張婉潔 *, 牛江川 *,, 申永軍 *, 楊紹普 *, 劉佳琪

*(石家莊鐵道大學(xué)交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

? (石家莊鐵道大學(xué)機械工程學(xué)院,石家莊 050043)

引言

半主動控制系統(tǒng)[1-4]具有控制簡單易操作,以及良好的控制效果等特點,在許多工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,如車輛懸架[5-6]、船舶可控浮閥[7]、結(jié)構(gòu)振動控制[8]等.半主動控制策略的“開-關(guān)”切換條件中,通常需要采集系統(tǒng)的位移、速度等狀態(tài)反饋信息進行規(guī)則判斷,從而調(diào)整控制系統(tǒng)的阻尼、剛度以實現(xiàn)切換控制.

磁流變液阻尼器(magnetorheological fluid damper,MRFD)是一種典型的半主動控制裝置,通過調(diào)整控制電流利用磁流變液提供可控阻尼力,有效地實現(xiàn)振動控制[9-10].常用的描述磁流變液阻尼器的模型主要包括Bingham 模型、雙曲正切模型、Bouc-Wen 模型、黏性Dahl 模型和代數(shù)模型等[11-12].而基于分?jǐn)?shù)階的Bingham 模型已被證明能夠以較少的參數(shù)更準(zhǔn)確的描述磁流變液阻尼器的動力學(xué)特性,不但能夠擬合磁流變液阻尼器力-位移間的響應(yīng)關(guān)系,并且可以更準(zhǔn)確地描述其速度-阻尼力的滯回特性[13-15].

對于基于磁流變液阻尼器的受控系統(tǒng)而言,傳感測量、信號傳遞及作動機構(gòu)執(zhí)行均需要一定的時間,從而導(dǎo)致控制回路出現(xiàn)無法避免的時滯[16].時滯系統(tǒng)表現(xiàn)為系統(tǒng)輸出相對于系統(tǒng)的輸入具有一定的延遲,由于時滯的存在,可能會使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差,降低控制系統(tǒng)的控制效果,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[17];也可能會改善系統(tǒng)的控制效果.王在華和胡海巖[18]從動力學(xué)角度對時滯動力系統(tǒng)的特點、研究方法、動力學(xué)等熱點研究進展問題進行了綜述.徐鑒等[19-20]深入討論了時滯耦合系統(tǒng)的動力學(xué)研究進展.Yu 等[21]對天棚控制下磁流變阻尼器中的非線性和時滯特性進行了分析,得到了不同非線性和時滯參數(shù)下系統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則.Shen 和Ahmadian[22]分析了4 種含時滯的半主動動力吸振器的非線性動力學(xué)特性,以及時滯對控制系統(tǒng)性能的影響.Yan 等[23]分析了二自由度車輛懸架系統(tǒng)在時滯最優(yōu)控制下的性能,并討論了時滯對主動懸架系統(tǒng)控制穩(wěn)定性的影響.Pyragas 等[24-26]提出的時滯狀態(tài)反饋已成為有效調(diào)控系統(tǒng)性能的重要途徑.Sun 和Xu[27]分析了一種二自由度的含時滯的可控機械吸振裝置,實現(xiàn)了時滯反饋控制.Naik 和Singru 等[28]研究了時滯反饋控制下1/4 車輛懸架模型的共振、穩(wěn)定性以及混沌振動問題.Taffo 等[29]分析了小時滯反饋控制下二自由度非線性車輛懸架的穩(wěn)定性切換與分岔問題.Sun 等[30-31]分別提出了一種新型的時滯耦合非線性隔振-吸振復(fù)合結(jié)構(gòu),可有效抑制系統(tǒng)的共振,并分析了非線性隔振系統(tǒng)在多種不同激勵下時滯主動控制的最優(yōu)參數(shù).

目前,大多數(shù)時滯減振控制策略是將含有時滯的位移、速度或加速度等反饋物理量直接引入系統(tǒng)的動力學(xué)方程.而當(dāng)作動器的作用與時滯反饋物理量無關(guān)時,時滯對半主動控制的影響還需要進一步研究.因此,本文針對半主動控制過程中不可避免的時滯問題,在控制切換條件中引入時滯,將時滯作為一個可控變量,基于含有分?jǐn)?shù)階Bingham 模型的磁流變液阻尼器的線性剛度系統(tǒng),構(gòu)建含時滯的半主動控制系統(tǒng)模型.利用平均法對系統(tǒng)的主共振響應(yīng)進行解析研究,采用Lyapunov 理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定特性,并詳細(xì)分析時滯對半主動阻尼控制隔振系統(tǒng)振動特性的影響.

1 近似解析解

基于磁流變液阻尼器的半主動阻尼控制隔振系統(tǒng)的物理模型如圖1 所示,其中磁流變液阻尼器的阻尼力采用分?jǐn)?shù)階Bingham 模型進行描述.

圖1 半主動阻尼控制隔振系統(tǒng)模型Fig.1 Model of semi-active damping on-off vibration isolation system

根據(jù)牛頓定律得到運動學(xué)方程為

其中,磁流變液阻尼器的阻尼力為

式中,fc為可變庫倫阻尼力,與磁流變液的剪切屈服強度成正比,通過輸入電壓或電流改變磁場強度進行調(diào)節(jié);c0為系統(tǒng)的等效黏性阻尼系數(shù),cf為磁流變液阻尼器的黏性阻尼系數(shù),由其制造尺寸和磁流變液的黏度系數(shù)決定.Dp(x-z)表示位移差的p階導(dǎo)數(shù),且 0＜p≤1 .依據(jù)Gerasimov-Caputo 定義[32],分?jǐn)?shù)階微分項可以表示為

其中,Γ(z)為Gamma 函數(shù),滿足 Γ(z+1)=zΓ(z) .

選取簡諧激勵z=Bcos(ωt) 作為基礎(chǔ)激勵,其中,B為簡諧激勵的幅值,且為常數(shù),ω 為簡諧外激勵的角頻率.令y=x-z,代入式(1)可得

依據(jù)平均法,設(shè)式(5)的解滿足

其中,ψ=ωt+φ .根據(jù)平均法可得到一階近似解振幅和相位滿足的方程

由于振幅和相位是隨時間變化的 ε 的同階小量,因此將式(7a)和式(7b)在一個周期內(nèi)進行平均處理,得到近似解析解振幅和相位的顯式,即有

采用天棚阻尼半主動控制策略[33-35]對基于磁流變液阻尼器的隔振系統(tǒng)進行阻尼控制,磁流變液阻尼器所提供的阻尼力可表示為

其中,b為半主動控制參數(shù)(0≤b≤1),F1為磁流變液阻尼器所能提供的最大阻尼力.考慮到磁流變液阻尼器在電壓為零時仍可提供一定的阻尼力,因此設(shè)定b=0.1 .

然而,基于磁流變液阻尼器的半主動控制系統(tǒng)在信號采集、信號傳輸、控制器決策、磁流變液阻尼器的響應(yīng)過程中,存在的時滯會造成半主動控制信號滯后于理想狀態(tài).當(dāng)采用半主動控制策略,系統(tǒng)在進行相應(yīng)動作執(zhí)行切換時,可控阻尼力FMR與當(dāng)前時刻的系統(tǒng)速度x˙(t) 同步.而由于實現(xiàn)目標(biāo)的控制系統(tǒng)和作動機構(gòu)均需要一定的反應(yīng)時間,具有時間滯后量 τ＞0,使得控制判斷條件并非與當(dāng)前時刻的速度(t) 同步,而是依賴于之前從傳感器中獲得的參數(shù),與前面某一時刻的速度(t-τ) 同步.基于磁流變液阻尼器隔振系統(tǒng)的時滯半主動控制流程如圖2所示.

圖2 基于磁流變液阻尼器隔振系統(tǒng)的時滯半主動控制流程圖Fig.2 Flow chart of the semi-active control of the MRFD based vibration isolation system with time delay

將系統(tǒng)中的時滯綜合表示為時滯 τ,含時滯的天棚阻尼控制策略如下

其中xτ=x(t-τ),zτ=z(t-τ) .控制條件為

對于周期函數(shù),其周期為T=2π/ω,式(8a)和式(8b)中第一部分的積分為

根據(jù)文獻(xiàn)[36-37],可以得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時分?jǐn)?shù)階項的近似表示

因此,第二部分在一個周期內(nèi)的積分可以為:

當(dāng)β ≥0 時

當(dāng)β ＜0 時計算類似,由此可以得到第二部分在一個周期內(nèi)的積分為

當(dāng)考慮時滯對半主動控制的影響時,計算第3 部分在一個周期內(nèi)的積分需要分別考慮8 種情況.當(dāng)β ≥0 時,包括如下4 種情況:情況(1) (記作q1)

情況(3) (記作q3)

情況(4) (記作q4)

當(dāng)β ＜0 時,同樣包含4 種情況:

情況(5) (記作q5)

情況(6) (記作q6)

情況(7) (記作q7)

情況(8) (記作q8)

假設(shè)a＞ 0,在情況(1)下計算和可以得到

其他情況下可以進行類似的計算.由此可以得到第3 部分在一個周期內(nèi)的積分為

其中

可以看出U和V既與控制參數(shù)b有關(guān),又與時滯τ有關(guān).因此,當(dāng)β≥0和β＜0時,a˙和aφ˙可統(tǒng)一表示為

將系統(tǒng)原參數(shù)代入可得

2 系統(tǒng)的定常解

研究系統(tǒng)的定常解,假設(shè)和分別是穩(wěn)態(tài)解對應(yīng)的振幅和相位,令式(20a)和式(20b)中=0,=0,可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程

依據(jù)式(21a)和式(21b)可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)方程為

以及相頻響應(yīng)方程

根據(jù)幅頻響應(yīng)方程可以得到

3 定常解的穩(wěn)定性分析

采用Lyapunov 一次近似理論判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,對穩(wěn)態(tài)解引入小擾動,令a=+Δa,φ=+Δφ,代入式(20a) 和式(20b),略去高階項進行線性化,可得

則特征方程為

因此,系統(tǒng)定常解穩(wěn)定的充要條件為

4 數(shù)值解驗證

根據(jù)參考文獻(xiàn)[13,38-39]選取一組示例參數(shù)值,具體參數(shù)為m=240 kg,c0=50 N·s/m,k=15 000 N/m,磁流變液阻尼器的參數(shù)選擇為:cf=300 N·s/m,fc=1000 N,分?jǐn)?shù)階階次p=0.84,基礎(chǔ)激勵幅值為B=0.1 m.利用文獻(xiàn)[32]中的數(shù)值求解方法對系統(tǒng)進行數(shù)值計算,時間總長設(shè)定為188.5 s,以h=π/5000為步長,并將后62.8 s 響應(yīng)的最大值作為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的峰值.通過計算發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)對于所有 τ≥0 始終滿足穩(wěn)定性條件(29),說明當(dāng)隔振器的作用與時滯反饋物理量無關(guān)時,時滯的引入未改變系統(tǒng)的穩(wěn)定特性.

當(dāng)系統(tǒng)處于被動控制(b=1)、不考慮時滯半主動控制(b=0.1,τ=0)、小時滯半主動控制(b=0.1,τ=40 h)、較大時滯半主動控制(b=0.1,τ=300 h)及(b=0.1,τ=580 h),以及大時滯半主動控制(b=0.1,τ=2000 h)時,根據(jù)數(shù)值解和近似解析解得到的幅頻響應(yīng)曲線分別如圖3(a)～ 圖3(f)所示,圖中圓圈表示數(shù)值解,實線表示近似解析解.從圖3 中可以看出,系統(tǒng)在被動控制以及時滯較小的半主動控制時,近似解析解都與數(shù)值解具有很好的一致性,而時滯較大時,在共振峰值附近具有很好的一致性.系統(tǒng)在低頻(頻率小于 7rad/s)時數(shù)值解接近為0,是因為傳遞到磁流變液阻尼器的外力不足以克服其內(nèi)部剪切摩擦力,使得系統(tǒng)幾乎沒有運動[14],此時半主動控制策略也不作用于系統(tǒng).在半主動控制下,隨著時滯的增大,系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的高頻顫振,如圖3(d)～圖3(f)所示,而且時滯越大,高頻顫振問題愈加突出,振動控制效果惡化,因此,對于考慮時滯的天棚阻尼半主動控制系統(tǒng)而言,小時滯下的半主動控制才具有振動抑制的實際意義.

圖3 數(shù)值解與解析解的幅頻響應(yīng)曲線比較Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response for numerical solution and analytical solution

圖3 數(shù)值解與解析解的幅頻響應(yīng)曲線比較(續(xù))Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response for numerical solution and analytical solution (continued)

5時滯對半主動控制的影響

為分析時滯對半主動控制(b=0.1) 的減振效果,對比圖3(a)～ 圖3(d) 4 種不同控制狀態(tài)和不同的小時滯控制參數(shù)時系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖4 所示.可以看出,當(dāng)時滯為0,40 h (25.1 ms)時在半主動阻尼控制下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅在一定的激勵頻率范圍內(nèi)優(yōu)于被動控制(b=1)下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅,可以有效地降低共振幅值.而當(dāng)時滯為300 h (188.5 ms)時,反而會導(dǎo)致系統(tǒng)振幅的增大.相較于被動控制系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,不同時滯下的半主動阻尼控制不但會改變系統(tǒng)振動的峰值,其相應(yīng)的共振頻率也會發(fā)生變化.

圖4 被動控制與不同時滯半主動控制的幅頻響應(yīng)曲線對比Fig.4 Comparison of amplitude-frequency response curves between passive control and different time delay semi-active control

進一步研究時滯對系統(tǒng)振幅的影響規(guī)律.在天棚阻尼半主動控制策略下取時滯間隔為 5h,利用近似解析解獲得圖5 所示的激勵頻率為 ω=9 rad/s 和ω=10 rad/s 時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值-時滯響應(yīng)曲線.在固定激勵頻率下系統(tǒng)的振幅呈現(xiàn)出與頻率相關(guān)的固定周期的變化規(guī)律,頻率越大所對應(yīng)的變化周期越小.

圖5 固定激勵頻率下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值-時滯響應(yīng)曲線Fig.5 Steady-state amplitude with time delay under the fixed excitation frequency

根據(jù)近似解析解得到系統(tǒng)主共振峰值-時滯響應(yīng)曲線如圖6 所示.從圖中可以看出,主共振峰值amax隨時滯 τ的變化是非簡諧的,但amax出現(xiàn)了明顯的周期性變化規(guī)律,而且隨著時滯 τ 的增大,主共振峰值所能達(dá)到的最小值越大.對比被動控制下主共振峰值(約為0.255 m),當(dāng)時滯為364.4 ms (τ=580 h)時系統(tǒng)的主共振峰值也小于被動控制下的主共振峰值.但是由圖3(e)可知,由于時滯的增大系統(tǒng)會出現(xiàn)高頻顫振,因此只考慮第一個時滯周期內(nèi)的時滯量作為時滯參數(shù).由圖6 得到,當(dāng)系統(tǒng)的固有時滯小于44 ms (τ=70h)時,在此范圍內(nèi)的時滯半主動控制均可以達(dá)到優(yōu)于被動控制的目的;當(dāng)系統(tǒng)的固有時滯大于44 ms 時,半主動控制在時滯的影響下,會導(dǎo)致系統(tǒng)的振動抑制效果惡化,此時被動控制效果則優(yōu)于半主動控制.特別地,在時滯為28.3 ms (τ=45h)時,時滯天棚阻尼控制策略可以達(dá)到最優(yōu)減振效果,即當(dāng)系統(tǒng)的固有時滯小于此最優(yōu)時滯時,可以對控制系統(tǒng)引入時滯使其達(dá)到此最優(yōu)時滯,使得系統(tǒng)主共振峰值最低.

圖6 主共振峰值隨時滯的變化曲線Fig.6 Primary resonance peak with time delay

改變半主動控制參數(shù)b為0.3 和0.6,繪制主共振峰值隨時滯的變化曲線如圖7 所示.可以看出,隨著半主動控制參數(shù)b的減小,時滯變化時主共振峰值的變化增大,但是對最優(yōu)時滯區(qū)間沒有影響.在最優(yōu)時滯區(qū)間內(nèi),半主動控制參數(shù)b越小,主共振振幅越小.

圖7 不同參數(shù) b時系統(tǒng)主共振峰值隨時滯的變化曲線Fig.7 Primary resonance peak with time delay of differentb

主共振峰對應(yīng)的共振頻率-時滯響應(yīng)曲線如圖8 所示,其對應(yīng)的共振頻率 ωr隨時滯 τ 的變化也是非簡諧的,半主動控制參數(shù)b越小,主共振峰對應(yīng)的共振頻率變化范圍越大.

圖8 不同參數(shù) b時共振峰值對應(yīng)的頻率-時滯曲線Fig.8 Frequency corresponding to resonance peak with time delay of differentb

6 結(jié)論

本文對基于磁流變液阻尼器的隔振系統(tǒng)在含有時滯的半主動控制策略下的系統(tǒng)共振響應(yīng)及其振動特性進行了分析.針對含有磁流變液阻尼器的半主動阻尼控制系統(tǒng)中存在的時滯問題,將時滯引入半主動控制切換條件中,利用平均法對基于分?jǐn)?shù)階Bingham 模型的線性剛度系統(tǒng)在天棚阻尼控制下的主共振響應(yīng)進行了解析研究,得出系統(tǒng)的近似解析解,并通過數(shù)值計算驗證了解析結(jié)果的準(zhǔn)確性,解析結(jié)果與數(shù)值解具有較好的一致性.采用Lyapunov 方法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定特性,而且在全頻域內(nèi),時滯的引入并不會改變原系統(tǒng)的穩(wěn)定性.通過分析時滯對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響,表明在一定的小時滯范圍內(nèi),與被動控制相比,時滯半主動控制策略可以有效地降低主共振峰值,達(dá)到系統(tǒng)減振的目的.并且存在一個時滯量的取值區(qū)間,使系統(tǒng)的振幅在一定的激勵頻率范圍內(nèi)低于被動控制系統(tǒng),且在這個區(qū)間上會存在一個時滯點,使得系統(tǒng)的振幅得到最大幅度的降低.當(dāng)系統(tǒng)固有時滯小于最優(yōu)時滯時,在半主動阻尼振動控制系統(tǒng)的實際應(yīng)用中即使不考慮時滯,也會使系統(tǒng)在一定的激勵頻率范圍內(nèi)得到滿意的振動控制效果.然而大時滯的引入會導(dǎo)致系統(tǒng)的顫振,使系統(tǒng)的減振效果變差.本文的分析為實際工程應(yīng)用中的半主動阻尼振動控制系統(tǒng)時滯選取提供了依據(jù).