靈敏度的工作，這對于透鏡的要求較高，且紋影對象比較微弱，難以用肉眼直接進行觀察，因此透鏡上面的瑕疵以及像差很可能會遮蓋住紋影對象，對紋影結(jié)果造成影響[14]. 故本研究中采用使用反射鏡的單反射式紋影裝置對相控聚焦超聲波場進行觀察，相對于Z型光路，單反射紋影裝置結(jié)構(gòu)簡單，實驗可重復性強，雖然會因為發(fā)射光線和反射光線的不重合，導致一定程度的圖像失真，但其光線經(jīng)過二次折射，靈敏度可以達到Z型反射紋影光路的兩倍[15].

最后將紋影結(jié)果與COMSOL數(shù)值仿真結(jié)果進行對比，結(jié)果得出可視化相控聚焦聲場與模擬聲場之間有很好的一致性，證實了相控聚焦原理設(shè)計方式的合理性與其價值.

4.1 單反射式紋影法

紋影裝置細節(jié)如圖8所示，該裝置由一個焦距為750 mm的凹球面反射鏡、LED光源、小孔遮光片以及用于采集圖像的手機攝像頭組成(手機型號為HUAWEI mate10 pro). 當LED光源經(jīng)過帶小孔的遮光片時，可以將其認為點光源,點光源發(fā)出的光經(jīng)過相控聚焦聲場后，聲場的聲壓分布會對周圍空氣介質(zhì)密度產(chǎn)生影響，從而改變空氣折射率，即

n-1=kρ

(27)

其中n為介質(zhì)折射率，ρ為介質(zhì)密度，兩個物理量通過Gladstone-Dale系數(shù)聯(lián)系起來[16].

圖8 單反射式紋影實驗圖

光線經(jīng)過超聲波場后經(jīng)反射鏡反射將再次經(jīng)過聲場，其中未被折射過的光線會在反射鏡的兩倍焦距處聚集，而經(jīng)過折射的光線將會偏離聚焦點，調(diào)整手機攝像頭的位置,使光線聚焦點在鏡頭內(nèi)同時盡可能靠近鏡頭邊緣. 由于手機攝像頭的尺寸限制，其邊緣部分可以對偏折光線起到過濾作用，最后采集到聚焦點附近的圖像，得到聲場的紋影圖. 此外，調(diào)整手機攝像頭與點光源的位置使點光源與光線聚焦點盡可能地靠近，這樣可以大大減小因發(fā)射光線和反射光線的不重合所產(chǎn)生的圖像失真. 同時因為手機攝像頭尺寸小，所以手機攝像頭與點光源之間的距離可以比大尺寸攝像機與點光源之間的距離更近，因而使用手機攝像頭或者小尺寸攝像機在圖8所示的紋影法中得到的圖像會比使用大尺寸攝像機得到的圖像失真更小.

4.2 紋影法結(jié)果

將實驗所得到的相控聚焦超聲波場紋影圖像與COMSOL仿真結(jié)果進行比較. 聚焦點COMSOL仿真各換能器坐標和相位延遲信息由表1和表2給出.

從圖9可以看出，紋影圖像與COMSOL仿真圖中聚焦點的位置基本一致，由于攝像機設(shè)備在拍攝時會有一定的延時效果，所以拍攝后得到的紋影圖像是時間平均后的結(jié)果，聲場的某些細節(jié)經(jīng)時間平均后被減弱.

考慮到時間平均對于紋影圖像的影響，在實驗中將LED光源換成與超聲波頻率相同的頻閃光源(40 kHz)，即光源每次亮燈時對應的聲場信息是相同的，故攝像機時間平均后得到的圖像為相同的聲場信息的疊加，解決了聲場細節(jié)被減弱的問題，如圖10所示.

光源經(jīng)過改進以后，聲場的基本信息可以很好地被紋影法重現(xiàn). 從定性的角度看，超聲波聚焦點位置與理論計算位置基本一致. 通過攝像頭的實時拍攝，可以看出當聚焦點位置改變時，微粒位置會隨著聚焦點變化而變化，實現(xiàn)對微粒的操控.

5 結(jié)束語

本文基于先前研究中平面陣列相控聚焦超聲波場的缺點，將相控聚焦算法應用于雙凹球殼陣列. 經(jīng)測試，該裝置產(chǎn)生的聲場可以穩(wěn)定懸浮微粒且實現(xiàn)懸浮微粒的全三維移動.

然后，基于各超聲波陣元信號的相對時延、聲壓、聲輻射力等理論基礎(chǔ)，借助COMSOL Multiphysics多物理場仿真軟件進行仿真模擬，發(fā)現(xiàn)在相控聚焦點附近可形成類似駐波的聲場，并且可以通過改變各陣元間的信號時延實現(xiàn)聚焦點的移動，同時聚焦點附近波節(jié)處還可以穩(wěn)定懸浮多個聚乙烯微粒，通過聲場移動可帶動其進行三維移動.

接著用單反射式紋影法實時觀測雙凹球殼陣列在不同聚焦點時產(chǎn)生的聲場，并與COMSOL Multiphysics軟件中的仿真結(jié)果進行比對，發(fā)現(xiàn)兩者基本吻合，以此驗證了相控聚焦原理在控制聲場三維移動的理論的正確性.