羅 健 王智慧

(中國科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

引言

高溫非平衡流動條件下的氣動力/熱精細(xì)預(yù)測是新型近空間高超聲速飛行器研制過程中面臨的關(guān)鍵難題之一[1-4].在新的流動物理下,經(jīng)典預(yù)測理論失效,傳統(tǒng)實驗和計算手段也難以滿足當(dāng)前工程需求.為了解決此問題,一方面需要發(fā)展新的實驗技術(shù)和計算手段[5-14],另一方面也亟需分析具體流動特征和討論主要物理機(jī)制,探索和建立新的模型理論.對非平衡流動和傳熱機(jī)理的深入認(rèn)識,也有助于發(fā)展相應(yīng)的實驗和計算方法.

一般來說,非平衡流動模型理論的建立,需要針對主要的高溫真實氣體效應(yīng),并結(jié)合具體的流場結(jié)構(gòu)特征.根據(jù)飛行高度和速度的差異,不同飛行器所遭遇的高溫真實氣體效應(yīng)也不同[15].當(dāng)飛行器再入或高速滑翔飛行時,化學(xué)非平衡效應(yīng)占主導(dǎo)作用;當(dāng)飛行器巡航速度相對較低(馬赫數(shù)Ma=5～10)時,振動非平衡效應(yīng)更加重要,而氣體離解等化學(xué)反應(yīng)過程的影響可以忽略[16].對振動非平衡的研究,一方面聚焦于微觀層面的振動激發(fā)速率的研究[17-21],另一方面聚焦于振動激發(fā)對于飛行器氣動力/熱的影響[22-24],例如,Schubert[24]研究發(fā)現(xiàn)在特定條件下振動非平衡會使得總熱流變化14%左右.為了更加精細(xì)地模擬振動非平衡過程,在計算流體動力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)、直接模擬蒙特卡羅(direct simulation of Monte Carlo,DSMC)[25]等計算方法中都先后引入了精細(xì)的振動激發(fā)模型[26-30].最近,Luo 和Wang[31]提出了振動非平衡和化學(xué)非平衡流動之間的比擬關(guān)系,并從理論上討論了振動非平衡及壁面振動能非完全適應(yīng)對駐點熱流預(yù)測的影響,但尚未討論駐點下游流場中的非平衡特征.

根據(jù)流場結(jié)構(gòu)特征的差異,飛行器不同部位的流動可大致分為3 類:機(jī)身體前緣和翼緣駐點附近的強(qiáng)壓縮流動、機(jī)身和機(jī)翼表面的強(qiáng)剪切流動以及凸起物和縫隙等結(jié)構(gòu)處的復(fù)雜干擾流動.不同類型流動的動量、能量輸運機(jī)理存在顯著的差異,需要有針對性地建立其流動模型,發(fā)展相應(yīng)的氣動力/熱預(yù)測理論.如圖1 所示,駐點附近的強(qiáng)壓縮流動常用圓柱或圓球繞流模型來模擬,而駐點下游的強(qiáng)剪切流動則為邊界層流動模型.駐點氣動加熱是氣動熱防護(hù)設(shè)計的重點關(guān)注對象,駐點下游流動和傳熱特征則顯著影響飛行器摩阻和加熱總量的預(yù)測.由于問題復(fù)雜性,高溫非平衡邊界層傳熱的一般性理論目前尚未建立起來.事實上,即使對于另一個相對簡單的剪切流動模型-庫埃特(Couette)流動,高溫非平衡效應(yīng)下的傳熱特征也缺乏理論描述.對非平衡庫埃特流動的研究,可以揭示強(qiáng)剪切非平衡流動物理和傳熱特征,對最終建立非平衡邊界層流動理論也具有重要的參考意義.另外,根據(jù)流動主控因素的相似性,簡單流動模型中所得到的非平衡流動判據(jù)等,也可以推廣到更復(fù)雜的流動模型,并定性或半定量地解釋工程實際中遇到的非平衡氣動加熱現(xiàn)象.例如,通過調(diào)整庫埃特流動的速度和溫度邊界條件,可近似模擬駐點下游不同站位或不同條件下的邊界層型流動特征[32].

圖1 高超聲速飛行器周圍流場結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the flow over a hypersonic vehicle

前人從各個角度對庫埃特流動進(jìn)行了廣泛而深入地研究.Illingworth[33]最早在1950 年給出了量熱完全氣體可壓縮庫埃特流動的理論解.Liepmann等[34-35]推導(dǎo)了化學(xué)離解平衡條件下庫埃特流動的絕熱壁焓和恢復(fù)因子.庫埃特流動作為最基本的剪切流動模型也被用來研究稀薄氣體效應(yīng)和氣固相互作用等對動量/能量輸運的影響[36-38].最近,Abramov 和Butkovskii[39]仍然基于庫埃特流動模型,討論了不同稀薄程度下的雷諾比擬關(guān)系;Chen 和Zhou[5]基于庫埃特流動模型分析了高超聲速稀薄流動中的等效輸運系數(shù).可壓縮庫埃特流動模型在保留典型強(qiáng)剪切特征的前提下,能夠極大地降低真實流動的復(fù)雜性,有利于明晰非平衡流動物理以及氣固相互作用的影響[40].

對于高超聲速強(qiáng)剪切流動的氣動力/熱預(yù)測,參考溫度(焓)方法和雷諾比擬關(guān)系發(fā)揮著重要作用.通過計算參考溫度下的氣體熱物性參數(shù),可以推廣不可壓縮邊界層理論公式來近似預(yù)測可壓縮邊界層的壁面摩阻.雷諾比擬關(guān)系給出了強(qiáng)剪切流動摩阻和熱流之間的關(guān)聯(lián),結(jié)合參考溫度方法得到的摩阻即可求得可壓縮強(qiáng)剪切流動的壁面熱流.參考溫度方法這一概念最早由Rubesin 和Johnson[41]提出,用以估計可壓縮邊界層內(nèi)流體的平均屬性.Dorrance[42]和Eckert[43]分別給出了層流邊界層中參考溫度的理論計算公式.Young 和Janssen[44]提出了高馬赫數(shù)下的參考溫度計算式.雷諾比擬關(guān)系的發(fā)展與參考溫度方法在同一時期,Reynolds[45]最早提出了摩阻和熱流二者之間存在比擬關(guān)系的假設(shè).Van Driest[46]在1952 年證明了比擬關(guān)系在層流邊界層中確實是近似成立的;當(dāng)高溫真實氣體效應(yīng)顯著時,Cohen[47]給出離解平衡氣體模型參考溫度的關(guān)聯(lián)式,并據(jù)此修正了離解平衡氣體模型的雷諾比擬關(guān)系;Debrestian 和Anderson[48]以及Ott 和Anderson[49]發(fā)現(xiàn),對于化學(xué)非平衡氣體,可以根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果引入關(guān)聯(lián)因子,通過參考溫度方法和雷諾比擬關(guān)系仍然能夠近似預(yù)測壁面摩阻和熱流.綜合來看,前人對于參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的研究大多是基于數(shù)值計算或?qū)嶒灲Y(jié)果,給出后驗性的關(guān)聯(lián)式.對于高溫真實氣體效應(yīng)的討論也多局限于參數(shù)的擬合與修正,缺乏對物理機(jī)理的深入討論.特別是,對于目前關(guān)注的振動非平衡的強(qiáng)剪切流動,仍然缺少參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的相關(guān)理論研究.

本文將基于庫埃特流動模型,研究高超聲速剪切流動中動量和能量的輸運規(guī)律.首先,在量熱完全氣體模型下推導(dǎo)得到了可壓縮庫埃特流動的參考溫度,揭示了可壓縮性對強(qiáng)剪切流動摩阻和熱流的影響機(jī)理.然后討論了振動非平衡效應(yīng)對于參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的影響,進(jìn)而給出了振動非平衡氣體庫埃特流動的摩阻和熱流預(yù)測理論.最后,采用DSMC 數(shù)值方法[25],對模型理論進(jìn)行了驗證,并討論了非平衡傳熱特征.

1 研究思路與方法

1.1 流動模型

平面庫埃特流動是經(jīng)典的剪切流動模型,如圖2所示.由兩個做相對平行運動的無限大平板驅(qū)動,在剪切應(yīng)力作用下,足夠長時間后形成的一維定常流動,流動參數(shù)只沿壁面法向(y方向)變化.設(shè)兩平板之間的間距為H,下平板為固定壁面,速度為 0,溫度為Tw;上平板切向速度為U∞,溫度為T∞,約定上平板的溫度高于下平板,即T∞＞Tw.根據(jù)高超聲速飛行器的實際飛行狀態(tài),庫埃特流動邊界條件的取值限定在一定范圍之內(nèi),上邊界速度U∞= 2～6 km/s,溫度T∞=1000 K～4000 K,下邊界溫度Tw=300 K～2000 K .由于振動非平衡流動過程滿足二體碰撞相似律[15],數(shù)值模擬與真實流動的稀薄程度保持一致,Knudsen 數(shù)Kn=10-4～10-2,表明整體流動處于近連續(xù)區(qū).

圖2 庫埃特流動示意圖Fig.2 Schematic of the Couette flow

1.2 物理分析

庫埃特流動中的能量傳遞與轉(zhuǎn)化的過程可以用模型示意圖3 說明.對于量熱完全氣體,庫埃特流動的傳熱過程可以分為兩部分,一部分是由上下邊界溫度差或內(nèi)能差(etr,∞-etr,w)驅(qū)動的導(dǎo)熱過程,能量以氣體分子平轉(zhuǎn)動能etr的形式由上邊界傳遞到下邊界;另一部分是剪切黏性耗散產(chǎn)生的熱量evis,這部分能量會同時向上下邊界傳遞.同時,黏性耗散產(chǎn)生的熱量引起流場中溫度升高,氣體熱物性參數(shù)也會發(fā)生相應(yīng)變化.

圖3 熱完全氣體庫埃特流動中能量傳遞與轉(zhuǎn)化的廣義模型Fig.3 General model of the energy transfer and conversion in the Couette flow of a thermally perfect gas

圖4 中藍(lán)色實線展示了可壓縮庫埃特流動的速度u、溫度T、黏性系數(shù) μ 的分布剖面.由于黏性系數(shù)隨溫度發(fā)生變化,速度已經(jīng)不再是線性分布.參考溫度方法將可壓縮流動與某一虛擬的等溫不可壓縮流動等效,該不可壓縮庫埃特流動各物理量的分布剖面如圖4 中藍(lán)色虛線所示.其虛擬溫度場是均勻的,由于庫埃特流動中壓強(qiáng)不變,因此虛擬密度場也是均勻的.流動可壓縮性的影響被等效地歸結(jié)到參考溫度的變化上,參考溫度相較T∞變化得越多,說明可壓縮性對流動的影響越大.

圖4 高超聲速庫埃特流動剖面示意圖Fig.4 Profiles of the hypersonic Couette flow

進(jìn)一步,當(dāng)流場中溫度升高后,高溫真實氣體效應(yīng)逐漸顯著.本文只關(guān)注振動非平衡效應(yīng)對流動和傳熱的影響,不考慮化學(xué)反應(yīng)過程,并假設(shè)氣體分子的平動與轉(zhuǎn)動模態(tài)一直處于平衡狀態(tài).當(dāng)氣體分子的振動模態(tài)激發(fā)后,振動能也將參與到傳熱過程中,如圖3 右半部分所示.一方面,上下邊界的振動能之差(ev,∞-ev,w)驅(qū)動振動能導(dǎo)熱過程;另一方面,流場中平轉(zhuǎn)動能etr與振動能ev之間還存在著能量交換,即振動弛豫過程.一般來說,振動能導(dǎo)熱過程與振動弛豫過程速率的差異將導(dǎo)致流動處于振動非平衡狀態(tài).由于氣體分子振動模態(tài)的激發(fā),平轉(zhuǎn)動溫度剖面小幅度降低(如圖4(b)中紅色實線所示),此時等效不可壓縮流動的參考溫度需要進(jìn)行二次修正,修正后的參考溫度與振動非平衡程度相關(guān),振動凍結(jié)極限下修正量為0,平衡極限下修正量則最大.

在高超聲速庫埃特流動中,流動可壓縮效應(yīng)對參考溫度的影響是主要的,振動非平衡效應(yīng)在此基礎(chǔ)上疊加了小幅度修正.采用修正后的參考溫度,就可以根據(jù)不可壓縮流動理論得到實際可壓縮流動情況下的壁面摩阻.若要得到壁面熱流,除了討論摩阻的修正,還需要確認(rèn)雷諾比擬關(guān)系是否受振動非平衡效應(yīng)影響.通過提煉關(guān)鍵物理過程的無量綱判據(jù),最終可建立完備的振動非平衡庫埃特流動動量、能量輸運的理論體系,為進(jìn)一步研究更復(fù)雜強(qiáng)剪切流動模型的氣動力/熱規(guī)律奠定基礎(chǔ).

1.3 計算方法

DSMC 方法是一種基于微觀分子運動論的唯象物理模擬方法,是目前稀薄流動領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛、公認(rèn)可靠的數(shù)值研究手段.本文將采用Bird 開發(fā)的開源DSMC 程序DS2 V[25]對提出的預(yù)測理論進(jìn)行驗證和標(biāo)定.在計算中,選取氮氣 N2流動作為研究對象,分子碰撞模型采用了變徑硬球模型,黏性-溫度指數(shù)律的冪指數(shù) ω=0.74 .內(nèi)能弛豫模型采用廣義的Larsen-Borgnakke 模型,其中轉(zhuǎn)動能是連續(xù)的,轉(zhuǎn)動弛豫數(shù)為5;振動能描述采用間斷的量子態(tài)能級模型,振動弛豫數(shù)根據(jù)碰撞對的相對碰撞能和振動能來計算.二維計算域的左右為周期性邊界條件,上下邊界設(shè)為壁面,氣體分子與壁面之間為完全漫反射,且能量完全適應(yīng).計算網(wǎng)格為矩形網(wǎng)格,計算過程中程序自動根據(jù)當(dāng)?shù)氐南”〕潭冗M(jìn)行加密,計算時間步長小于分子平均碰撞時間的三分之一,每個網(wǎng)格內(nèi)的分子數(shù)為 10～20 個,滿足了DSMC 數(shù)值模擬的標(biāo)準(zhǔn).

2 理論分析與驗證

2.1 量熱完全氣體的可壓縮修正

對于量熱完全氣體,庫埃特流動的動量能量守恒方程及其邊界條件為

其中 μ和K分別表示氣體的黏性系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù).引入無量綱變換

方程可以改寫為無量綱的形式

其中無量綱的Brinkman 數(shù)Br=Pr·Ec,Prandtl 數(shù)Pr=cpμ∞/K∞表征氣體動量和能量輸運能力的相對強(qiáng)弱,Eckert 數(shù)表征剪切耗散效應(yīng)的相對大小,cp是氣體的定壓比熱容.邊界條件無量綱化得到的參數(shù)Rt=Tw/T∞表征了純導(dǎo)熱過程的強(qiáng)度.通過無量綱分析可知,量熱完全氣體的可壓縮庫埃特流動完全由特征參數(shù)Br和Rt控制.

黏性系數(shù) μ 和導(dǎo)熱系數(shù)K隨溫度的變化可以采用冪律表示為

由于冪次形式的特殊性,可壓縮庫埃特流動速度、溫度剖面的理論解難以得到顯式表達(dá)式,但可以通過數(shù)值計算得到其精確解,如圖5 中黑色實線所示.圖中符號點代表DSMC 的計算結(jié)果,兩個算例的邊界條件(U∞,Tw,T∞)不同,但無量綱參數(shù)Br和Rt相同.

從圖5 可以看出,相同的無量綱參數(shù)的算例有相同的歸一化速度、溫度剖面,說明對于量熱完全氣體的可壓縮庫埃特流動,其控制參數(shù)確實是Br和Rt.另一方面,DSMC 模擬的結(jié)果和精確解吻合得很好,說明DSMC 作為數(shù)值計算工具在當(dāng)前問題中具有足夠的精度,可以用于進(jìn)一步的討論分析.

圖5 量熱完全氣體庫埃特流動剖面Fig.5 Profiles of the Couette flow of a calorically perfect gas

下壁面的摩阻系數(shù)Cf為

其中,τw是下壁面切應(yīng)力,ρ*是可壓縮庫埃特流動的平均密度,雷諾數(shù).φc表征了可壓縮條件下壁面摩阻系數(shù)相較于不可壓縮流動情況Cf,inc=2/Re∞的修正,不妨將其定義為可壓縮修正因子.根據(jù)前人對可壓縮庫埃特流動的研究[35],當(dāng)黏性系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)與溫度之間滿足冪次關(guān)系(3)時,可壓縮修正因子 φc可以表示為特征參數(shù)Br和Rt的積分形式

可壓縮庫埃特流動的壁面熱流可以根據(jù)摩阻系數(shù)以及雷諾比擬關(guān)系得到.對于量熱完全氣體模型,庫埃特流動中速度與溫度滿足能量積分關(guān)系[35]

其中qw為下壁面的熱流.引入Stanton 數(shù)

因此,可壓縮庫埃特流動的Stanton 數(shù)可以表示為

式(4)和式(8)分別給出了量熱完全氣體模型下可壓縮庫埃特流動的摩阻與熱流,然而可壓縮修正因子 φc的積分形式(5)求解不便.工程上經(jīng)常采用參考溫度方法來估計邊界層流動的可壓縮效應(yīng),本文借鑒這一思想來考慮可壓縮性對庫埃特流動與傳熱的影響.為了盡可能準(zhǔn)確地估計流動可壓縮性對熱物性參數(shù)的影響,需要參考溫度能夠反應(yīng)流場的全局溫度,前人利用溫度剖面的積分平均值來近似估計[42]

代入溫度T與速度u的能量積分關(guān)系式(6),積分后得到可壓縮庫埃特流動的參考溫度

可壓縮修正因子φc可以用參考溫度表示

圖6 顯示了可壓縮修正因子 φc隨控制參數(shù)Br和Rt變化的等值線圖.當(dāng)Br＞6(1-Rt) 時,可壓縮修正因子 φc＞1,剪切耗散作用占優(yōu),摩阻因流動的可壓縮性變大;當(dāng)Br＜6(1-Rt) 時,可壓縮修正因子φc＜1,上下邊界溫差造成的熱傳導(dǎo)作用占優(yōu),摩阻因流動的可壓縮性變小.當(dāng)Br≈6(1-Rt) 時,可壓縮修正因子 φc≈1,此時剪切耗散作用和邊界導(dǎo)熱作用相互抵消,可壓縮性對熱物性參數(shù)的修正量為 0 .通過參考溫度方法得到的近似修正理論與此規(guī)律一致,圖6 中虛線為近似修正理論(11)給出的修正分界線Br=6(1-Rt) ,與精確解的等值線 φc=1 幾乎重合,說明了參考溫度公式(10)的合理性.

圖6 可壓縮修正因子 φc 的等值線圖Fig.6 Contour map of the compressibility correction factor φc

圖7 顯示了量熱完全氣體庫埃特流動摩阻和熱流的理論預(yù)測值與DSMC 計算值的對比圖,實線為積分形式的精確數(shù)值解式(5),虛線為參考溫度方法得到的近似理論解式(11),符號點是DSMC 數(shù)值模擬結(jié)果,其中實心和空心符號分別表示根據(jù)摩阻(式(4))和熱流(式(8))結(jié)果推出的相應(yīng)數(shù)值.在不同的溫度比Rt下,摩阻和熱流隨剪切強(qiáng)度變化的規(guī)律都與預(yù)測相符,相對誤差在2%以內(nèi).

圖7 量熱完全氣體可壓縮修正因子近似理論解與精確解和DSMC 數(shù)據(jù)之間的對比Fig.7 Theoretical prediction of compressibility correction factorφc under calorically perfect gas model and its comparison with the exact solution and DSMC results

2.2 振動非平衡對參考溫度的影響

正如前面提到的那樣,高超聲速庫埃特流動除了需要考慮流動可壓縮性帶來的影響外,還需要考慮流場溫度升高引起的高溫真實氣體效應(yīng)的影響.對于振動模態(tài)激發(fā)的熱完全氣體,庫埃特流動的控制方程組為

其中,氣體平轉(zhuǎn)動模態(tài)的焓h=cpT,其中定壓比熱容cp仍沿用了量熱完全氣體模型的定義;氣體的振動能,其中 θv和R分別是振動特征溫度和氣體常數(shù)(對于氮氣,θv=3371K,R=;ev,e是平轉(zhuǎn)動溫度T對應(yīng)的平衡振動能;振動弛豫特征時間[15]τv=C1/p·exp(C2/T)1/3(對于氮氣,C1=7.12×10-3atm·μs(1 atm=1×105Pa),C2=1.91×106K).振動能Prandtl 數(shù)Prv表征氣體動量和振動能輸運能力的相對強(qiáng)弱[50].為了找到振動非平衡庫埃特流動中的控制參數(shù),對方程進(jìn)行無量綱化,引入無量綱變換如下

方程中除了表征可壓縮效應(yīng)的控制參數(shù)Br和Rt外,還出現(xiàn)了新的無量綱參數(shù).=Pr/Prv表征氣體分子平轉(zhuǎn)動模態(tài)與振動模態(tài)導(dǎo)熱能力之比,對于氮氣=0.9.Damk?hler 數(shù)表征振動能導(dǎo)熱過程與振動能弛豫過程的特征時間之比,其中 ρH2Prv/μ 衡量了氣體分子振動能導(dǎo)熱特征時間[51].ηv=(ev,∞-ev,w)/(haw-hw) 表征氣體分子振動與平轉(zhuǎn)動模態(tài)導(dǎo)熱驅(qū)動勢之比.

特別地,特征參數(shù)Dav,r是當(dāng)前問題中的振動非平衡判據(jù).當(dāng)Dav,r→0 時,振動趨近于凍結(jié)極限;當(dāng)Dav,r→∞時,振動趨近于平衡極限;當(dāng)Dav,r～1 時,振動處于非平衡狀態(tài).考慮到公式中涉及的熱力學(xué)參數(shù)p和黏性系數(shù) μ 都會隨著溫度變化,不妨用參考溫度對應(yīng)的不可壓縮流動狀態(tài)來估計,取其參考值p*和.經(jīng)過整理,振動非平衡判據(jù)Dav,r表示為

更進(jìn)一步地,為了賦予Dav,r定量的物理意義,以便預(yù)測振動非平衡效應(yīng)的影響,引入比例系數(shù)A,通過后文DSMC 數(shù)據(jù)可標(biāo)定A≈0.053 .

氣體分子的振動模態(tài)激發(fā)會使得振動溫度升高,平轉(zhuǎn)動溫度降低,如圖8 所示.氣體的熱物性參數(shù)隨平轉(zhuǎn)動溫度而變化,為了定量描述這一變化,有必要根據(jù)振動非平衡程度對可壓縮因子 φc進(jìn)行修正.

圖8 熱完全氣體可壓縮庫埃特流動的溫度剖面Fig.8 Temperature profiles of the Couette flow of a thermally perfect gas

在振動凍結(jié)極限條件下,平轉(zhuǎn)動溫度不受振動模態(tài)的影響,不需要修正;在振動平衡極限條件下,氣體分子的平轉(zhuǎn)動能會最大程度地傳遞給振動能,此時對熱物性參數(shù)的影響最大,所以需要先考慮振動平衡極限下的修正.考慮到在等效不可壓縮庫埃特流動中溫度均勻分布,可以根據(jù)能量守恒關(guān)系得到一種可行的求解振動平衡極限下的參考溫度的方法,即

其中,ζv(Tv)=(2θv/Tv)/[exp(θv/Tv)-1] 為氣體分子的振動自由度.對于振動非平衡狀態(tài),其參考溫度介于凍結(jié)極限和平衡極限之間.可以發(fā)現(xiàn),凍結(jié)和平衡極限的加權(quán)平均可以很好地描述振動非平衡狀態(tài)下的參考溫度,即

相應(yīng)的可壓縮修正因子為

圖9 可壓縮修正因子隨振動非平衡判據(jù)的歸一化變化Fig.9 Normalized variation of compressibility correction factor with the vibrational nonequilibrium criterion

2.3 振動非平衡對雷諾比擬關(guān)系的影響

對于量熱完全氣體模型,庫埃特流動的壁面摩阻系數(shù)Cf和Stanton 數(shù)S t之間存在雷諾比擬關(guān)系(7).對于熱完全氣體,考慮氣體分子振動模態(tài)激發(fā)后,也能相應(yīng)得到壁面摩阻和熱流之間的能量積分關(guān)系

為了更好地體現(xiàn)振動激發(fā)對雷諾比擬關(guān)系的影響,Stanton 數(shù)的定義仍然采用量熱完全氣體模型的焓差 (haw-hw) 來無量綱化

從而熱完全氣體庫埃特流動的雷諾比擬關(guān)系為

式(20)說明,熱流和摩阻之間的比擬關(guān)系只與各個內(nèi)能模態(tài)的熱流驅(qū)動勢之比 ηv有關(guān),而與流動振動非平衡程度無關(guān).這是因為,本文假設(shè)氣體與壁面碰撞過程中,各個模態(tài)的能量都完全適應(yīng).流場中的能量無論是平轉(zhuǎn)動能的形式還是振動能的形式都能完全地參與壁面熱交換過程,在與壁面碰撞過程中各種模態(tài)的能量沒有差異,總熱流只與總的熱流驅(qū)動勢相關(guān).另一方面,由于振動激發(fā)引起的氣體黏性系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)的修正是一致的,二者均與溫度呈相同冪次關(guān)系,在比擬關(guān)系中這一影響相互抵消.因此,對于考慮振動激發(fā)的熱完全氣體,由于氣體分子振動模態(tài)與平轉(zhuǎn)動模態(tài)的導(dǎo)熱能力有所差異,雷諾比擬關(guān)系與總熱流驅(qū)動勢中振動能的占比相關(guān),與流動非平衡程度無關(guān).

圖10 中,虛線和實線分別代表量熱完全氣體和熱完全氣體的雷諾比擬關(guān)系(式(7)和式(20)),符號點表示DSMC 的數(shù)值計算結(jié)果,空心符號和實心符號代表的算例一一對應(yīng),二者流動邊界條件完全一致,只有氣體模型的差異.從圖中可以看出,理論預(yù)測的結(jié)果與DSMC 數(shù)值計算的結(jié)果吻合得較好,從而能夠驗證理論的正確性.

圖10 不同氣體模型下庫埃特流動的雷諾比擬關(guān)系Fig.10 Reynolds analogy of the Couette flows under different gas models

2.4 高超聲速庫埃特流動的摩阻和熱流

通過前文的分析可知,在高超聲速庫埃特流動中,需要考慮剪切流動中上下邊界溫度差異引起的導(dǎo)熱過程、剪切運動造成的黏性耗散過程,以及振動非平衡過程的影響.通過借鑒參考溫度方法的思想,氣體熱物性參數(shù)的變化都被歸結(jié)到無量綱的可壓縮修正因子 φ 上.對于量熱完全氣體,修正因子φc(式(11))只與流動控制參數(shù)Br和Rt相關(guān).對于振動激發(fā)的熱完全氣體,振動非平衡的可壓縮因子φv,ne需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行二次修正,修正幅度由振動非平衡判據(jù)Dav,r決定(式(16)).從而,高超聲速庫埃特流動的壁面摩阻系數(shù)Cf為

再結(jié)合熱完全氣體庫埃特流動的雷諾比擬關(guān)系式(20),可求得表征壁面熱流的S t數(shù)

圖11 和圖12 分別展示了對于高超聲速庫埃特流動的摩阻和熱流的理論預(yù)測結(jié)果與DSMC 數(shù)值結(jié)果的對比圖.可以看出,無論是量熱完全氣體還是考慮振動非平衡的熱完全氣體,在不同的邊界條件下的理論預(yù)測結(jié)果與數(shù)值結(jié)果都能吻合得較好.說明本文提出的無量綱參數(shù)能夠很好地描述不同條件下的可壓縮效應(yīng)以及振動非平衡效應(yīng),推導(dǎo)得到的參考溫度以及可壓縮修正因子也能準(zhǔn)確地預(yù)測高超聲速庫埃特流動的摩阻和熱流.

圖11 不同條件下庫埃特流動壁面摩阻的理論預(yù)測和DSMC 數(shù)值結(jié)果的對比Fig.11 Comparison of the theoretical prediction and DSMC results of the skin-friction of Couette flows

圖12 不同條件下庫埃特流動壁面熱流的理論預(yù)測和DSMC 數(shù)值結(jié)果的對比Fig.12 Comparison of the theoretical prediction and DSMC results of the heat flux of Couette flows

最后需要說明的是,本文上述分析討論僅適用于近連續(xù)區(qū),當(dāng)流動更加稀薄后,新的流動物理現(xiàn)象會顯著影響氣動力/熱的預(yù)測.一方面,稀薄流動中壁面的速度滑移、溫度跳躍現(xiàn)象顯著,對于參考溫度和雷諾比擬關(guān)系的影響需要重新考慮[52];另一方面,根據(jù)之前的研究結(jié)果[31],在流動更加稀薄后,氣體分子與壁面碰撞時,平轉(zhuǎn)動模態(tài)很快與壁面之間達(dá)到平衡,而振動模態(tài)往往需要更多的碰撞才能與壁面達(dá)到熱平衡,壁面上存在振動能適應(yīng)非平衡過程.這一過程對摩阻影響不大,但對熱流影響較為顯著,需要提出新的非平衡判據(jù)來討論.可以看到,當(dāng)考慮極端環(huán)境下的復(fù)雜介質(zhì)和復(fù)雜邊界條件時,即使極為簡單的庫埃特流動模型,也將表現(xiàn)出豐富且多變的非平衡過程,需留待后續(xù)研究中進(jìn)一步完善.

3 結(jié)論

本文以新型高超聲速飛行器氣動力/熱精確預(yù)測為背景,研究了高溫氣體分子振動非平衡效應(yīng)對典型強(qiáng)剪切流動模型-庫埃特流動及其傳熱特征的影響.通過物理建模與理論分析,提出了高溫真實氣體庫埃特流動的參考溫度表達(dá)式和振動非平衡判據(jù),進(jìn)而構(gòu)建了該流動模型摩擦阻力和熱流的理論預(yù)測公式,并采用DSMC 數(shù)值方法對之進(jìn)行了驗證.研究發(fā)現(xiàn),流動可壓縮性和分子振動非平衡效應(yīng)對于氣體熱物性參數(shù)的影響都可以通過參考溫度模型進(jìn)行修正;對于振動激發(fā)的熱完全氣體模型,雷諾比擬關(guān)系仍然成立,只是比擬系數(shù)需要考慮振動能傳熱的影響.通過參考溫度方法和修正的雷諾比擬關(guān)系可以很好地預(yù)測高超聲速庫埃特流動的氣動力/熱特征.該研究豐富了對非平衡流動物理的認(rèn)識,對研究更復(fù)雜流動模型的非平衡傳熱問題及工程快速估算都具有參考價值.