李佳霖 * 趙 劍 孫 直 *,**, 郭杏林 * 郭 旭 *,**,

* (大連理工大學工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室,遼寧大連 116024)

? (西安航天動力研究所,陜西西安 710100)

** (大連理工大學寧波研究院,浙江寧波 315016)

引言

隨著載人航天、探月、北斗組網(wǎng)和火星探測等重要工程的建設(shè),我國航天事業(yè)進入到了自主研發(fā)的高速發(fā)展期.運載火箭是航天事業(yè)發(fā)展的重要基石,作為航天器進入空間的主要載具,其技術(shù)水平?jīng)Q定了進一步探索廣闊空間的能力,對我國太空戰(zhàn)略發(fā)展有著重要意義.運載能力是運載火箭最重要的參數(shù)指標,主要受結(jié)構(gòu)質(zhì)量比、發(fā)動機比沖、速度損失和級間比等因素影響[1-2].我國航天目前亦在研制新一代運載火箭,以尋求更優(yōu)的箭體尺寸和更高的發(fā)動機推力.在運載火箭構(gòu)型與動力配置已基本確定的情況下,結(jié)構(gòu)部件輕量化設(shè)計(如,運載火箭的網(wǎng)格加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化[3-5]、發(fā)動機結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計[6-9]、捆綁式火箭連接及尺寸優(yōu)化設(shè)計[10-12]、輕質(zhì)箭體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[13]、雙推力室機架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[14-15]等)可有效降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量、提高發(fā)動機推重比,進而改進火箭的運載能力.傳力機架結(jié)構(gòu)作為運載火箭發(fā)動機與箭體之間連接的關(guān)鍵部件,其剛度對發(fā)動機推力載荷能否有效傳遞至箭體起著決定性作用,其重量又直接影響運載火箭發(fā)動機的推重比(發(fā)動機推重比越大,火箭運載能力越強),因此傳力機架結(jié)構(gòu)在輕量化設(shè)計方面有著極高的要求.

拓撲優(yōu)化技術(shù)作為近年來在工程結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計方面的新興技術(shù)手段,在航空航天、車輛工程、海洋工程、土木水利、材料工程和生物工程等多個領(lǐng)域都取得了較為廣泛的應(yīng)用,在各類高端裝備設(shè)計與制造方面表現(xiàn)尤為活躍.拓撲優(yōu)化技術(shù)的實現(xiàn)方式與傳統(tǒng)輕量化設(shè)計的反復試錯法不同,通過在給定的設(shè)計區(qū)域內(nèi)施加目標函數(shù)和約束條件,尋求在該區(qū)域下最優(yōu)的材料分布和傳力路徑,進而使材料利用率達到最高.目前,拓撲優(yōu)化技術(shù)在運載火箭的局部結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中已取得了較為顯著的成果,在變密度法(solid isotropic material with penalization,SIMP)[16-17]的框架下,研究工作者實現(xiàn)了燃料貯箱短殼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計[18]、捆綁式火箭機構(gòu)的輕量化設(shè)計[19]、連接支撐結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)拓撲優(yōu)化設(shè)計[20]、螺栓法蘭密封結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計[21]、火箭發(fā)動機結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化[22]等.我國新一代運載火箭“長征五號”在設(shè)計中就采用了拓撲優(yōu)化的理論與方法,實現(xiàn)了整體的結(jié)構(gòu)優(yōu)化,成功減重645 kg,單發(fā)火箭的發(fā)射成本節(jié)省約2000 萬.

當前運載火箭部分結(jié)構(gòu)設(shè)計所使用的拓撲優(yōu)化方法主要是基于變密度法的隱式框架,但該方法通常存在棋盤格、灰度單元、優(yōu)化結(jié)構(gòu)無法與CAD/CAE系統(tǒng)直接連接等問題[23].移動可變形組件法(moving morphable component,MMC)是郭旭教授等[24-26]于2014 年首次提出的一種顯式框架下的拓撲優(yōu)化方法,與傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化方法相比,具有設(shè)計變量少、顯式的幾何信息、與商業(yè)有限元軟件直接連接等優(yōu)勢.本文基于MMC 框架,提出了一種運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計方法,在保證結(jié)構(gòu)重量(給定體積分數(shù))的情況下,實現(xiàn)傳力機架結(jié)構(gòu)的剛度最大化設(shè)計.這種設(shè)計方法不僅可以保障運載火箭發(fā)動機的推重比、提高運載火箭傳力機架的穩(wěn)定性,還對未來進行標準型號機架設(shè)計以及可重復使用式運載火箭[27]的研究具有十分重要的意義.

1 運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題描述

1.1 傳力機架結(jié)構(gòu)設(shè)計要求

傳力機架是發(fā)動機與箭體連接的重要部件,其作用貫穿運載火箭發(fā)射的整個階段,為將發(fā)動機推力總載荷有效傳遞至錐段、箭體,傳力機架結(jié)構(gòu)應(yīng)具備以下幾個設(shè)計要求.

(1)剛度要求.傳力機架作為傳遞發(fā)動機推力載荷的重要載體,需承擔運載火箭發(fā)射時發(fā)動機產(chǎn)生的全部推力,其剛度是結(jié)構(gòu)設(shè)計時考慮的重要設(shè)計指標.若傳力機架剛度較低,則會在運載火箭發(fā)射的瞬間因無法承受發(fā)動機產(chǎn)生的全部載荷而使推力載荷直接作用到箭體內(nèi)部設(shè)備,進而造成火箭損壞或重大爆炸事故.在傳力機架拓撲優(yōu)化設(shè)計中,剛度越高越能提高運載火箭發(fā)射的安全性.

(2)質(zhì)量要求.傳力機架結(jié)構(gòu)設(shè)計對質(zhì)量指標的要求是及其苛刻的,機架質(zhì)量直接影響了運載火箭的運載能力和質(zhì)量比.若傳力機架質(zhì)量過高,即便滿足結(jié)構(gòu)剛度要求,也會增加運載火箭的發(fā)射成本,還會使已設(shè)計完善的發(fā)動機無法達到當前運載火箭所需的推重比,致使發(fā)射任務(wù)失敗.在傳力機架拓撲優(yōu)化設(shè)計中,質(zhì)量越輕越能提高運載火箭的運載能力.

(3)設(shè)計空間要求.運載火箭內(nèi)部管道和組件排布復雜、尺寸位置固定,且不可避免地會穿過傳力機架,其所在區(qū)域均為不可設(shè)計區(qū)域,這對傳力機架設(shè)計空間的選取提出了較高的要求.

(4)制造要求.優(yōu)化出的新結(jié)構(gòu)如果難以生產(chǎn)加工或帶來了昂貴的生產(chǎn)成本,就喪失了其工程應(yīng)用價值.在傳力機架拓撲優(yōu)化設(shè)計時,根據(jù)生產(chǎn)加工條件加入適當?shù)闹圃旒s束,具有重要的工程意義.

考慮到上述傳力機架結(jié)構(gòu)的設(shè)計要求之后,再進行結(jié)構(gòu)的輕量化研究.

1.2 MMC 拓撲優(yōu)化方法簡介

MMC 方法采用具有顯式幾何表達信息的組件作為設(shè)計的基礎(chǔ)單元,通過組件的移動、旋轉(zhuǎn)、交叉、覆蓋等方式實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓撲變化,如圖1 所示.

圖1 MMC 方法示意圖Fig.1 The sketch map of MMC method

在MMC 框架下,采用拓撲描述函數(shù) φs,來描述設(shè)計域中材料的分布

式中,D表示預(yù)先給定的設(shè)計域,Ωs表示結(jié)構(gòu)拓撲在設(shè)計域所占據(jù)的區(qū)域,φs(x) 表示由各個組件構(gòu)成的整體結(jié)構(gòu)的拓撲描述函數(shù),即

其中,nc表示設(shè)計域內(nèi)組件的個數(shù),φi(x),i=1,2,···,nc表示第i個組件的拓撲描述函數(shù).根據(jù)文獻[28-30],拓撲描述函數(shù)的形式一般有兩種形式,即歐拉描述和拉格朗日描述.本文采用基于歐拉描述形式來表示一個三維立方體組件,故第i個組件的拓撲描述函數(shù)為

其中,p為控制超橢球形狀的參數(shù),本文p=6[26].對于式(3)和式(4)中,L1i,L2i,L3i和 (x0i,y0i,z0i) 分別表示為組件在x方向,y方向和z方向的半長以及中心坐標,如圖2 所示.在式(6)中,α ,β和 γ 分別表示組件由全局坐標系O-x-y-z到局部坐標系O′-x′-y′-z′的轉(zhuǎn)角,轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖3 所示.本文選取以上描述形式的結(jié)構(gòu)組件用于運載火箭傳力機架的拓撲優(yōu)化設(shè)計中.

圖2 三維組件的幾何描述Fig.2 The geometry description of a three-dimensional structural component

圖3 坐標變換示意圖Fig.3 A schematic illustration of the coordinate transformation

1.3 傳力機架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的問題列式

根據(jù)上述對運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)的設(shè)計要求與MMC 拓撲優(yōu)化框架的描述,當前問題的目標函數(shù)可定義為剛度最大化(柔度最小化),約束條件需施加質(zhì)量約束,考慮到約束的敏感程度,將其等效的替換為體積分數(shù).因此單工況作用下的傳力機架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的問題列式(離散形式)可表示為

其中,Di=(x0i,y0i,z0i,L1i,L2i,L3i,sai,sbi,sti)T表示第i個組件設(shè)計變量的向量.對于式(7)中,f,K,u,,和UD分別表示傳力機架受到的外載荷、結(jié)構(gòu)的剛度陣、傳力機架的結(jié)構(gòu)位移場、狄利克雷邊界Γu上給定的位移、設(shè)計域內(nèi)實體材料最大體積上限和設(shè)計變量的可行域.

在運載火箭發(fā)射過程中,傳力機架往往不在單一工況下工作,多工況的傳力機架問題列式可改寫為:

其中,Cj,uj和fj分別表示在第j個工況作用下,結(jié)構(gòu)的柔度、位移響應(yīng)和外載荷,wj表示工況為第j個工況時的權(quán)重因子(本文wj=1),N表示工況總數(shù).

2 運載火箭傳力機架的數(shù)值求解

2.1 傳力機架的有限元分析

為保證有限元分析結(jié)果更加貼合實際工程情況,需采用主流的有限元商業(yè)軟件實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的仿真分析.在拓撲優(yōu)化過程中,由于設(shè)計域內(nèi)材料的改變,結(jié)構(gòu)的剛度陣K可以表示為

其中,Ks表示實體單元的單元剛度陣,ρe表示第e個單元實體材料占據(jù)的體積分數(shù),即[31]

其中,ε和 δ 為兩個較小的正數(shù),分別用于控制Heaviside函數(shù)0～1 取值之間過渡區(qū)的寬度以及避免結(jié)構(gòu)剛度陣的奇異.

2.2 靈敏度分析

根據(jù)文獻[25-26],在單一工況作用下,其目標函數(shù)C對設(shè)計變量d(如x0,α 等)的偏導,可以表示為

其中,ue和Ke分別表示單元位移和單元剛度.同理,對于多工況的情況下,加權(quán)形式的目標函數(shù)CA的敏度,可寫為

此外,對于體積分數(shù)的敏度如下

3 運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計

3.1 優(yōu)化設(shè)計流程

基于上述理論基礎(chǔ),建立運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計平臺.設(shè)計流程主要分為3 個部分,如圖4 所示,分別為前處理階段、優(yōu)化預(yù)設(shè)階段和拓撲優(yōu)化階段,具體如下:

圖4 傳力機架結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計流程Fig.4 Lightweight design process of transmission frame structure

(1)前處理階段,將優(yōu)化設(shè)計的幾何模型導入到相應(yīng)有限元軟件中,劃分有限元網(wǎng)格,施加載荷邊界條件,確定材料屬性,最終導出CAE 模型文件;

(2)優(yōu)化預(yù)設(shè)階段,確定當前優(yōu)化問題的目標函數(shù),定義設(shè)計約束,根據(jù)設(shè)計域的形狀布置相應(yīng)的MMC 初始組件,必要時施加相關(guān)制造約束;

(3)拓撲優(yōu)化階段,每一迭代步均通過主流商業(yè)軟件進行有限元分析,并采用移動漸近線算法(method of moving asymptotes,MMA)[32]更新組件的設(shè)計變量,最后根據(jù)收斂條件判斷是否結(jié)束優(yōu)化.

3.2 測試算例

根據(jù)運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)的限界以及相關(guān)接口位置的資料,得到傳力機架的設(shè)計空間,其幾何模型如圖5 所示.根據(jù)傳力機架各個部分的結(jié)構(gòu)設(shè)計要求,將模型劃分為多個區(qū)域,即設(shè)計區(qū)域(見圖5綠色部分)和不可設(shè)計區(qū)域(見圖5 紅色部分).基于MMC 框架的拓撲優(yōu)化設(shè)計平臺,對設(shè)計空間的幾何模型劃分有限元網(wǎng)格,為保證網(wǎng)格可以準確地反應(yīng)設(shè)計空間的幾何特征,共劃分出1 577 532 個節(jié)點和1 501 352 個六面體單元.此外,考慮到實際加工生產(chǎn)的成本,需要對傳力機架結(jié)構(gòu)施加對稱性制造約束.

現(xiàn)有傳力機架結(jié)構(gòu)在工程中常用的材料為鋼材,其相應(yīng)材料屬性分別為楊氏模量E=200 GPa、泊松比 ν=0.3和密度 ρ=7850 kg/m3.通過分析運載火箭的工作狀態(tài),傳力機架常常承受兩種載荷工況,即零位狀態(tài)和搖擺狀態(tài).在這兩種工作狀態(tài)下,為了簡化分析流程,將傳力機架與錐段相連接位置固定,其載荷邊界條件如圖5 所示.在多輪優(yōu)化測試分析下,最終確定設(shè)計域內(nèi)材料的體積分數(shù)為0.18.設(shè)計域內(nèi),初始組件的布局情況如圖6 藍色部分所示,其中組件數(shù)目為384 根,設(shè)計變量數(shù)目僅為3456.

圖5 傳力機架的設(shè)計空間(單位:mm)Fig.5 Design space for the transmission frame structure (unit:mm)

圖6 傳力機架的初始組件布局Fig.6 The initial design for the transmission frame structure

按照上述說明,最終的優(yōu)化結(jié)果如圖7 所示.MMC優(yōu)化后的結(jié)果與初始設(shè)計的傳力機架有較為明顯的差別,拓撲結(jié)果路徑清晰,幾乎不存在過多的中間密度單元且生成的結(jié)構(gòu)分布合理.中間載荷區(qū)域與錐段相連的位置形成了翼板結(jié)構(gòu),進一步提高了傳力機架在軸向推力作用下的抗彎能力.在優(yōu)化迭代過程中,目標函數(shù)和體積分數(shù)的變化如圖8 所示,目標函數(shù)在前十幾步快速下降后趨于平穩(wěn)并逐漸收斂.

圖7 傳力機架的優(yōu)化結(jié)果Fig.7 The optimized structure for the transmission frame structure

圖8 優(yōu)化迭代歷史Fig.8 The convergence history of the transmission frame structure

根據(jù)優(yōu)化后的結(jié)果,導入商業(yè)CAD 軟件,并加以適當?shù)墓こ袒{(diào)整,生成的幾何模型如圖9 所示.對生成的幾何模型重新進行仿真分析,相應(yīng)的兩個工況下的有限元分析結(jié)果,如圖10 所示.

圖9 傳力機架的優(yōu)化后模型Fig.9 The optimized geometric model of the transmission frame structure

為了證明當前算法在運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)設(shè)計方面的有效性,將優(yōu)化后模型與原始設(shè)計模型(如圖11 所示)對比分析,原始設(shè)計模型在兩種工況下的有限元分析結(jié)果如圖12 所示.通過與圖10 對比,在零位工況狀態(tài)下,兩個結(jié)構(gòu)的最大位移響應(yīng)分別為3.860 mm(優(yōu)化后模型)和5.209 mm(原始設(shè)計模型),可以看出由于增加了翼板等結(jié)構(gòu),優(yōu)化后模型的位移響應(yīng)明顯要低于原始設(shè)計模型,其結(jié)構(gòu)剛度得到了有效的提高.在搖擺工況狀態(tài)下,兩個結(jié)構(gòu)的最大位移響應(yīng)分別為3.908 mm(優(yōu)化后模型) 和10.141 mm(原始設(shè)計模型),優(yōu)化后模型同樣要優(yōu)于原始設(shè)計模型.通過兩種工況下有限元的對比分析,本文算法在傳力機架結(jié)構(gòu)設(shè)計方面的有效性得到了很好的證明.

圖10 優(yōu)化后模型的有限元分析Fig.10 The finite element analysis of the optimized geometric model

圖11 原始設(shè)計模型Fig.11 The original design model

圖12 原始設(shè)計模型的有限元分析Fig.12 The finite element analysis of the original design model

4 結(jié)論

本文研究了MMC 拓撲優(yōu)化技術(shù)在運載火箭傳力機架結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計中的應(yīng)用,通過對傳力機架結(jié)構(gòu)設(shè)計特點和要求的分析,確定了剛度最大化目標和體積約束函數(shù),在MMC 拓撲優(yōu)化框架下建立了傳力機架輕量化設(shè)計的問題列式,并推導出目標函數(shù)和約束函數(shù)的靈敏度.基于以上理論基礎(chǔ),先給出了MMC 框架實現(xiàn)傳力機架拓撲優(yōu)化設(shè)計的流程平臺,再結(jié)合實際工程中運載火箭傳力機架的模型以及其工況,進行優(yōu)化前處理和優(yōu)化預(yù)設(shè),最后通過優(yōu)化迭代獲得傳力機架的優(yōu)化構(gòu)型和幾何模型,采用有限元軟件重新驗證分析,并與原始設(shè)計模型對比分析,以證明本文方法的有效性.