陳樂川 劉文文 何江

摘 要：本文以滬深300ETF為研究對象，利用滬深300ETF的日收盤價和滬深300ETF期權(quán)合約數(shù)據(jù)，檢驗滬深300ETF的對數(shù)日收盤價的正態(tài)性。根據(jù)B-S模型進行定價。由于B-S模型中波動率為常數(shù)，與現(xiàn)實市場觀測到的“波動率微笑”曲線不符，故引入heston模型進行定價。對于heston模型中需要確定的5個參數(shù)，采用模擬退火算法進行估算，比較B-S模型及heston模型對于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價效果。從而對B-S模型的假設(shè)和局限性進行分析，最終得到結(jié)論：滬深300ETF對數(shù)收盤價不服從正態(tài)分布，B-S模型中第2個假設(shè)條件——股票對數(shù)價格符合正態(tài)分布不成立。B-S模型能較好地對滬深300ETF期權(quán)進行定價，heston模型定價效果優(yōu)于B-S模型，兩個模型對看漲期權(quán)的定價效果均優(yōu)于看跌期權(quán)的定價效果，B-S模型中第6個假設(shè)條件——股票收益波動率σ為常數(shù)并已知不成立。

關(guān)鍵詞：B-S模型；heston模型；模擬退火算法

一、引言

近年來我國金融市場發(fā)展迅速，大力推動了金融衍生品的產(chǎn)生和發(fā)展。在金融活動中，金融衍生工具也逐漸體現(xiàn)其重大價值。在金融衍生品中，期權(quán)具有獨特的功能和用途。而研究期權(quán)定價，無論出于套期保值或者投機套利等目的都具有現(xiàn)實意義。由于我國金融發(fā)展起步較晚，市場尚未成熟，具體表現(xiàn)為市場中投機氛圍較重，股市橫盤震蕩趨勢明顯，股票漲跌的不確定性較高，導(dǎo)致金融資產(chǎn)價格波動較大，投資者面臨的風險較大，可能會造成損失。此時，利用期權(quán)構(gòu)建投資組合，對沖風險，穩(wěn)定收益，則十分重要。因此本文研究期權(quán)定價問題，具有現(xiàn)實參考價值。

期權(quán)定價一直是金融界的研究熱點，許多學(xué)者對其進行了深入研究。宋海明和侯頔基于Black-Schole模型， 設(shè)計一種針對該模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并給出美式期權(quán)價格的數(shù)值近似，通過對比二叉樹方法，證明該算法的有效性。于長福和陳婷婷使用上證50ETF的歷史波動率作為其期望波動率，并使用B-S模型對上證50ETF期權(quán)進行定價。方艷、張元璽和喬明哲沒有直接使用歷史波動率，而是使用IGARCH模型和GARCH模型分別預(yù)測上證50ETF的波動率，將其作為期望波動率，并用蒙特卡羅法和B-S模型分別對上證50EFT期權(quán)定價。通過對比后發(fā)現(xiàn)，IGARCH模型對上證50ETF波動率的預(yù)測效果優(yōu)于GARCH模型；當模擬次數(shù)大于1000時，蒙特卡羅法對上證50ETF期權(quán)定價效果略優(yōu)于B-S模型。然而無論是用歷史波動率還是預(yù)測波動率來作為期望波動率，都是將期望波動率視為常數(shù)?；谶@種局限性，鄧國和將波動率視為時變函數(shù)，使用heston模型進行期權(quán)定價，通過變換和求解特征函數(shù)，得出heston模型的期權(quán)定價公式。由于heston模型需要確定的參數(shù)較多，且無法直接求解，王林、張蕾和劉連峰采用模擬退火算法來估算heston模型中需要確定的5個參數(shù)，解決了heston模型參數(shù)求解困難的問題。姚艾嘉等基于VG過程刻畫上證 50ETF 期權(quán)標的資產(chǎn)對數(shù)價格變化情況，對美國股市熔斷前后各9支期權(quán)數(shù)據(jù)采用快速分數(shù)階Fourier變換進行期權(quán)定價研究，實證表明：VG過程依然擬合較好，用快速分數(shù)階Fourier變換數(shù)值方法具有一定優(yōu)勢。而劉瑩和鄭玉衡使用粒子群（PSO）智能算法估計了heston的6個參數(shù)進行期權(quán)定價研究，結(jié)果表明結(jié)合粒子群智能算法估計的heston模型參數(shù)進行期權(quán)定價效果較好。

本文以滬深300ETF為研究對象，利用滬深300ETF的日收盤價和滬深300ETF期權(quán)合約數(shù)據(jù)，檢驗滬深300ETF的對數(shù)日收盤價的正態(tài)性。根據(jù)B-S模型和heston模型進行定價，對于heston模型中需要確定的5個參數(shù)，采用模擬退火算法進行估算，比較兩個模型對于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價效果。從而論證B-S模型的假設(shè)在實際市場中不成立，B-S模型具有局限性。

二、理論框架

1B-S模型

若連續(xù)隨機過程{B（t），t≥0}滿足以下性質(zhì)：

①B（0）=0；

②對s∈［0，t），增量B（t）-B（s）～N（0，t-s）；

③對于不重復(fù)的區(qū)間［si，ti］，隨機變量B（ti）-B（si）之間是相互獨立的，則B（t）是一個標準布朗運動。

令ti∈0，T，i=0，1，…，N，并使間隔滿足Π={0=t0<t1<t2<…<tN=T}，則對于f（t），有∑N-1i=0［fti+1-f（ti）］2。

對于一個連續(xù)且在0到T內(nèi)處處可微的函數(shù)f（t），根據(jù)微分中值定理得到如下不等式

∑N-1i=0fti+1-fti2≤∑N-1i=0ti+1-ti2f′si2≤maxs∈［0，T］f′s2∑ti+1-ti2≤maxs∈0，Tf′s2maxiti+1-ti2T（1）

將連續(xù)可微函數(shù)f（t）替換為布朗運動B（t），可以看到隨著對時間區(qū)間［0，T］的細分，maxiti+1-ti2趨近于0，布朗運動B（t）的二次變分為T，即

lim|Π|→0∑iBti+1-Bti2=T（2）

其中

Π=maxiti+1-ti2（3）

二次變分用無窮小量形式可以表示為（dB）2=dt。

給標準布朗運動加上一個僅和時間t有關(guān)的漂移項μt以及一個尺度參考σ，得到帶漂移項的布朗運動，記作X（t）=μt+σB（t）。其滿足X（t）～Nμt，σ2t，t≥0。若時間t為無窮小量，則上式可改寫為

dX（t）=μdt+σdB（t）（4）

用X（t）表示股票的收益率，則令S（t）為股票價格，dS（t）為股票價格在微小間隔的變化量St+Δt-S（t），所以

dX（t）=dS（t）S（t）=μdt+σdB（t）（5）

因此，S（t）的隨機微分方程為

dS（t）=μS（t）dt+σS（t）dB（t）（6）

上式表示股價S（t）滿足幾何布朗運動。令f（Bt）為布朗運動Bt的連續(xù)平滑函數(shù)，根據(jù)泰勒公式，有

fx+Δx=f（x）=f′（x）Δx+f″（x）2?。é）2+f（x）3！（Δx）3+…（7）

將x=Bt代入上式，得到

Δf（Bt）=fBt+ΔBt-f（Bt）=f′（Bt）ΔBt+f″（Bt）2！ΔBt2+f（Bt）3?。ét）3+…（8）

因為（dB）2=dt，利用無窮小量形式忽略等式右邊第三項開始之后的所有項，得到伊藤引理最基本形式

df（Bt）=f′（Bt）dBt+f″（Bt）2！dt（9）

由全微分公式可以得到

df=ftdt+fxdx（10）

把x=Bt代入上式，得到伊藤微積分

df=ftdt+fxdBt+122fx2（dBt）2

=ft+122fx2dt+fxdBt（11）

對于帶有漂移項的布朗運動dX（t）=μdt+σdB（t），令a（X（t），t）和b（X（t），t）表示漂移和擴散系數(shù)，即aX（t），t=μ，bX（t），t=σ，則稱如下隨機微分方程（SDE）為伊藤漂移擴散過程。

令連續(xù)函數(shù)f（X（t），t）滿足X（t）二階可導(dǎo)，t一階可導(dǎo)，得到

df=ftdt+fxdx+122fx2（dx）2（12）

將dX（t）=aX（t），tdt+bX（t），tdB（t）代入上式，得伊藤引理一般形式

df=ft+fxa+122fx2b2dt+fxbdB（t）（13）

對于股票價格S，滿足dS（t）=μS（t）dt+σS（t）dB（t），此時布朗運動的漂移系數(shù)a=μS，擴散系數(shù)b=σS。令f=lnS，則伊藤引理一般形式為

df=d（lnS）=ft+fSa+122fS2b2dt+fSbdB（t）=μ-σ22dt+σdB（14）

將等式兩邊同時取積分，得到

∫T0d（lnS（t））=∫T0μ-σ22dt+∫T0σdB（t）（15）

lnS（T）S（0）=μ-σ22T+σB（T）（16）

S（T）=S（0）eμ-σ22T+σB（T）（17）

由于s∈［0，t），增量B（t）-B（s）～N（0，t-s）。當s=0時，Bs=0，有B（t）～N（0，t），B（t） t～N（0，1）。所以上式可以變?yōu)?/p>

S（T）=S（0）eμ-σ22T+σ Tε（18）

其中，S（0）表示初始時刻股票價格；μ為股票期望收益率；σ為股票期望收益率波動率；T表示經(jīng)歷的時間；ε服從標準正態(tài)分布，S（T）表示T時刻股票價格。

根據(jù)下列假設(shè)條件：

①期權(quán)合約是歐式期權(quán)；

②股票對數(shù)價格符合正態(tài)分布；

③允許做空證券，且證券可以被分割；

④市場無摩擦，不存在交易費用和稅收；

⑤標的股票不支付股息；

⑥股票收益波動率σ為常數(shù)并已知；

⑦市場不存在無風險套利機會；

⑧股票交易連續(xù)；

⑨短期無風險利率r為常數(shù)并已知。

令CS，t表示由標的股票價格S和距離期權(quán)到期日的時間t所確定的歐式看漲期權(quán)的價格，簡記為C。根據(jù)下式

df=ft+fSa+122fS2b2dt+

fSbdB（t）（19）

將f替換為C，由a=μS和b=σS得到

dC=CSμS+Ct+122CS2σ2S2dt+

CSσSdB（20）

將S，C，B，t離散化，即dC=ΔC，dB=ΔB，dS=ΔS，dt=Δt，得到

ΔC=CSμS+Ct+122CS2σ2S2Δt+

CSσSΔB（21）

ΔS=μS（t）Δt+σSΔB（22）

不難看出，ΔC和ΔS的表達式都含有布朗運動ΔB，所以同時做空1份期權(quán)，做多CS份股票，可以將ΔB完美對沖，用P表示該投資組合的價值，則在時間Δt內(nèi)的變化為

ΔP=CSΔS-ΔC=

（-Ct-122CS2σ2S2）Δt（23）

因為該投資組合消除了全部風險，所以組合在Δt內(nèi)收益為無風利率r，即ΔP=rpΔt。將ΔP和P=CSS-C代入上式可以得到：

Ct+rSCS+122CS2σ2S2=rC（24）

解偏微分方程得到B-S期權(quán)定價公式：

C=S（0）Nd1-Ke-rTN（d2）（25）

d1=lnS（0）K+r+σ22Tσ T（26）

d2=lnS（0）K+r-σ22Tσ T=

d1-σ T（27）

其中，C表示看漲期權(quán)的理論價格；S（0）表示標的資產(chǎn)當期價格；K表示看漲期權(quán)的行權(quán)價格；σ表示標的資產(chǎn)的年收益率波動率；T表示當前時間距離期權(quán)到期日的天數(shù)（按年計算）；r表示無風險利率；N表示標準正態(tài)分布累積密度函數(shù)。同理可以得到看跌期權(quán)的理論價格P

P=Ke-rTN-d2-S（0）N-d1（28）

2heston模型

由于上文中B-S模型的第6個假設(shè)條件：在期權(quán)期限內(nèi)，標的股票年收益率的標準差σ為常數(shù)并已知，明顯與現(xiàn)實市場觀測到的“波動率微笑”曲線嚴重不符。且B-S模型的第5個假設(shè)條件：在期權(quán)期限內(nèi)，標的股票不支付股息，也常常與現(xiàn)實市場不符，所以基于B-S模型進行改進。

假設(shè)t時刻的股票價格St和波動率vt服從幾何布朗運動：

dSt=（r-q）Stdt+ vtStdW1t（29）

dvt=κ（θ-vt）dt+δ vtdW2t（30）

其中，q表示股票連續(xù)支付的紅利率；v是一個不可觀測的狀態(tài)變量，滿足均值回復(fù)平方根CIR過程；參數(shù)κ，θ，δ為非負常數(shù)。求解得出heston定價公式：

Cet，T，St，vt，K=Ste-q（T-t）P1-

Ke-rT-tP2（31）

Pj=12+1/π∫+SymboleB@

0Re［e-ilnKfj（x，v，τ;）i］d， j=1，2

（32）

fj（x，v，τ;）=exp［A（τ;）+B（τ;）v+ix］， ? j=1， 2（33）

x=lnS（34）

A（τ;）=irτ+aδ2［（bj-ρδi+hj）τ-

2ln （1-gjehjτ1-gj）］（35）

Bτ;=bj-ρδi+hjδ2（1-ehjτ1-gjehjτ）］（36）

gj=bj-ρδi+hjbj-ρδi-hj（37）

hj= （ρδi-bj）2-δ2（2uji-2）（38）

其中，u1=1/2；u2=-1/2；a=κθ；b1=κ-ρδ；b2=κ；j=1，2；Re表示被積函數(shù)的實數(shù)部分，i為虛數(shù)單位；Cet，T，St，vt，K為歐式看漲期權(quán)的理論價格。根據(jù)平價公式可以得出，歐式看跌期權(quán)的理論價格為

Pet，T，St，vt，K=Cet，T，St，vt，K+

Ke-rT-t-Ste-q（T-t）（39）

由于本文研究的是滬深300ETF期權(quán)，沒有紅利，所以令q=0，即認為B-S模型中第5個假設(shè)成立。重點論證B-S模型中第2個假設(shè)條件和第6個假設(shè)條件是否在市場中成立。

三、實證分析

1數(shù)據(jù)來源及處理

本文選取滬深300ETF和華泰柏瑞滬深300ETF期權(quán)進行研究。時間上，本文選取從2020年1月1日到2020年12月31日的交易日數(shù)據(jù)，共有243個交易日。選擇該區(qū)間的原因是在這段時間里，由于新冠肺炎疫情的影響，從2020年上半年的悲觀消極到下半年的復(fù)工復(fù)產(chǎn)，滬深300ETF經(jīng)歷了大漲和大跌，橫穿牛熊市，囊括了大盤周期，且數(shù)據(jù)比較新。標的物上，本文選取滬深300ETF在這243個交易日的日線行情數(shù)據(jù)，包括收盤價、收益率等；在期權(quán)合約方面，本文按照以下三個條件篩選出滿足條件的期權(quán)合約數(shù)據(jù)進行研究。

（1）對于期權(quán)到期日距當前不足6個交易日的期權(quán)合約，由于這類合約包含的時間價值較少，價格波動較大，所以剔除這類合約。對于期權(quán)到期日距當前超過60個交易日的期權(quán)合約，由于這類合約流動性差，成交量少，所以剔除這類合約。

（2）對于執(zhí)行價與當前價格相差兩個價位（如交易平臺的買三和買一）的期權(quán)合約，由于這類期權(quán)合約大多數(shù)為深度實值期權(quán)或深度虛值期權(quán)，成交量少，所以剔除這類合約。

（3）根據(jù)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的邊界條件：

Ct≥max（St-Ke-rt，0）（40）

Pt≥max（Ke-rt-St，0）（41）

所以剔除不滿足邊界條件的期權(quán)合約，最終通過篩選得到滬深300ETF期權(quán)數(shù)據(jù)共4348條，其中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)數(shù)據(jù)各2174條。本文全部數(shù)據(jù)均來源于tushare。

2正態(tài)性檢驗

首先對滬深300ETF對數(shù)日收盤價的正態(tài)性進行分析，檢驗B-S公式第2個假設(shè)條件是否成立，結(jié)果如圖1、圖2和表1所示。

由圖1和圖2可以初步判斷，滬深300ETF的對數(shù)收盤價不服從正態(tài)分布。根據(jù)圖1所示，滬深300ETF的對數(shù)收盤價呈現(xiàn)中間低、兩邊高的現(xiàn)象，對數(shù)收盤價總體聚集在137和157附近，而中間145到15極少。根據(jù)圖2所示，散點的分布除了少部分與直線重合外，大部分都偏離直線。表1是具體計算得到的結(jié)果。由表1可以看到，滬深300ETF的對數(shù)收盤價偏度是負的，說明左邊是拖尾的；峰度為負數(shù)，與正態(tài)分布的峰度3相差很大；由于樣本量僅為243個，所以選擇Shapiro-Wilks檢驗其正態(tài)性，得到檢驗統(tǒng)計量為0181，檢驗p值為0，小于顯著性水平005，拒絕其服從正態(tài)分布的檢驗。因此可以說明，滬深300ETF的對數(shù)收盤價不服從正態(tài)分布，即B-S公式第2個假設(shè)條件在實際市場中是不成立的。

3B-S模型定價效果

為了方便計算，我們設(shè)定B-S公式中無風險利率r為4%。將滬深300ETF 30日收益率標準差轉(zhuǎn)化為年標準差，即波動率σ。對滬深300ETF看漲期權(quán)合約和看跌期權(quán)合約分別進行定價，得到結(jié)果如圖3至圖6所示。

由圖3至圖6可以看出，基于B-S模型的殘差較小，曲線擬合效果較好?？傮w來看，基于B-S模型對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價是可行的。

4heston模型定價效果

根據(jù)前文所述內(nèi)容，由于heston模型的看漲期權(quán)價格公式和看跌期權(quán)價格公式比較復(fù)雜，無法通過直接求導(dǎo)，即令導(dǎo)數(shù)為0的方法來求解非線性最小二乘問題，只能用其他優(yōu)化算法求得局部極小值。模擬退火算法是一種隨機尋優(yōu)算法，其基本思想是：設(shè)定初始溫度和初始狀態(tài)，通過內(nèi)循環(huán)迭代，以Metropolis準則更新狀態(tài)，得到穩(wěn)定狀態(tài)后根據(jù)快速降溫公式降溫，不斷迭代直到最后溫度低于設(shè)定的最低溫度，此時穩(wěn)定狀態(tài)即為估算結(jié)果。相比于遺傳算法、混沌算法而言，原理較為簡單，易于仿真，且模擬效果好。所以本文采用模擬退火算法估計參數(shù)，得到結(jié)果如表2所示。根據(jù)表2得到的參數(shù)和B-S模型中的參數(shù)，對滬深300ETF看漲期權(quán)合約和看跌期權(quán)合約分別進行定價，得到結(jié)果如圖7至圖10所示。

由圖7至圖10可以看出，基于heston模型的殘差較小，曲線擬合效果較好?？傮w來看，基于heston模型對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價是可行的。

5兩個模型定價效果對比

為了直觀比較基于B-S模型和基于heston模型對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價效果，本文構(gòu)建絕對平均誤差MAE和均平方根誤差RMSE這兩個指標評估模型定價效果，結(jié)果如表3和表4所示。

MAE=∑Mi=1|ki-wi|M（42）

RMSE= ∑Mi=1（ki-wi）2M（43）

其中，ki表示模型預(yù)測數(shù)據(jù)；wi表示市場真實數(shù)據(jù)；M表示樣本量。絕對平均誤差MAE和均方根誤差RMSE越小，表示模型預(yù)測效果越好；反之則反。

由表3和表4可以看出，heston模型對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價效果均優(yōu)于B-S模型，說明將波動率視為時變函數(shù)優(yōu)于視為常數(shù)，B-S模型中第6個假設(shè)條件不成立。B-S模型和heston模型對于看漲期權(quán)的定價效果優(yōu)于對看跌期權(quán)的定價效果?？傮w而言，B-S模型和heston模型能較好地對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)進行定價。

四、結(jié)論

本文以滬深300ETF為研究對象，利用滬深300ETF的日收盤價和滬深300ETF期權(quán)合約數(shù)據(jù)，檢驗滬深300ETF的對數(shù)日收盤價的正態(tài)性。根據(jù)B-S模型和heston模型進行定價，對于heston模型中需要確定的5個參數(shù)，采用模擬退火算法進行估算，比較兩個模型對于看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價效果。得到結(jié)論：滬深300ETF對數(shù)收盤價不服從正態(tài)分布，B-S模型中第2個假設(shè)條件不成立。B-S模型能較好地對滬深300ETF期權(quán)進行定價，heston模型定價效果優(yōu)于B-S模型，兩個模型對看漲期權(quán)的定價效果均優(yōu)于看跌期權(quán)的定價效果，B-S模型中第6個假設(shè)條件不成立。

本文由于篇幅有限，僅對B-S模型中兩個假設(shè)條件進行論證。實際上，B-S模型的其他假設(shè)條件在真實市場中也具有局限性，可以進行擴展研究。此外，本文研究的是平值期權(quán)，對于深度實值或深度虛值期權(quán)，B-S模型和heston模型定價效果可能較為一般。

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Empirical Research on Option Pricing Based on CSI 300 ETF

CHEN Lechuan LIU Wenwen HE Jiang

Abstract：This paper takes the CSI 300 ETF as the research object， and uses the daily closing price of the CSI 300 ETF and the CSI 300 ETF option contract data to test the normality of the log-day closing price of the CSI 300 ETF Pricing is based on the B-S model Since the volatility in the B-S model is constant， which is inconsistent with the“volatility smile”curve observed in the real market， the heston model is introduced for pricing For the five parameters that need to be determined in the heston model， the simulated annealing algorithm is used to estimate， and the pricing effects of the B-S model and the heston model for call options and put options are compared Therefore， the assumptions and limitations of the B-S model are analyzed， and the final conclusion is drawn： the logarithmic closing price of the CSI 300 ETF does not follow the normal distribution， and the second assumption in the B-S model， the log price of stocks， does not conform to the normal distribution. The B-S model can price CSI 300 ETF options better， the heston model has a better pricing effect than the B-S model， the pricing effect of both models on call options is better than the pricing effect of put options， and the sixth assumption in the B-S model， stock return volatility σ is constant and is known to be invalid

Keywords：B-S Model；Heston Model；Simulated Annealing Algorithm