劉和英

(合肥科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,安徽 合肥 230000)

2003年S.Simons在文[1]中介紹了 Hahn-Banach定理的一種新版本,并且給出它在線性或者非線性分析,凸分析以及單調(diào)多值函數(shù)等方面的若干應(yīng)用,取得了一系列有意義的研究成果.本文主要考慮向量格中的Hahn-Banach定理,得到了線性算子擴(kuò)張的一般結(jié)果,推廣了S.Simons在文[2]中的若干結(jié)論,下面我們?nèi)圆捎梦腫1]的一些記號和定義.

1 基本概念

定義1[3]若對?x,y∈E,上確界sup(x,y)存在,記為x∨y,則序向量空間E稱為向量格；若E是向量格,E0是E的子空間,若對?x,y∈E0都有x∨y∈E0,則稱E0是E的子格；如果對于E中每個(gè)非空的有上界的子集都有上確界,則稱向量格E是序完備的.

定義2[3]設(shè)E是非平凡的向量空間,F是序完備的向量格,若映射S:E→F滿足：

(1)S(x+y)≤S(x)+S(y).?x,y∈E.
(2)S(λx)=λS(x).?x∈E且λ>0.

則稱S是一個(gè)次線性算子.

定義3[2]設(shè)E是非平凡的向量空間,F是序完備的向量格,且S:E→F是次線性算子,令A(yù)是E中的非空的凸子集,若映射g:A→E滿足：對?x1,x2∈A,u1,u2>0且u1+u2=1,都有

S(x+g(u1x1+u2x2))≤S(x+u1g(x1)+u2g(x2))

則稱g是S-凸的.顯然仿射算子一定是S-凸的,反之不成立.

引理1[3]設(shè)E是非平凡的向量空間,F是序完備的向量格,且S：E→F是次線性算子,則對任意的線性算子T0:E0→F滿足T0x0≤Sx0,對?x0∈E0且E0?E,則存在T0的擴(kuò)張T:E→F,使得Tx≤Sx,?x∈E.

以上引理1被稱為向量格中的Hahn-Banach定理,下面通過證明得到了線性算子擴(kuò)張的一般結(jié)果:

證明：顯然T滿足正齊性,下面只需證T是次可加.

[S(x1+λ1g(a1))-λ1α]+[S(x2+λ2g(a2)-λ2α)]=S(x1+λ1g(a1)+x2+λ2g(a2))-(λ1α+λ2α)=

將上式兩邊同取下確界,可得T(x1)+T(x2)≥T(x1+x2) 因此T是次可加的,從而T:E→F是次線性算子.現(xiàn)在固定a∈A,對?x∈E,λ>0,由于

T(x)≤S(x)+λ[S(g(a))-α]

令λ→0則有T(x)≤S(x),綜上存在E上的線性算子T,使得T≤S?x∈E.

注:文[2]中的引理1.4是我們引理2取F=R時(shí)的特殊情況.

2 主要結(jié)果

推論1[2]設(shè)E是非平凡的向量空間,F是序完備的向量格,且S:E→F是次線性算子,則存在E上的線性算子T,使得T≤S.

顯然T:E→F是一個(gè)次線性算子,滿足T≤S.再根據(jù)推論1,存在E上的線性算子L,使得L≤T.

因此有L≤S且-L≥-T,從而對?a∈A,取λ=1,x=-g(a)我們有

L(g(a))=L(-g(a))≥-T(-g(a))≥α

證明：令g(x)=x對?x∈A,則結(jié)論顯然成立.