摘? 要：做好數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，十分重要的兩個(gè)環(huán)節(jié)是：（1）教師的“言傳身教”，用數(shù)學(xué)思維的分析帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué);（2）解題教學(xué)，由單純的“就題論題”上升到“就題論法”和“就題論道”.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法論;數(shù)學(xué)教學(xué);就題論法;就題論道

相對(duì)于其他論題而言，“數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”應(yīng)是大多數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)教師都較為熟悉的. 由于我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治先生的倡導(dǎo)，“數(shù)學(xué)方法論”早在20世紀(jì)80年代就已經(jīng)走進(jìn)了中學(xué)數(shù)學(xué)教師的視野，并已成為很多師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)課程. 更重要的是，中國(guó)的數(shù)學(xué)方法論研究從一開始就表現(xiàn)出了密切聯(lián)系實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個(gè)特點(diǎn)，即應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)思考的分析帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，下同）的教學(xué)，從而將數(shù)學(xué)課真正“教懂，教活，教深”，即向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，而不是“死的”數(shù)學(xué)知識(shí)，并能幫助他們很好地理解相關(guān)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背. 使學(xué)生不僅能夠掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，也能夠很好地領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思想方法.

筆者還有這樣一個(gè)具體建議：數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求用. 從教學(xué)的角度來(lái)看，這就是指，無(wú)論是就“數(shù)學(xué)方法論”而言還是就“數(shù)學(xué)思維研究”而言，都不應(yīng)成為借題發(fā)揮、紙上談兵的空洞學(xué)問，而應(yīng)對(duì)實(shí)際教學(xué)工作發(fā)揮促進(jìn)作用. 只有這樣，我們才能使學(xué)生真切地感受到數(shù)學(xué)思維的力量，從而真正起到“言傳身教”的作用.

總之，這方面工作最重要的一條原則是我們不應(yīng)將數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)絕對(duì)割裂開來(lái)，而應(yīng)十分重視用數(shù)學(xué)思維的分析帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，即應(yīng)當(dāng)特別重視數(shù)學(xué)思維在具體數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)過程中的滲透與指導(dǎo);我們還應(yīng)通過這一途徑幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，特別是使得相應(yīng)的思維過程或方法對(duì)學(xué)生而言真正成為“可以理解的、可以學(xué)到手的和加以推廣應(yīng)用的”.

當(dāng)然，上面的論述并不排斥這樣一點(diǎn)：必要時(shí)我們也應(yīng)適當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的專門教學(xué). 就現(xiàn)實(shí)而言，這也可被看成“解題教學(xué)”應(yīng)當(dāng)發(fā)揮的一個(gè)重要作用. 特別是相對(duì)于單純的“就題論題”，我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步上升到“就題論法”和“就題論道”.

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，這里所說的“就題論道”有這樣一個(gè)含義，即我們應(yīng)由單純強(qiáng)調(diào)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”過渡到“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思考”. 相對(duì)于“用數(shù)學(xué)思考的分析帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)”，后者可以說體現(xiàn)了一個(gè)更高的要求. 對(duì)此我們將在下一篇文章中圍繞“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”做出具體論述.

最后，強(qiáng)調(diào)“解題教學(xué)”也反映了這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)：無(wú)論是就數(shù)學(xué)思維而言或是就一般性思維策略的學(xué)習(xí)而言，主要目標(biāo)都是“能用”“會(huì)用”. 也正因如此，除去教師的直接示范外，我們應(yīng)特別重視實(shí)踐中的學(xué)習(xí). 特別是應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識(shí)“問題解決”在這方面的重要作用. 例如，主要是在這樣的意義上，著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué). 另外，正如曹廣福教授所指出的，就數(shù)學(xué)教育而論，思想當(dāng)然是最重要的，但思想需要載體，領(lǐng)會(huì)一種思想更需要載體，否則思想就變成了虛無(wú)縹緲、不著邊際的夸夸其談……掌握一種思想更要親自實(shí)踐，看別人演示與自己實(shí)操是完全不同的，有時(shí)你聽起來(lái)似乎明白的東西，真正做起來(lái)就一籌莫展了，這就是缺少實(shí)踐的結(jié)果.

當(dāng)然，又如先前的文章中已指出的，即使我們僅僅著眼于學(xué)生解決問題能力的提升，也不可能單純憑借大量練習(xí)實(shí)現(xiàn)，而是主要依靠主體的自覺總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)，包括教師的必要指導(dǎo). 顯然，從這一角度我們可以更好地理解切實(shí)做好“解題教學(xué)”的重要性. 特別是我們應(yīng)超越“就題論題”，從而上升到“就題論法”和“就題論道”，包括對(duì)于“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的特別重視. 例如，從后一角度我們顯然可以更好地理解為什么應(yīng)將“題后反思”看成“解題教學(xué)”十分重要的一環(huán).

再者，“問題解決”當(dāng)然又不應(yīng)被看成“數(shù)學(xué)活動(dòng)”（“數(shù)學(xué)實(shí)踐”）的唯一形式，而事實(shí)上這也就直接關(guān)系到了“問題解決”這一曾在世界范圍內(nèi)廣泛實(shí)施的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)的局限性. 特別是我們是否應(yīng)將“問題解決”看成學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的主要形式. 顯然，就目前的論題而言，這也更清楚地表明了切實(shí)做好以下工作的重要性，即我們不僅應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)思維的分析帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，也應(yīng)通過教學(xué)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，即由主要是在教師指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)逐步過渡到自主學(xué)習(xí)（后者正是“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的又一重要含義）.

由于“數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”在我國(guó)已提倡多年，就這方面的具體工作而言，在此僅僅強(qiáng)調(diào)這樣幾點(diǎn).

（1）正確處理數(shù)學(xué)思維與具體數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)之間的關(guān)系，即應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)思維的分析帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，而不應(yīng)將兩者絕對(duì)地割裂開來(lái)，或是始終停留于具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，卻未能上升到“思維與方法”這一更高層次，更不用說如何幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成相應(yīng)的“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”.

（2）從同一角度我們也可更好地認(rèn)識(shí)“問題引領(lǐng)”對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊重要性，包括這樣一點(diǎn)：除去“知識(shí)的問題化”以外，后者還有更廣泛的含義與作用.

例如，正如波利亞所指出的，可能任何類型的思維守則都在于掌握和恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用一系列合適的提問. 正因如此，我們就可將若干定型的問題（和建議）看成“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的核心. 這就是指只要問的是地方、是時(shí)候，就能起到“思想指南”的指導(dǎo)，可對(duì)人們克服面臨的困難提供一定的啟示或指明努力的方向.

進(jìn)而，正如前面所提及的，除去“解題策略”的學(xué)習(xí)外，也直接關(guān)系到學(xué)生“元認(rèn)知”水平的提升，以及我們又如何能夠通過提出新的問題實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的發(fā)展與深化.

當(dāng)然，這也應(yīng)被看成“認(rèn)識(shí)的發(fā)展與深化”的又一重要含義，即我們應(yīng)由單純的“問題解決”過渡到“就題論法”和“就題論道”，包括我們?nèi)绾文軌蚯袑?shí)提升學(xué)生在這方面的自覺性.

例如，在筆者看來(lái)，我們就應(yīng)從上述角度更好地理解這樣一個(gè)論述：教師應(yīng)是學(xué)習(xí)和問題解決的專家，教師的工作就是通過向?qū)W生問他們應(yīng)當(dāng)問自己的問題來(lái)對(duì)學(xué)習(xí)和問題解決進(jìn)行指導(dǎo)和建模.

（3）相對(duì)于真實(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史而言，相關(guān)工作主要又應(yīng)被看成“數(shù)學(xué)史的方法論重建”，也就是我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^自己的探索，使得相應(yīng)的發(fā)明創(chuàng)造對(duì)學(xué)生而言真正成為十分自然和可以理解的.

顯然，上述工作可被看成教學(xué)工作創(chuàng)造性質(zhì)的重要體現(xiàn). 特別是我們應(yīng)圍繞自己的教學(xué)工作積極開展教學(xué)研究. 例如，如果我們?cè)陂喿x教材或?qū)嶋H教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)某一內(nèi)容的處理（包括教材中采取的途徑、別人設(shè)計(jì)的教案，以及自己先前使用過的教學(xué)設(shè)計(jì)）不是特別自然，這或許就可看成用思維方法的分析改進(jìn)教學(xué)的一個(gè)很好的切入點(diǎn)，即我們應(yīng)當(dāng)通過自己的“再創(chuàng)造”，使之真正成為“可以理解的、可以學(xué)到手的和可以推廣應(yīng)用的”.

以下就是這方面的一個(gè)具體實(shí)例，這也是筆者多年前的一個(gè)親身經(jīng)歷.

案例1：三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)的證明.

所謂“三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)”是指這樣一個(gè)定理：三角形中任何一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例. 教材中關(guān)于這一定理的證明并不困難（如圖1），但這恰恰又是我們?cè)趶氖逻@一內(nèi)容的教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)深入思考的一個(gè)問題：相關(guān)的證明思路是如何發(fā)現(xiàn)的？我們?nèi)绾文軌蚴沟眠@一過程對(duì)學(xué)生而言真正成為十分自然的？因?yàn)?，不可否認(rèn)的是，CE這一輔助線的添加是很難想到的，從而就很像波利亞所說的“從帽子中掏出來(lái)的兔子”.

圍繞上述問題，筆者進(jìn)行了長(zhǎng)期思考，但始終未能得出令人滿意的答案，直至有一天突然產(chǎn)生了這樣一個(gè)想法：既然無(wú)法自然而然地引出所說的輔助線，那么我們是否可以不添加任何輔助線直接證明這一定理呢？又由于筆者在此前剛剛接觸到了所謂的“面積法”，即主要通過對(duì)圖形面積的分析求解幾何問題. 這樣，以下證明思路的產(chǎn)生就十分自然了.

如圖2，作為面積法的直接應(yīng)用，我們?cè)诖思锌疾椤鰽BD與△ADC的面積比. 由于這兩個(gè)三角形具有同一條高，因此它們的面積比顯然就等于BD∶DC;另外，由于AD是角平分線，所以AD上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等. 由此我們可以立即推出：△ABD的面積∶△ADC的面積 = （AB·DE）∶（AC·DF） = AB∶AC. 這樣，相關(guān)的定理（BD∶DC = AB∶AC）就得到了證明.

當(dāng)然，作為教學(xué)活動(dòng)，我們又不應(yīng)滿足于這一問題的解決，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從更一般的角度進(jìn)行分析、思考，即應(yīng)當(dāng)由知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)上升到思維的層面. 例如，通過上述解題活動(dòng)我們顯然可以幫助學(xué)生很好地理解“面積法”的具體含義，包括通過這一方法與傳統(tǒng)方法的比較更好地認(rèn)識(shí)它們各自的優(yōu)點(diǎn)與局限性，從而就可以在應(yīng)用上實(shí)現(xiàn)更大的自覺性.

感興趣的讀者還可對(duì)以下問題做出自己的思考和探究.

案例2：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明.

這是八年級(jí)的一項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容. 由于學(xué)生在先前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形的全等”和“等腰三角形的性質(zhì)”，因此面對(duì)以下證明在理解上就不會(huì)有太大困難.

如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB是直角. 在∠ACB內(nèi)作∠BCD = ∠B，CD與AB相交于點(diǎn)D，可知DB = DC. 依據(jù)等角的余角相等，可得∠ACD = ∠A. 于是就有DA = DC. 從而就有DA = DB = DC. 由于CD是斜邊AB上的中線，且CD =[12]（DA +

DB） =[12]AB. 這樣，原來(lái)的定理就得到了證明.

現(xiàn)在的問題是：在證明的過程中我們?yōu)槭裁床恢苯幼鞒鲂边匒B上的中線CD，而非要把它看成按照“∠BCD = ∠B”這一要求作的另一條線呢？盡管這樣做后證明不會(huì)有任何困難，但從思維的角度來(lái)看畢竟很不自然！

筆者的希望是：能否為上述定理找出一個(gè)更加自然的證明？

以下再針對(duì)我們應(yīng)當(dāng)如何做好“解題教學(xué)”提出若干具體建議.

（1）這方面工作應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持這樣一個(gè)立場(chǎng)，即對(duì)于“題海戰(zhàn)術(shù)”的明確反對(duì). 但是，我們應(yīng)如何看待“問題的適當(dāng)分類與辨識(shí)”這樣一項(xiàng)工作？由于后者在各方面都有重要應(yīng)用，我們對(duì)此就應(yīng)持肯定的態(tài)度;但在做出這一肯定的同時(shí)，我們又應(yīng)注意防止題型的“泛化”，以及對(duì)于“機(jī)械記憶與簡(jiǎn)單模仿”的不恰當(dāng)強(qiáng)調(diào)，即應(yīng)當(dāng)注意題型選擇的“少而精”，并應(yīng)通過“變式理論”的應(yīng)用與抽象分析很好地實(shí)現(xiàn)“講一題，通一類，得一法”，包括引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)不同角度進(jìn)行分析和思考，包括必要的比較、變化與更高層次的綜合等.

進(jìn)而，從宏觀的角度來(lái)看，我們應(yīng)認(rèn)真思考是否應(yīng)在所有的知識(shí)點(diǎn)上都要學(xué)生做很多作業(yè)，乃至各種各樣的難題？恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)通過認(rèn)真的學(xué)習(xí)和研究很好地弄清楚什么是其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，切實(shí)做好作業(yè)的整體設(shè)計(jì)，包括以此作為審題，特別是對(duì)于來(lái)自各種渠道的題目做出選擇并重新加以組織的主要標(biāo)準(zhǔn)，即真正做好“分清主次，突出重點(diǎn)，以主帶次”.

（2）集中于“解題策略”是國(guó)內(nèi)“解題研究”的一個(gè)重要特點(diǎn). 現(xiàn)實(shí)中存在解題策略的“細(xì)化”這樣一個(gè)普遍傾向，乃至對(duì)于“解題活動(dòng)算法化、程序化”的不恰當(dāng)強(qiáng)調(diào). 筆者認(rèn)為，我們應(yīng)注意糾正這樣一個(gè)傾向. 因?yàn)椋绻狈ψ杂X性的話，我們就很可能在不知不覺中重新回到“題海”與“術(shù)林”之中;再者，這事實(shí)上也可被看成國(guó)外的相關(guān)研究給予我們的一個(gè)重要啟示，即上述方向的努力并不能有效提高人們的解題能力. 相信讀者由以下關(guān)于思維活動(dòng)性質(zhì)的分析即可很好地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn).

由于數(shù)學(xué)問題的多樣性和復(fù)雜性，更由于思維活動(dòng)的非邏輯性，即不僅可能表現(xiàn)為純粹的靈感或頓悟，并必然具有一定的或然性與個(gè)體性. 因此，盡管我們應(yīng)當(dāng)充分肯定“題型分析”的重要性，努力提升學(xué)生的辨識(shí)能力，很好地掌握相應(yīng)的“解法”，也應(yīng)高度重視解題策略與數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，從而在遇到困難時(shí)就可獲得一定的啟示. 但是，單靠這些顯然不足以保證解題活動(dòng)的成功. 恰恰相反，我們應(yīng)由具體的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略轉(zhuǎn)向一般性思維策略與思維品質(zhì)的提升.

后者事實(shí)上也就是“就題論道”的主要含義. 對(duì)此，我們也將在下一篇文章中做出進(jìn)一步的分析和論述.

（3）努力提升學(xué)生在這方面的自覺性，包括：我們?yōu)槭裁磻?yīng)當(dāng)積極從事“解題活動(dòng)”？這方面的具體實(shí)踐應(yīng)特別重視哪些方面或問題？等等. 例如，正如前面所提及的，我們不僅應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)“題后反思”的重要性，也應(yīng)努力提升自身的“元認(rèn)知”水平. 因?yàn)?，后者不僅是決定人們解題活動(dòng)能否成功的一個(gè)重要因素，更是我們?cè)谶@方面是否具有較大自覺性的一個(gè)重要表現(xiàn).

還應(yīng)提及的是，這正是中國(guó)“解題研究”的又一重要特色，即對(duì)思維活動(dòng)辯證性質(zhì)的突出強(qiáng)調(diào). 例如，所謂的以退求進(jìn)、正難則反;分合并用、進(jìn)退互化、正反相輔、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、以美啟真…… 顯然，這事實(shí)上十分有益于提升我們?cè)诮忸}活動(dòng)中的自覺性.

（4）堅(jiān)持教學(xué)的開放性. 這不僅可以被看成充分尊重學(xué)生個(gè)體特征的一個(gè)必然結(jié)論，也可被看成辯證思維的又一重要表現(xiàn). 后者是指我們既應(yīng)明確肯定教學(xué)工作的規(guī)范性質(zhì)，努力幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維的必要優(yōu)化，也應(yīng)很好地處理規(guī)范性與開放性之間的關(guān)系. 因?yàn)椋瑲w根結(jié)底地說，數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，而不是將此硬性納入任一固定的框架. 這更應(yīng)被看成發(fā)明創(chuàng)造的真諦所在——“以正合，以奇勝”.

最后，應(yīng)當(dāng)再次提及的是，無(wú)論就“數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”而言，或是就“解題教學(xué)”而言，“深度教學(xué)”都體現(xiàn)了更高的要求. 這正是下一篇文章的直接論題.

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