馬昕雨

摘 要：在高壓、大功率場(chǎng)合，級(jí)聯(lián)型多電平逆變器得到了越來(lái)越多的應(yīng)用。該文圍繞級(jí)聯(lián)H橋逆變器SHEPWM非線性方程組的求解問(wèn)題，分別采用了牛頓法和模擬退火算法求解該非線性方程組，在對(duì)兩種算法進(jìn)行比較的同時(shí)，分析了H橋逆變器級(jí)聯(lián)數(shù)目和調(diào)制比對(duì)輸出波形改善和方程求解的影響，并利用Multisim仿真對(duì)結(jié)果進(jìn)行了檢驗(yàn)，最后提出了級(jí)聯(lián)型多電平逆變器的最優(yōu)控制策略。

關(guān)鍵詞：牛頓法 模擬退火算法 Multisim仿真 回歸分析

中圖分類號(hào)：TM464 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）03（b）-0245-08

級(jí)聯(lián)型多電平變換器由若干個(gè)變換器模塊單元串聯(lián)而成以實(shí)現(xiàn)高電壓、多電平的輸出。級(jí)聯(lián)型多電平變換器模塊單元常采用3電平為輸出的H橋變換器單元。

特定諧波消除脈寬調(diào)制技術(shù)（Selected Harmonic Elimination Pulse Width Modulation，SHEPWM）通過(guò)選擇特定的開(kāi)關(guān)時(shí)刻，在滿足期望的輸出基波電壓的同時(shí)，來(lái)消除選定的低次諧波，進(jìn)而改善輸出電壓的波形質(zhì)量。由于級(jí)聯(lián)型多電平變換器輸出電壓是各H橋變換器單元輸出電壓的疊加，電平數(shù)的增加可使輸出的階梯形電壓更加接近正弦波，進(jìn)一步減少諧波含量。

在級(jí)聯(lián)型H橋變換器系統(tǒng)中，對(duì)于第i個(gè)H橋變換器單元，當(dāng)或開(kāi)通時(shí)輸出0電平，即輸出電壓為0；當(dāng)開(kāi)通時(shí)輸出1電平，即輸出電壓為；當(dāng)開(kāi)通時(shí)輸出-1電平，即輸出電壓為；對(duì)于級(jí)聯(lián)型H橋變換器整體輸出電平數(shù)可為。

當(dāng)H橋變換器單元直流側(cè)獨(dú)立電壓都為時(shí)，可輸出電平數(shù)的階梯型電壓，單個(gè)H橋變換器的輸出波形總是具有半波奇對(duì)稱性和1/4對(duì)稱性。

通過(guò)對(duì)該波形進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解，對(duì)于的第個(gè)奇數(shù)次諧波的幅值可表示為：

對(duì)于個(gè)H橋變換器單元的級(jí)聯(lián)型變換器系統(tǒng)，在滿足期望基波電壓幅值的條件下可消去特定諧波的數(shù)量為 （n-1）。設(shè)觸發(fā)角為，輸出電壓的基波分量幅值為。定義調(diào)制比幅值。

根據(jù)上述約束條件可寫出關(guān)于的非線性代數(shù)方程組：

同時(shí)基于階梯波特定消諧技術(shù)的輸出電壓波形質(zhì)量，可通過(guò)總電壓諧波畸變率（Total Harmonics Distortion，THD）來(lái)描述，如下式：

在此基礎(chǔ)上，該文在不同的級(jí)聯(lián)模塊數(shù)和調(diào)制比下，求出能消除特定次數(shù)諧波的相應(yīng)開(kāi)關(guān)角以及THD，并探討分析在相同值下，不同模塊數(shù)所對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)角的相互包含關(guān)系，分析隨著模塊數(shù)增加，輸出電壓波形質(zhì)量的改善特性。最后針對(duì)模塊數(shù)的級(jí)聯(lián)型H橋變換器系統(tǒng)，結(jié)合階梯波調(diào)制和輔助控制方法確定最優(yōu)控制各模塊開(kāi)關(guān)策略。所以，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于求解非線性方程組（2），并根據(jù)總電壓諧波畸變率來(lái)衡量所得解的優(yōu)劣。非線性方程組的求解方法，是多電平逆變器SHEPWM 方法及其在線實(shí)現(xiàn)的前提和基礎(chǔ)。非線性方程組求解的關(guān)鍵，包括高質(zhì)量初值的選取和高效率的迭代算法兩個(gè)方面。采用三角載波正弦脈寬調(diào)制（sinusoidal pulse width modulation， SPWM）法求取SHEPWM 問(wèn)題初值的方法，對(duì)提高初值求取速度和成功率有較好的效果，但三角載波SPWM方法較適合于硬件電路實(shí)現(xiàn)，用于以DSP為核心的三電平逆變器數(shù)字控制系統(tǒng)中求取初值，有較大的困難。

考慮到根據(jù)非線性方程組不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)，該文用牛頓法和模擬退火算法兩種算法進(jìn)行計(jì)算比較。然后橫向分析兩種算法得到的結(jié)果的差異，再縱向分析調(diào)制比和級(jí)聯(lián)H橋逆變器數(shù)目對(duì)波形改善的影響。最后得到最佳的調(diào)制比和級(jí)聯(lián)H橋數(shù)目。

1 牛頓法

1.1 模型建立

將非線性方程組（2）改寫為：

牛頓法是解上述非線性方程組最常用的有效方法，它可看成是時(shí)單個(gè)方程牛頓法的推廣。

設(shè)為方程（2）的近似解，在處展開(kāi)可得：

它可表示為向量形式：

這里就是在處的雅可比矩陣，求此線性方程組的解，并記作，當(dāng)非奇異時(shí)，則得

稱為解方程組（2）的牛頓法。

1.2 模型求解

由于牛頓法求解非線性方程組對(duì)初值的設(shè)置要求很高，為了避免最后結(jié)果不收斂，求解中降低了對(duì)結(jié)果精度的要求，并減小了總的迭代次數(shù)，最后得到如下結(jié)果，見(jiàn)表1。

從上述結(jié)果可以看出，牛頓法對(duì)三元非線性方程組求解的結(jié)果較好，THD均小于0.5%，即在計(jì)算3個(gè)H橋變換器級(jí)聯(lián)的時(shí)候用牛頓法求解的結(jié)果可以接受。但5個(gè)H橋變換器級(jí)聯(lián)的時(shí)候THD較大，說(shuō)明對(duì)諧波的消除效果不好，因此未繼續(xù)增加H橋逆變器的級(jí)聯(lián)數(shù)目，后面將采用更精確的算法進(jìn)一步計(jì)算。

2 模擬退火算法

2.1 模型建立

模擬退火算法首先要實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)化策略。實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下所述。

（1）確定問(wèn)題的表達(dá)方式，這種表達(dá)式中個(gè)體由目標(biāo)變量和標(biāo)準(zhǔn)差兩部分組成，每部分又可以有個(gè)分量，即：

和之間的關(guān)系是：

其中，為父代個(gè)體的第個(gè)分量；為子代新個(gè)體的第個(gè)分量；為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；為針對(duì)第個(gè)分量重新產(chǎn)生一次符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；為全局系數(shù)，常取1；為局部系數(shù)，常取1。（9）式表明，新個(gè)體是在舊個(gè)體基礎(chǔ)上隨機(jī)變化而來(lái)。

（2）隨機(jī)生成初始群體，并計(jì)算其適應(yīng)度。進(jìn)化策略中初始群體由個(gè)個(gè)體組成，每個(gè)個(gè)體內(nèi)又包含個(gè)、分量，產(chǎn)生初始個(gè)體的方法是隨機(jī)生成。為了便于和傳統(tǒng)的方法比較，可以從某個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)多次突變產(chǎn)生個(gè)初始個(gè)體，該初始點(diǎn)從可行域中用隨機(jī)方法選取，初始個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差。

（3） 計(jì)算初始個(gè)體的適應(yīng)度，如若滿足條件，終止；否則，往下進(jìn)行。

（4） 根據(jù)進(jìn)化策略，用下述操作產(chǎn)生新群體。

①重組：將兩個(gè)父代個(gè)體交換目標(biāo)變量和標(biāo)準(zhǔn)差，產(chǎn)生新個(gè)體。一般目標(biāo)變量采用離散重組，標(biāo)準(zhǔn)差采用中值重組。

②突變：對(duì)重組后的個(gè)體添加隨機(jī)量，按照式（9）產(chǎn)生新個(gè)體。

③計(jì)算新個(gè)體適應(yīng)度。

④選擇：按照選擇策略，挑選優(yōu)良個(gè)體組成下一代群體。

（5）反復(fù)執(zhí)行（4）直到達(dá)到終止條件，選擇最佳個(gè)體作為進(jìn)化策略的結(jié)果。

2.2 模擬退火算子

該文將進(jìn)化策略的當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)作為模擬退火的退火時(shí)間，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)中提出的模擬退火溫度更新函數(shù)的啟發(fā)式準(zhǔn)則，從而確定了模擬退火的溫度更新函數(shù)和隨機(jī)向量的產(chǎn)生方式。

2.2.1 模擬退火操作具體步驟

（1）設(shè)模擬退火初始溫度為，進(jìn)化策略當(dāng)前群體中的個(gè)體記為，。為群體中的個(gè)體數(shù)目，為非線性方程組中變量的個(gè)數(shù)。當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)對(duì)應(yīng)的溫度更新函數(shù)為；，式中≥1為給定常數(shù)。

（2）通過(guò)下式產(chǎn)生隨機(jī)向量：

其中，；；為上均勻分布的隨機(jī)數(shù)為符號(hào)函數(shù)。

（3）在的基礎(chǔ)上產(chǎn)生一個(gè)新的試探解，并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度和新試探解被接受的概率：

其中，是對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)比例變換的常數(shù)，它適合于目標(biāo)極小化。

（4）產(chǎn)生上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，若，則接受新試探解，即置。對(duì)種群中的個(gè)體均進(jìn)行上述的操作。

2.2.2 改進(jìn)的進(jìn)化策略算法

一維柯西密度函數(shù)集中在原點(diǎn)附近，定義為：

其中，為比例參數(shù)。相應(yīng)的分布函數(shù)為：

密度函數(shù)類似于高斯密度函數(shù)，其差異主要表現(xiàn)在：柯西分布在垂直方向略小于高斯分布，而柯西分布在水平方向上越接近水平軸，變得越緩慢，因此柯西分布可以看作是無(wú)限的。根據(jù)柯西分布和高斯分布的相似性和柯西分布具有較高的兩翼概率特性，即柯西分布有一條很長(zhǎng)的尾巴。所以，柯西分布容易產(chǎn)生一個(gè)遠(yuǎn)離原點(diǎn)的隨機(jī)數(shù)，它比高斯突變產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)具有更寬的分布范圍，如果用柯西突變來(lái)產(chǎn)生后代，這就意味著利用柯西突變有可能很快跳出局部極小的區(qū)域。但是，它的較小的中央部分卻是它的一個(gè)弱點(diǎn)，使得它在進(jìn)行更精確的局部搜索方面的性能降低，而高斯突變算子可以使子群在局部空間盡可能的細(xì)致搜索。為了既能發(fā)揮柯西突變算子產(chǎn)生大的突變能力，以減小陷入局部最優(yōu)點(diǎn)的危險(xiǎn)，又能利用高斯突變算子局部搜索能力佳的優(yōu)點(diǎn)，以提高收斂速率。在此處使用一個(gè)折衷的方案，將柯西突變算子和高斯突變算子結(jié)合起來(lái)，定義一個(gè)新的突變算子，稱之為“平均突變算子”（mean mutation operator， MMO）。所以，新的突變形式為：

式（15）中的即為平均突變算子，其中參數(shù)是的一個(gè)柯西分布的隨機(jī)變量比例參數(shù)，用于更新每一個(gè)分量，其他的參數(shù)與式（9）中的相同。

2.3 模擬退火算法的進(jìn)化策略求解非線性方程組

算法流程：

設(shè)方程組是個(gè)方程個(gè)未知量的方程組

（1）確定個(gè)體的表達(dá)方式：表達(dá)式中個(gè)體由目標(biāo)變量和標(biāo)準(zhǔn)差兩部分組成，每部分有個(gè)分量，即：

其中，為非線性方程組中變量的個(gè)數(shù)。

（2）隨機(jī)生成初始群體：進(jìn)化策略中初始群體由個(gè)個(gè)體組成，每個(gè)個(gè)體內(nèi)包含個(gè)、分量，產(chǎn)生初始個(gè)體的方法是隨機(jī)生成，初始個(gè)體的標(biāo)準(zhǔn)差。

（3）計(jì)算適應(yīng)度：設(shè)，則方程的解是使的值。取適應(yīng)度函數(shù)，則方程組的精確解即是使時(shí)的值。因而的值越小，方程組解的近似程度越好。終止條件選擇一個(gè)很接近0的值，當(dāng)最小適應(yīng)度小于等于時(shí)終止。

（4）如果滿足條件，終止，選出最優(yōu)解；否則，繼續(xù)往下進(jìn)行。

（5）根據(jù)進(jìn)化策略，用下述操作產(chǎn)生新群體：

①重組：隨機(jī)選擇2個(gè)個(gè)體，產(chǎn)生一個(gè)新個(gè)體。其中目標(biāo)變量采用離散重組，標(biāo)準(zhǔn)差采用中值重組。

②突變：對(duì)重組后的個(gè)體添加隨機(jī)量，按照式（15）產(chǎn)生新個(gè)體。

③計(jì)算新個(gè)體的適應(yīng)度。

④此時(shí)引入模擬退火算子，對(duì)突變后的個(gè)體進(jìn)行模擬退火過(guò)程，生成新的個(gè)個(gè)體。

⑤選擇：采用選擇策略，挑選優(yōu)良個(gè)體組成下一代群體。

⑥反復(fù)執(zhí)行（5），直到達(dá)到終止條件，選擇最佳個(gè)體作為進(jìn)化策略的結(jié)果。

2.4 模型求解

表2可以看出在3個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)時(shí)模擬退火算法求得的開(kāi)關(guān)角所對(duì)應(yīng)的THD均在0.15%以內(nèi)，可以說(shuō)明結(jié)果精確度很高。在5個(gè)和15個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)時(shí)求得的開(kāi)關(guān)角所對(duì)應(yīng)的THD也均在0.36%和1.8%以內(nèi)，進(jìn)一步說(shuō)明了退火算法的精確性。

2.5 較多數(shù)目H橋逆變器級(jí)聯(lián)時(shí)的討論

當(dāng)20個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)時(shí)，由于級(jí)聯(lián)的數(shù)目較多，再用THD衡量其對(duì)波形的改善變得不全面，這里綜合均衡變換功率以及產(chǎn)生波形的質(zhì)量制定了新的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，再次利用模擬退火算法求得的開(kāi)關(guān)角集合見(jiàn)表3。

可以看出，當(dāng)20個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)時(shí)，取m =0.7，觸發(fā)角從小到大見(jiàn)表4，是最優(yōu)的控制策略。

3 結(jié)果分析

3.1 模型對(duì)比

理論上牛頓法和模擬退火法都能找到最優(yōu)解，但通過(guò)前面的模型建立和求解，可以發(fā)現(xiàn)這兩種算法都有著鮮明的特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中分別適用于各自相應(yīng)的范圍。

牛頓法的最大優(yōu)點(diǎn)在于迭代速度快，程序簡(jiǎn)單，適用于數(shù)據(jù)量較大的計(jì)算，牛頓法除了在三電平逆變器SHEPWM非線性方程組的求解中有廣泛應(yīng)用，電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算最常用的也是牛頓拉夫遜算法，這都說(shuō)明了牛頓法操作簡(jiǎn)便易于求解。但在對(duì)精度要求較大的科學(xué)計(jì)算中，牛頓法又因?yàn)槠鋵?duì)初值要求高，Hesse矩陣可能是奇異矩陣導(dǎo)致結(jié)果不收斂而存在局限性。在該文中牛頓法最后的求解也存在較大誤差。

模擬退火法相比于牛頓法來(lái)說(shuō)求解精度大大提高，并且對(duì)初值的要求低，避免了繁瑣的初期數(shù)據(jù)處理。另外，模擬退火法對(duì)目標(biāo)函數(shù)的邊界條件沒(méi)有要求，適用于大部分實(shí)際問(wèn)題。相比于其他啟發(fā)式算法，模擬退火法不但能尋求到全局最優(yōu)解，并且程序較為簡(jiǎn)單。但和牛頓法相比，模擬退火法的計(jì)算大，程序復(fù)雜并且運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)。

3.2 數(shù)據(jù)分析

針對(duì)模擬退火算法求解的開(kāi)關(guān)角以及對(duì)應(yīng)的THD，從不同調(diào)制比對(duì)THD的影響、不同調(diào)制比對(duì)開(kāi)關(guān)角選擇的影響以及不同調(diào)制比下開(kāi)關(guān)角的包含關(guān)系三個(gè)方面分析數(shù)據(jù)。

（1）不同調(diào)制比對(duì)THD的影響見(jiàn)圖1。

可以看出，當(dāng)級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越少時(shí)，相對(duì)應(yīng)的THD越小，而當(dāng)級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)相同時(shí)，不同的調(diào)制比對(duì)THD基本無(wú)影響的影響?？梢岳斫猓?dāng)級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越多時(shí)，迭代求解的次數(shù)越多，涉及的相關(guān)參數(shù)也越多，因此導(dǎo)致誤差較大。

（2）不同調(diào)制比對(duì)開(kāi)關(guān)角的影響見(jiàn)圖2。

可以從折線圖看出，隨著調(diào)制比從小到大變化，開(kāi)關(guān)角呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，并且在調(diào)制比小的時(shí)候開(kāi)關(guān)角更分散，調(diào)制比越大開(kāi)關(guān)角的分布越集中。說(shuō)明調(diào)制比的大小影響了開(kāi)關(guān)角的取值范圍的大小，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該選取適宜的調(diào)制比，以給開(kāi)關(guān)角的選擇留取充分的裕量。

（3）不同調(diào)制比下開(kāi)關(guān)角的包含關(guān)系見(jiàn)圖3。

根據(jù)所求的數(shù)據(jù)，利用SPSS進(jìn)行回歸分析，得到結(jié)果如圖3。為了簡(jiǎn)便只選取了0.7、0.8、0.9、1四個(gè)調(diào)制比，但可以清楚地看出，當(dāng)級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目越大時(shí)，其對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)角包含級(jí)聯(lián)的H橋數(shù)目小的開(kāi)關(guān)角。即較大時(shí)對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)角包含較小時(shí)對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)角，這樣會(huì)在實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。

綜上所述，并不是級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目越多，對(duì)輸出波形的改善越好，同時(shí)調(diào)制比越大，開(kāi)關(guān)角的可選取范圍越小，當(dāng)調(diào)制比大時(shí)對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)角包含調(diào)制比小時(shí)對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)角。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在上述建模分析之后，為了更進(jìn)一步的明確結(jié)果，我們利用退火模擬法求得的數(shù)據(jù)，通過(guò)Multisim進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果見(jiàn)圖4。

通過(guò)仿真我們可以得出以下結(jié)論：

（1）通過(guò)仿真結(jié)果可以清晰地看出，在一定范圍內(nèi)，級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)量越多，輸出的波形越接近于正弦波。

（2）當(dāng)級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目超過(guò)15個(gè)時(shí)，波形會(huì)發(fā)生一定的畸變，如圖4，，，在15個(gè)和20個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)時(shí)，正弦波會(huì)呈現(xiàn)近似尖頂波的趨向。

（3）級(jí)聯(lián)的H橋逆變器不一定越多越好，如圖4，和相比，20個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)比15個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)波形畸變更嚴(yán)重。

綜上所述，當(dāng)級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目超過(guò)一定范圍的時(shí)候，此時(shí)會(huì)對(duì)波形的改善產(chǎn)生負(fù)面影響，總體趨勢(shì)是波形的質(zhì)量隨著級(jí)聯(lián)的H橋逆變器數(shù)目先提高后降低。

5 總結(jié)與展望

5.1 模型優(yōu)點(diǎn)

該文首先利用了傳統(tǒng)的牛頓法求解了級(jí)聯(lián)H橋逆變器SHEPWM非線性方程組，同時(shí)又使用了模擬退火算法再次對(duì)該方程進(jìn)行了求解，對(duì)兩種算法的優(yōu)劣進(jìn)行了對(duì)比，同時(shí)得出了兩種方法的適用范圍，有實(shí)際應(yīng)用意義。在分析H橋逆變器級(jí)聯(lián)數(shù)不同對(duì)解的包含關(guān)系影響時(shí)，該文利用了SPSS進(jìn)行回歸分析，同時(shí)用散點(diǎn)圖簡(jiǎn)單明了的展示了結(jié)果。

5.2 模型缺點(diǎn)

由于牛頓法和模擬退火法本身存在的缺陷，導(dǎo)致當(dāng)H橋逆變器級(jí)聯(lián)數(shù)增多時(shí)，方程的收斂效果并不好，并且誤差較大。在對(duì)20個(gè)H橋逆變器級(jí)聯(lián)進(jìn)行最優(yōu)控制時(shí)，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算，考慮的因素較少。

5.3 模型展望

該文在傳統(tǒng)的牛頓法的基礎(chǔ)上使用了啟發(fā)式算法，適合對(duì)精度要求較高并且計(jì)算量相對(duì)較小時(shí)的計(jì)算。同時(shí)求得了H橋逆變器級(jí)聯(lián)數(shù)不同對(duì)解的包含關(guān)系，對(duì)以后的科學(xué)計(jì)算進(jìn)行了簡(jiǎn)化。該文還得出了H橋逆變器級(jí)聯(lián)數(shù)對(duì)波形改善的影響，得出了并不是級(jí)聯(lián)的H橋逆變器越多對(duì)波形的改善越好，對(duì)工程設(shè)計(jì)有實(shí)際意義。

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